6 – Dénombrement – 2nde Le
I) Généralité sur les ensembles
1) Ensemble-Elément
Un ensemble est une collection d’objets appelés éléments de E telle que quel que soit l’objet a, on peut dire sans ambiguïté que a est ou n’est pas un élément de E
Si a est un élément de E, on écrit a \in E si non a \ne E
Deux ensembles E et F sont égaux, et on écrit E = F, s’ils possèdent les mêmes éléments.
L’ensemble vide, noté \empty, est l’ensemble qui n’a aucun élément.
Un ensemble qui n’a qu’un seul élément est un singleton.
2) Partie d’un ensemble : Inclusion
Soit A et E deux ensembles
On dit que A est une partie de E (ou un sous ensemble de E ou inclus dans E) si tous les éléments de A sont éléments de E.
On écrit :
A n’est pas inclus dans E s’il existe un élément de A qui n’est pas dans E.
3) Complémentaire d’une partie
Définition
Soient A et E deux ensembles
L’ensemble des éléments de E qui n’appartiennent pas à A est appelé complémentaire de A dans E et noté C_EA ou \overline{A}
Si x est un élément de E, on a :
4) Réunion et intersection de deux ensembles
Définitions
Soient A et B deux ensembles, la réunion de A et B notée A \cup B est l’ensemble des éléments appartenant à A ou à B
Et l’ensemble des éléments qui sont à la fois dans A et B est l’intersection de A et B et noté A \cap B
5. Ensemble produit
On appelle produit (cartésien) de A et B l’ensemble des couples (x ;y) tels que x\in~A et y\in~B. On le note :
II) Dénombrement
1) Factorielle
Soit n\in ~\N, on appelle « factorielle (de) n » le réel noté n! défini par
Exemples :
Propriétés :
Exemple :
2) Cardinal d’un ensemble :
Le cardinal d’un ensemble E est le nombre d’éléments de E. On le note cardE.
Propriétés :
- Dans le cas général
Exercice d’application
\Omega est un univers fini d’éventualités muni d’une probabilité p.
A et B sont deux évènements tels que p(A)=0,3 et p(B)=0,4
Calculer p(A\cupB) lorsque :
– A et B sont incompatibles
– P(A\capB)=0,12
Corrigé
Calculons :
a) lorsque A et B sont incompatibles ;p(A\cupB)=p(A)+p(B)=0,3+0,5=0,8
b)lorsque p(A\capB)=0,12 ; p(A\cupB)=p(A)+p(B)-p(A\capB)=0,3+0,5-0,12=0,68
3) Arrangement
a) Définition :
Soit E un ensemble ayant n éléments et p\leq n.
Un arrangement de p éléments de E est une suite ordonnée de p éléments de E, deux à deux distincts.
b) Nombre d’arrangements :
Théorème
Le nombre d’arrangements de p éléments d’un ensemble ayant n éléments est :
Exercice d’application
Calculons A_5^1 ; A_5^3 et A_5^5
4) Permutation
E étant un ensemble ayant n éléments. Une permutation des éléments de E est un arrangement de n éléments de E.
Le nombre de permutation des éléments de E est donc :
Théorème
Le nombre de permutation de n éléments est : Pn=n!
5) Combinaison
a) Définition
Soit un ensemble ayant n éléments et p \leq n ; une combinaison de p éléments de E est une partie de E ayant p éléments
b) Nombre de combinaison :
Théorème
Le nombre de combinaison de p éléments d’un ensemble à n éléments est :
Propriétés
Triangle de Pascal
Ce qui donne :
- Développement de Newton
On montre que quels que soient a, b réels, et n\in~\N
(a+b)^n=C_n^0a^nb^0+C_n^1a^{n-1}b^1+C_n^2a^{n-2}b^2+....+C_n^pa^{n-p}b^p+....+C_n^na^0b^n
