8. Dénombrement – Probabilité

A- Tirages successifs avec remise

Combien de colorations y a t il si l’on veut colorer les lettres du mot BAC  avec les couleurs rouge (R) et verte (V) ?

Soit C = {R;V} l’ensemble des couleurs et  L= {B.A.C} l’ensemble des lettres du mot BAC.

Quelques exemples : RRR ; RRV ; VVV ; VRV ;……

1) Il y a répétition de couleur

2) Les couleurs sont ordonnées

• Une coloration est un élément de C x C x C
• On a donc tiré successivement 3 éléments de C sans remise.
• Le nombre de tirages ou de colorations est card(C³)=2³

Propriété :

Soit E un ensemble à n éléments et  p appartient à N.

Tirer successivement p éléments de E avec remise, c’est tirer les éléments l’un après l’autre en remettant chaque fois l’élément tiré. Le nombre de tirages est card(E^p)=[card(E)]^p=n^p

Exercice

1. Combien de mots de 5 lettres ayant un sens ou non peut on former ?

2. Dans un restaurant, on propose 4 entrées, 3 plats de résistance et 2 desserts. Chaque client compose son menu en choisissant une entrée, un plat de résistance et un dessert. Quel est le nombre de menus possibles ?

B- Tirages successifs sans remise

Dans un parking, il y a 5 places. Combien y a t-il de possibilités de garer 3 voitures ?

Soit P={P₁ ;  P₂ ; P₃ ; P₄ ; P₅} l’ensemble des places et V={V₁ ;V₂ ; V₃}

Quelques exemples : P₁ P₂ P₃ ; P₁ P₅ P₃ ; P₄ P₅ P₃ 

1. il n y a pas de répétitions
2. Les éléments sont ordonnés
   • Pour garer la première voiture on choisit un élément dans P
   • Pour garer la deuxième voiture on choisit un élément dans P’=P privé d’un élément.
   • Pour garer la troisième voiture on choisit un élément dans P’’=P’ privé d’un élément.

Un résultat possible est un élément de P x P’ x P’’

On a tiré donc successivement 3 éléments de P sans remise (ou sans répétition)

Le nombre de possibilités est card(PxP’xP’’)=5x4x3=60

Propriété :

Soit E un ensemble à n éléments ; p un entier inférieur ou égal à n.

Tirer successivement p éléments de E sans remise, c’est tirer les éléments l’un après l’autre sans remettre l’élément tiré avant le tirage suivant.

On dit aussi qu’on fait un arrangement de p éléments.

Exercice

7 chevaux sont en courses. Il n’y a pas d’ex aequo. Combien de quartés peut-on avoir ?

C- COMBINAISON

Un sac contient 10 jetons. On tire simultanément 3 jetons. Combien de possibilités y a t-il ?

On forme des parties à 3 éléments On dit qu’on fait une combinaison de 3 éléments avec les jetons

II- PROBABILITE

On lance un dé cubique dont les faces sont numérotées de 1 à 6, et on note le numéro de la face supérieure.

1. Enumérer tous les résultats possibles. ;
2. Peut on prévoir, avant un lancer, le numéro qui apparaîtra ?

B. Probabilité d’un évènement

La probabilité d’un évènement est la mesure des chances pour qu’il se réalise.

On dit qu’il y a équiprobabilité si tous les évènements élémentaires ont la même chance de réaliser.

C. VARIABLE ALEATOIRE

Une urne contient 10 boules indiscernables au toucher : 6 boules blanches et 4 boules rouges. On tire 2 boules simultanément.

On pose X le nombre de boules rouges tirées à chaque tirage.

Définition :

Loi de probabilité

C’est  le tableau suivant

D) EPREUVE DE BERNOUILLI-SCHEMA DE BERNOUILLI -LOI BINOMIALE

     a)  expérience indépendante

Deux expériences sont indépendantes si la réalisation de l’une n’influence pas celle de l’autre et réciproquement.

b) épreuve de Bernoulli

On appelle épreuve de Bernoulli, toute épreuve ne conduisant qu’à deux éventualités :

c. Schéma de Bernoulli

On appelle schéma de Bernoulli une suite de n  épreuve de Bernoulli identiques et indépendantes.

Ses paramètres sont : n= nombre de répétions et p =probabilité de réaliser succès