2. Arithmétiques

I. DIVISIBILITE DANS Z

Z est l’ensemble des entiers relatifs

  1. Multiples et diviseur d’un entier relatif

Définition

Soit a et b deux entiers relatifs. On dit que a est un multiple de b s’il existe un entier relatif k tel que a=kb

Notation a/b et on lit a divise b

nZ est l’ensemble des multiples de n

Div(n) est l’ensemble des diviseurs de n

Tout entier relatif est multiple de 1 et de -1

  • 1 et -1 divisent tout entier relatif
  • 0 est multiple de tout entier relatif
  • Tout entier non nul divise 0 mais 0 ne divise aucun entier relatif.

Propriété 2

a ,b et c trois entiers relatifs (a et b non nuls)

  • a divise a
  • si a divise b et b divise a alors a=b ou a=-b
  • si a divise b et b divise c alors a divise c

II. DIVISION EUCLIDIENNE

CONGRUENCE MODULO n

  1. Définition

Soit n un entier non nul.  a et b deux entiers relatifs

On dit que a est congru à b modulo n  si a – b est un multiple de n

2. Propriété

Application

2. Déterminer suivant les valeurs de l’entier n le reste de la division euclidienne de 5n par 3

III. PPCM ET PGCD DE DEUX ENTIERS RELATIFS

  1. PPCM de deux entiers relatifs

Définition

2. PGCD de deux entiers relatifs

Propriété

d= PGCD (a, b) <—-> il existe a’ et b’ premiers entre eux tel que a=da’ et b=db’

RELATION ENTRE PGCD ET PPCM DE DEUX ENTIERS RELATIFS

APPLICATION Équation du type  ax + by=c

Soit (E) : ax + by=c

(E) admet des solutions si et seulement si c est un multiple de PGCD (a ; b)

Méthode

  1. Résoudre (E’) : ax +by =0 et trouver les solutions (xk ; yk)
  2. Déterminer une solution (x0 ; y0) de (E)
  3. Résoudre (E). Les solutions de (E) sont de la forme (x= xk+ x0 ; y=yk+ y0) avec k entier relatif
  • Exemple 1

Résoudre dans Z,  34x -15y =2

NOMBRES PREMIERS

Définition

 On dit qu’un nombre p est premier s’il possède exactement deux diviseurs positifs 1 et p

 Exemple : 2 ; 3

Remarque :

  1. 0 et 1 ne sont pas des nombres premiers.
  2. Deux nombres premiers distincts sont premiers entre eux

Propriété1

il existe une infinité de nombres premiers

Propriété 2

Tout entier naturel n différents de 0 et de 1 admet au moins un diviseur premier

Propriété 3

Tout entier naturel n autre que 0 et 1 et non premier admet au moins un diviseur premier d tel que 1<d2<n

DECOMPOSITION EN PRODUIT DE FACTEURS PREMIERS

Soit n2

Il existe des nombres premiers p1 , p2 , ….pk et des entiers non nuls  tels que  et p1 <p2 <….<pk

Exemple  4872= 23 x 3 x 7 x 29

Application

 Déterminer PPCM (700 ; 18375) et PGCD (700 ; 18375)

700 = 22 x 52 x 7  et 18375 = 3 x 53 x 72

PPCM (700 ; 18375)=22 x 53 x 72   et  PGCD (700 ; 18375)= 52 x 7

Exercice

Question de cours

Partie A

  1. Enoncer le théorème de Bézout et le théorème de Gauss
  2. Démontrer le théorème de Gauss en utilisant le théorème de Bézout

Partie B

  1. Démontrer qu’il existe un couple (u, v) d’entiers relatifs tel que : 19u+12v=1 (On ne demande pas dans cette question de donner un exemple d’un tel couple)

Vérifier que, pour un tel couple le N= 13 x 12v + 6 x 19u est une solution de (S)

3. a) Trouver un couple (u, v) solution de l’équation 19u + 12v =1 et calculer la valeur de N correspondante.

      b) Déterminer l’ensemble des solutions de (S) (on pourra utiliser la question 2.b)

4. Un entier naturel n est tel que lorsqu’on divise par 12 et le reste est 6 et lorsqu’on le divise par 19 le reste est 13.

On divise n par 228=12 x 19. Quel est le reste r de cette division ?