Exercices – Etude de quelques fonctions – 1ère S

Exercice 1

On donne ci-contre la représentation graphique d’une fonction f sur les intervalles [-5~;~0[ et ]0~;~5].
Compléter le tracé de la courbe f de sorte que f soit une fonction impaire.

Exercice 2

On donne ci-contre la représentation graphique d’une fonction f définie sur les intervalles [-5~;~0[ et ]0~;~5].
Compléter le tracé de la courbe de f de sorte que f soit une fonction paire.

Exercice 3

On donne ci-contre la représentation graphique d’une fonction f de \R vers \R.
1) Détermine les extrémums relatifs de f et les valeurs pour laquelle ins sont atteints.
2) Etablir le tableau de variation de f.

Exercice 4

A l’aide d’un contre-exemple, démontre que la fonction f n’est ni paire ni impaire.
f~:~\R \mapsto \R, \\ x \mapsto \dfrac{1}{x}-x^2+1

Exercice 5

Démontrer que la fonction f est impaire.
f~:~\R \mapsto \R \\ x \mapsto \dfrac{1}{3-x}-\dfrac{1}{3+x}

Exercice 6

Soit la fonction
f~:~\R \mapsto \R \\ x \mapsto \dfrac{1}{|x|-1}-x^2
1) Déterminer l’ensemble de définition de f .
2) Démontrer que la fonction f est paire

Exercice 7

La courbe ci-contre est celle d’une fonction f définie sur l’intervalle [-2~;~1]. Cette courbe admet la droite x=1 comme axe de symétrie.
Compléter le tracé.

Exercice 8

La courbe ci-contre est celle d’une fonctionf définie sur l’intervalle [-2~;~1]. Cette courbe admet le point A(-1 ; 1) comme centre de symétrie.
Compléter le tracé.

Exercice 9

Soit la fonction f de [-3~;~1] vers \R définie par :
f(x)=x^3+\dfrac{5}{2}x^2-2x+1.
1) Démontrer que pour tout x de [-3~;~1], \\ f'(x)=(3x-1)(x+2)
2) Etudier la variation de f.
3) Etablir le tableau de variation de f.
4) Déterminer les extrémums relatifs de f et les valeurs pour lesquelles ils sont atteints.

Exercice 10

Démontrer que le point S(2;3) est un centre de symétrie des courbes d’équations
1) y=3+\dfrac{-5}{x-2}

2) y=(x-2)^2+3

Exercice 11

Le plan esr rapporté à un repère orthogonal (O,I,J).
Démontrer que la droite d’équation x=-4 est une axe de symétrie des courbes d’équation :
1) y=(4+x)^2-15
2) y=|x+4|+1

Exercice 12

Soit f la fonction de \R vers \R définie par :
f(x)=\dfrac{ax+b}{x+1} et (C) sa courbe représentative dans le plan muni d’un repère orthonormée (O,I,J).
1) Déterminer les nombres réels a et b sachant que :
– Le point K(-1 ; -2) est un centre de symétrie de la courbe (C) ;
f'(0)=-3
On admet que : f(x)=\dfrac{-2x+1}{x+1} et on étudie f sur l’intervalle ]-1 ; +\infty[.

2) a) Démontrer que pour tout x de ]-1 ; +\infty[,
f-(x)=-\dfrac{3}{(x+1)^2}
b) Déduire le ses de variation de f.

3) a) Calculer la limite de f en -1.
b) Interpréter graphiquement le résultat précédent.

4) a) Calculer la limite de f en +\infty
b) Interpréter graphiquement le résultat

5) Dresser le tableau de variation de f sur ]-1 ; +\infty[.

6) a) Tracer les droites d’équation x=-1 et y=-2
b) Tracer la courbe (C) sur \R\{-1}

Exercice 13

Soit la fonction f de \R vers \R définie par :
f(x)=\dfrac{x^2-2x+5}{1-x} et (C) la courbe représentative de f dans le plan muni d’un repère orthonormée (O, i, J). (unité graphique : 1cm)
1) Déterminer l’ensemble de définition D_f de f.
2) Démontrer que pour tout x de D_f,
f(x) = -x+1+\dfrac{4}{1-x}

3) a) Calculer \lim\limits_{\substack{x\mapsto 1 \\ ~> }}f(x) et \lim\limits_{\substack{x\mapsto 1 \\ ~< }}f(x)
b) Interpréter graphiquement les résultats des limites.

4) Calculer \lim\limits_{x \mapsto +\infty }f(x) et \lim\limits_{x \mapsto -\infty }f(x)
On admet que f est dérivable sur D_f

5) a) Démontrer que :
f'(x) = \dfrac{(1+x)(3-x)}{(1-x)^2}
b) Déduire les variations de f.
c) Dresser le tableau de variation de f.

6) Soit (T) la tangenta à (C) en O. Ecrire une équation de la droite (T).

7) Soit (D) la droite d’équation : y=-x+1
a) Démontrer que (D) est une asymptote à (C) en +\infty et en –\infty.
b) Etudier la position de (C) par rapport à (D).

8) Soit g la fonction de \R vers \R définie par :
g(x)=f(x+1).
a) Démontrer que la fonction g est impaire
b) Donner une interprétation du résultat.

9) Tracer les droites (T) et (D) ainsi que la courbe (C).

Exercice 14

Une restauratrice produit x galettes par jour. Sa fille, en classe de 1ère, a modélisé en une fonction de nombre x de galettes, le coût de production C(x) journalier estimé en FCFA par :
C(x)=0,004x^2+30x+1000
Elle vend ses galettes à 40 fcfa l’unité. Chaque jour, elle réussit à écouler toute sa production. Mais elle constate qu’elle fait souvent des pertes selon le nombre de galettes produites.
La fille explique la situation que vit sa mère à ses camarades de classe.
Les élèves décident d’étudier et de représenter la fonction bénéfice :
B(x)=40x-C(x)

1) Déterminer le nombre de galettes à produire pour que le bénéfice soit nul. Donner un arrondi d’ordre zéro du résultat.
2) a) Démontrer que pour tout x, B'(x)=-0,008x+10.
b) Déduire les variations de la fonction bénéfice.
c) Déduire les valeurs de x pour lesquelles le bénéfice est positif.
3) Déterminer le nombre de galettes à produire pour avoir un bénéfice maximal ; Calculer ce bénéfice.
4) Représenter dans le plan muni d’un repère orthogonal (O,I,J) la fonction bénéfice.
Unité graphique :
– sur (OI), 150 unités de galettes pour 1cm
– sur (OJ), 500 fcfa pour 1cm

Exercice 15

Un restauratrice produit x galettes par jour. Sa fille, en classe de 1ère, a modélisé en fonction du nombre x de galettes, le coût de production de C(x) journalier estimé en fcfa par :
C(x)=0,004x^2+30x+1000.
Elle ven ses galettes à 40fcfa l’unité. Chaque jour, elle réussit à écouler toute sa production . Mais elle constate qu’elle fait souvent des pertes selon le nombre de galettes produites. La fille explique la situation que vit sa mère à ses camarades de classe. Les élèves décident de trouver une solution à la préoccupation de la restauratrice.
1) Déterminer le nombre de galettes à produire pour que le bénéfice soit nul. Donner un arrondi d’ordre zéro du résultat.
2) Déterminer le nombre de galettes à produire pour avoir un bénéfice maximal, puis calculer ce bénéfice maximal.

Exercice 16

Un groupe d’élèves de 2nde C d’un lycée décident de faire des recherches. Ils considèrent un rectangle de longueur x et de largeur y.
Ils souhaitent déterminer parmi tous les rectangles d’aires données, celui dont le périmètre est le plus petit Ils tentent de trouver une réponse mais ils n’y arrivent pas. Ceux-ci sollicitent alors leurs aînés de 1ère dudit lycée pour les aider.
Répondre à la préoccupation de ce groupe d’élèves de 2nde.