7. Suites numériques
I-GENERALITES
- définition :
3- Représentation graphique des termes d’une suite définie par une formule de récurrence : un+1=f(un) sur l’axe des abscisses
- on trace la courbe de f dans un repère orthogonal
- On trace la droite Δ d’équation y=x
- On place le premier sur l’axe des abscisses le premier terme, puis le deuxième, ensuite le troisième et ainsi de suite.
4-Raisonnement par récurrence
C’est un raisonnement qui permet de démontrer qu’une propriété dépendant d’un entier n est vraie pour tout entier n à partir d’un certain rang.
Exemple :
- Vérification pour les premiers termes :
Pour n=1 on a 1=12 et donc la propriété est vérifiée
Pour n=2 on a 1+3=22 et donc la propriété est vérifiée
- Supposons la propriété vraie au rang p c’est à dire 1+3+5+……+(2p-1)=p2 et montrons qu’elle est vraie au rang p+1.
II CONVERGENCE
Une suite étant une fonction à variable entière, on peut définir la notion de limite d’une suite à +∞
1-definition :
- Une suite est dite convergente si et seulement si elle a une finie.
- Une suite est dite divergente si et seulement si elle n’est pas convergente.
Exemple :
2-propriété
- Toute suite croissante et majorée est convergente.
- Toute suite décroissante et minorée est convergente.
III- SUITES PARTICULIERES
A- SUITE ARITHMETIQUE
1-definition :
3- Somme des termes consécutifs
Posons Sn= u0+u1+u2+……..+un
Généralisation : S=uk+uk+1+…………. +un
B- SUITES GEOMETRIQUES
1- Définition :
3- Somme des termes consécutifs
On pose : Sn=v0+v1+v2+…………+vn
Généralisation :
Sn=vk+vk+1+……………….+vn
4- Convergence