9. Equations différentielles
ACTIVITE
Soit la fonction f dérivable sur IR et définie par : f(x) = e-x
- Vérifier que pour tout réel x, f’(x) + 2f(x) = 0.
- On considère la fonction g dérivable sur IR et définie par : g(x) = 3e-2x. Vérifier que pour tout réel x, g’(x) + 2g(x) = 0.
On dit que f et g sont solutions de l’équation différentielle y’ + 2y = 0.
I. DEFINITION
On appelle équation différentielle, une équation où l’inconnue est une fonction f de IR vers IR et dans laquelle apparaît au moins une des dérivées successives de f.
Exemples : y’ + 2y = x2 est une équation différentielle du premier ordre et y’’ – 4y’ + 7y = 0 est une équation différentielle du second ordre.
Remarque : résoudre ou intégrer une équation différentielle, c’est déterminer toutes les fonctions solutions de cette équation.
II. EQUATIONS DIFFERENTIELLES DU TYPE : y’ – ay = 0 (a Є IR ).
- La fonction nulle est solution de (E).
- Déterminons les solutions non nulles de (E).
Propriété
Les solutions de l’équation différentielle y’ – ay = 0 sont les fonctions x —> Keax avec K Є IR.
Il existe une unique solution de cette équation différentielle vérifiant la condition initiale y(x0) = y0 (x0 et y0 sont des réels donnés).
Exercice d’application
- Résoudre les équations différentielles suivantes :
- y’ – 2y = 0
- y’ + 3y = 0
2. Dans chacun des cas suivants, déterminer la solution f de l’équation différentielle (E) qui vérifie la condition initiale donnée :
II. EQUATIONS DIFFERENTIELLES DU TYPE : y’’ + ω2y = 0
Activité : Vérifier que v(x) = Acos(ωx) + Bsin(ωx) (A et B deux réels) est solution de l’équation différentielle y’’ + ω2y = 0 .
Propriété : Les solutions de l’équation différentielle y’’ + ω2y = 0 (ω Є IR*) sont les fonctions définies sur IR par : y(x) = Acos(ωx) + Bsin(ωx) (A et B deux réels)
III. EQUATIONS DIFFERENTIELLES DU TYPE : ay’’ + by’ +cy= 0
Equation caractéristique
Définition
On appelle équation caractéristique de l’équation différentielle ay’’ + by’ +cy= 0 ( a et b réels)
L’équation d’inconnue r : ar2 + br + c = 0
