7. Suites numériques

I-GENERALITES

  1. définition :

3- Représentation graphique des termes d’une suite définie par une formule de récurrence : un+1=f(un) sur l’axe des abscisses

  • on trace la courbe de f dans un repère orthogonal
  • On trace la droite Δ  d’équation y=x
  • On place le premier sur l’axe des abscisses le premier terme, puis le deuxième, ensuite le troisième et ainsi de suite.

4-Raisonnement par récurrence

C’est un raisonnement qui permet de démontrer qu’une propriété dépendant d’un entier n est vraie pour tout entier n à partir d’un certain rang.

Exemple :

  • Vérification pour les premiers termes :

Pour n=1 on a 1=12 et donc la propriété est vérifiée

Pour n=2 on a 1+3=22 et donc la propriété est vérifiée

  • Supposons la propriété vraie au rang  p c’est à dire 1+3+5+……+(2p-1)=p2 et montrons qu’elle est vraie au rang p+1.

II CONVERGENCE

Une suite étant une fonction à variable entière, on peut définir la notion de limite d’une suite à +∞

1-definition :

  •  Une suite est dite convergente si et seulement si elle a une finie.
  • Une suite est dite divergente si et seulement si elle n’est pas convergente.

Exemple :

2-propriété

  • Toute suite croissante et majorée est convergente.
  • Toute suite décroissante et minorée est convergente.

III- SUITES PARTICULIERES

A- SUITE ARITHMETIQUE

1-definition :

3- Somme des termes consécutifs

Posons Sn= u0+u1+u2+……..+un

Généralisation : S=uk+uk+1+…………. +un

B- SUITES GEOMETRIQUES

  1- Définition :

3- Somme des termes consécutifs

On pose : Sn=v0+v1+v2+…………+vn

Généralisation :

Sn=vk+vk+1+……………….+vn

4- Convergence