11. Isométrie du plan
I. DEFINITIONS ET PROPRIETES
- Définition
Une isométrie du plan est une transformation du plan qui conserve les distances, c’est-à-dire que : pour tous les points M et N du plan, si M‘ et N‘ désignent leurs images par une isométrie, on aura : MN = M’N’ .
2. Propriété
On peut démontrer que les isométries transforment respectivement
- un segment, en un segment
- une demi-droite en une demi-droite
- une droite en une droite
- un cercle en un cercle.
On dit que les isométries conservent le parallélisme parce que les images de deux droites parallèles sont deux droites parallèles.
On dit qu’elles conservent la perpendicularité parce que les images de deux droites perpendiculaires sont deux droites perpendiculaires.
Plus généralement les isométries conservent les barycentres.
II. COMPOSITION D’ISOMETRIES
- Translation et composition de translation
2. Symétries orthogonale et composition de symétrie orthogonales
Il est facile de composer deux rotations de même centre :
- Composition d’une translation et d’une symétrie orthogonale
SYMETRIE GLISSEE
III. CLASSIFICATION DES ISOMÉTRIES PAR LEURS POINTS FIXES
A. Définition
On appelle deplacement toute isometrie qui conserve l’orientation des angles
Exemple: rotation -translation
On appelle antideplacement toute isometrie qui ne conserve pas l’orientation des angles
Exemple: symeties orthogonales (centrale)- symetrie glissee
B. Proprietes
- Soit f une transformation du plan. Un point M est un point fixe de f (ou invariant par f) si et seulement si f(M) = M.
- Les isométries peuvent être classées par leurs points fixes :
- Une isométrie qui a trois points fixes non alignés est l’identité.
- Une isométrie distincte de l’identité qui admet deux points distincts fixes est une symétrie orthogonale.
- Une isométrie qui admet un et un seul point fixe est une rotation distincte de l’identité.
- Une isométrie qui n’admet pas de point fixe est une translation ou une symétrie glissée.
2.
- La composée de deux isométries directes ou de deux isométries indirectes est une isométrie directe.
- La composée d’une isométrie directe et d’une isométrie indirecte ou d’une isométrie indirecte et d’une isométrie directe est une isométrie indirecte.