2. Arithmétiques
I. DIVISIBILITE DANS Z
Z est l’ensemble des entiers relatifs
- Multiples et diviseur d’un entier relatif
Définition
Soit a et b deux entiers relatifs. On dit que a est un multiple de b s’il existe un entier relatif k tel que a=kb

Notation a/b et on lit a divise b
nZ est l’ensemble des multiples de n
Div(n) est l’ensemble des diviseurs de n
Tout entier relatif est multiple de 1 et de -1
- 1 et -1 divisent tout entier relatif
- 0 est multiple de tout entier relatif
- Tout entier non nul divise 0 mais 0 ne divise aucun entier relatif.

Propriété 2
a ,b et c trois entiers relatifs (a et b non nuls)
- a divise a
- si a divise b et b divise a alors a=b ou a=-b
- si a divise b et b divise c alors a divise c
II. DIVISION EUCLIDIENNE

CONGRUENCE MODULO n
- Définition
Soit n un entier non nul. a et b deux entiers relatifs
On dit que a est congru à b modulo n si a – b est un multiple de n

2. Propriété

Application

2. Déterminer suivant les valeurs de l’entier n le reste de la division euclidienne de 5n par 3

III. PPCM ET PGCD DE DEUX ENTIERS RELATIFS
- PPCM de deux entiers relatifs
Définition


2. PGCD de deux entiers relatifs
Propriété
d= PGCD (a, b) <—-> il existe a’ et b’ premiers entre eux tel que a=da’ et b=db’
RELATION ENTRE PGCD ET PPCM DE DEUX ENTIERS RELATIFS

APPLICATION Équation du type ax + by=c
Soit (E) : ax + by=c
(E) admet des solutions si et seulement si c est un multiple de PGCD (a ; b)
Méthode
- Résoudre (E’) : ax +by =0 et trouver les solutions (xk ; yk)
- Déterminer une solution (x0 ; y0) de (E)
- Résoudre (E). Les solutions de (E) sont de la forme (x= xk+ x0 ; y=yk+ y0) avec k entier relatif
- Exemple 1
Résoudre dans Z, 34x -15y =2

NOMBRES PREMIERS
Définition
On dit qu’un nombre p est premier s’il possède exactement deux diviseurs positifs 1 et p
Exemple : 2 ; 3
Remarque :
- 0 et 1 ne sont pas des nombres premiers.
- Deux nombres premiers distincts sont premiers entre eux
Propriété1
il existe une infinité de nombres premiers
Propriété 2
Tout entier naturel n différents de 0 et de 1 admet au moins un diviseur premier
Propriété 3
Tout entier naturel n autre que 0 et 1 et non premier admet au moins un diviseur premier d tel que 1<d2<n
DECOMPOSITION EN PRODUIT DE FACTEURS PREMIERS

Soit n2
Il existe des nombres premiers p1 , p2 , ….pk et des entiers non nuls tels que et p1 <p2 <….<pk
Exemple 4872= 23 x 3 x 7 x 29
Application
Déterminer PPCM (700 ; 18375) et PGCD (700 ; 18375)
700 = 22 x 52 x 7 et 18375 = 3 x 53 x 72
PPCM (700 ; 18375)=22 x 53 x 72 et PGCD (700 ; 18375)= 52 x 7
Exercice
Question de cours
Partie A
- Enoncer le théorème de Bézout et le théorème de Gauss
- Démontrer le théorème de Gauss en utilisant le théorème de Bézout
Partie B

- Démontrer qu’il existe un couple (u, v) d’entiers relatifs tel que : 19u+12v=1 (On ne demande pas dans cette question de donner un exemple d’un tel couple)
Vérifier que, pour un tel couple le N= 13 x 12v + 6 x 19u est une solution de (S)

3. a) Trouver un couple (u, v) solution de l’équation 19u + 12v =1 et calculer la valeur de N correspondante.
b) Déterminer l’ensemble des solutions de (S) (on pourra utiliser la question 2.b)
4. Un entier naturel n est tel que lorsqu’on divise par 12 et le reste est 6 et lorsqu’on le divise par 19 le reste est 13.
On divise n par 228=12 x 19. Quel est le reste r de cette division ?