4 – Dérivation de fonctions numériques – 2nde Le

I) Coefficient directeur ou pente d’une droite

A) Equation et coefficient directeur d’une droite

Synthèse 1 : On considère le repère orthogonal ou orthonormé (O,\overrightarrow{i},\overrightarrow). Il existe trois sortes de droites

Droite verticale :   

Tous les points ont la même abscisse.
L’équation réduite est : x=a  est l’abscisse commune.
Cas particulier : l’équation de l’axe des ordonnées est : x = 0.

Droite horizontale 

 Tous les points ont la même ordonnée.
L’équation réduite est : y= b.
b est l’ordonnée commune.

Cas particulier :
L’équation de l’axe des abscisses est : y = 0.

Droite oblique :

La droite coupe les deux axes.
L’équation réduite est : y= ax+b
Le nombre a est le coefficient directeur ou pente de la droite (D), b est l’ordonnée à l’origine.

Remarque :

– Une droite horizontale, d’équation y=b a pour coefficient directeur 0
– Une droite verticale n’a pas de coefficient directeur, ni d’ordonnée à l’origine.

B) Comment lire le coefficient directeur d’une droite tracée ?

Comment tracer une droite passant par un point et de coefficient directeur donné ?

Synthèse2

Comment lire le coefficient directeur d’une droite tracée ?
Le coefficient directeur ou pente, marque d’inclination de la droite.

• Si la droite est horizontale alors son coefficient directeur est 0.                
• Si la droite est verticale, alors elle n’a pas de coefficient directeur.
• Si la droite est oblique, alors on lit le coefficient directeur a grâce à deux points de (D).

(a=\frac{\text{différence des ordonnées}}{\text{différence des absices}})

Comment tracer une droite passant par un point A(X₀;Y₀) et de coefficient directeur donné a, par la méthode de l’escalier ?

• Construction

• On place le point A dans le repère ;
• On écrit le coefficient directeur sous forme d’une fraction \frac{a}{b} avec b > 0 (sauf s’il l’est déjà) ;
• A partir du point A on se déplace à la verticale selon la valeur de a, puis horizontale selon la valeur de b et respectant la convention suivante pour le déplacement vertical :
  • Si a >0. On se déplace vers le haut
  • Si a <0. On se déplace vers le bas
• On obtient un autre point et on peut recommencer à partir de ce nouveau point ;
• On joint alors les points obtenus.

– Détermination de l’équation réduite :
La droite passant par le point de coordonnées (x_0;y_0) et de coefficient directeur a, a équation réduite
y = a(x-x_0)+y_0  

C) Tracer une droite donnée par son équation

Synthèse 3 :

Pour tracer une droite donnée par son équation :
1°) La droite est parfaitement déterminée par deux de ses points mais si ces deux points sont trop proches l’un de l’autre le trait manquera de précision. Donc pour tracer la droite on calculera coordonnées de deux points en choisissant des abscisses assez éloignés.
2°) la droite est parfaitement déterminée par la donnée d’un des points et de son coefficient directeur. Donc pour tracer la droite on déterminera l’équation réduite de la droite, puis on choisit une abscisse, on calcule l’ordonnée du point correspondant sur la droite, on utilise le coefficient directeur pour tracer la droite par la méthode de l’escalier.

II) Notion de tangente en un point à une courbe

Synthèse4

Définition

A est un point de la courbe ( C). M et M’ sont deux points variables de ( C). Les droites (AM) et (AM’) sont sécantes.  Lorsque M et M’ se rapprochent du point A, les droites (AM) et (AM’) se rapprochent d’une même droite, (T_A) jusqu’à se confondre avec elle. Cette droite s’appelle la tangente à la courbe ( C ) au point A.

Remarque : Proche du point A, la courbe (C ) et la tangente (T_A) n’ont en commun que le point A. En revanche si on s’éloigne de A la tangente (T_A) peut couper la courbe en un autre point. La notion de tangente (T_A) est une notion locale.

Convention : Pour représenter la tangente, on construit un segment de droite, assez grand, avec des flèches à chaque extrémité.

III) Nombre dérivé d’une fonction en un point

Synthèse 5

Définition

Soit f une fonction, D_f son ensemble de définition, (C_f) sa courbe représentative.
Soit x_0 un nombre de D_f, il lui correspond un point M_0 et un seul de (C_f).
Lorsque le point M_0 n’est pas un point anguleux, on peut tracer en M la tangente à  (C_f).
Si cette tangente n’est pas verticale, alors son coefficient directeur est appelé le nombre dérivé de f en x_0 et est égal à f'(x_0). On dit alors que l’équation réduite de cette tangente est donc :
y = f’(x_0)(x-x_0) +f(x_0).

Remarque : – Pour avoir le nombre dérivé de f en x_0, il est nécessaire  que x_0 appartienne à l’ensemble de définition de f.
– En un point anguleux, on ne peut pas tracer une tangente donc le nombre dérivé n’existe pas.

Fonction dérivée d’une fonction :

1) Définition

Soit f une fonction définie sur un intervalle ]a ;b[. Lorsque f est dérivable en tout élément de ]a ;b[.[/atex] – On dit que [latex]f est dérivable sur ]a ; b [

Si f est dérivable sur ]a ;b[, on peut définir une application de ]a ;b[ vers \R qui à tout élément x de ]a ;b[ associe f’(x).  Cette application s’appelle la fonction dérivée de f sur ]a ;b[ et se note f ’
– L’ensemble des nombres x pour lesquels le nombre dérivé existe, s’appelle l’ensemble de dérivabilité de la fonction f et se note D_{f’}.

2) Fonction dérivée des fonctions usuelles : on admet le tableau :

Tableau récapitulatif

Remarque : Ne pas utiliser le symbole « = » entre la fonction et sa dérivée! « x³ = 3x² » est faux! Essayer d’apprendre ces formules en phrases : «  la dérivée d’un nombre fois u est ce nombre fois la dérivée de u ». etc.

V) Application de la dérivation

Synthèse 6 : Signe de la dérivée et sens de variation.

Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I. Alors les résultats suivants sont admis :

• Si f admet un maximum (ou un minimum) en un point x_0 distinct des extrémités de I alors
   f ’(x_0) = 0
• Si f ’ s’annule en x_0 et change de signe alors f présente en x_0 un extrémum
• Si f ’ est nulle sur I, alors f est constante sur I
• Si f ’ est positive sur I, alors f est croissante sur I
• Si f ’ est négative sur I, alors f est décroissante sur I

Exercice d’application

Etudier le sens de variation de :
a) f(x) = 3x^2-x+1   
b) g(x) =\dfrac{x+2}{2x+1}

Corrigé

a)

Signe de f ’(x).

Ainsi, pour x\in~]-\infty ; \dfrac{1}{6} ; \\ f'(x) \leq 0[/latex] donc f est décroissante.
Pour x\in~]\dfrac{1}{6} ; +\infty ; \\ f'(x) \geq 0[/latex] donc f est croissante.

b)

Signe de g’(x).

g'(x)<0 donc g est décroissante sur D_g.