Corrigés – Repère orthonormé – Distance
Exercice n° 1
1) Calculons les longueurs des côtés du triangle ABC
2) Démontrons que ABC est un triangle rectangle et isocèle
AB² + BC² = AC² donc d’après la réciproque du théorème de Pythagore ABC est un triangle rectangle en B.
De plus AB = BC donc ABC est aussi un triangle isocèle de sommet B
Des réponses précédentes on conclut que ABC est un triangle rectangle et isocèle.
Exercice n°2
Montrons qu’ABC est un triangle équilatéral
AB= AC=BC donc ABC est un triangle équilatéral
Montrons que le centre du cercle circonscrit au triangle ABC est l’origine du repère
OA=OB=OC=rayon du cercle circonscrit au triangle ABC donc O(0 ;0) est le centre de ce cercle .
Exercice 5
Exercice n° 7
Déterminons l’abscisse du point C
ABC est un triangle isocèle de sommet C entraîne que C appartient à la médiatrice de [AB]
Or [AB] \subset (O ; \overrightarrow{i}) donc l’axe (O ; \overrightarrow{i}) et perpendiculaire à la médiatrice de [AB]
Tout point de cette médiatrice a pour abscisse x= \frac{xA + xB}{2}
Soit x =6 d’où C(6 ; y)
Exercice 9
1)
2. Calculons la distance AC : AC=\sqrt{20} =2\sqrt{5}
Calculons la distance AB : AB= \sqrt{10}
3. On sait que
Donc : AB² + BC² = AC².
D’après la réciproque du théorème de Pythagore, on en déduit que le triangle ABC est rectangle en B.
De plus, on sait que AB=BC=\sqrt{10}, donc le triangle ABC est isocèle en B.
Conclusion : le triangle ABC est rectangle et isocèle en B.
4. cf repère précédent
5. On sait que D est l’image de E par la translation de vecteur \overrightarrow{BC}, donc \overrightarrow{ED} = \overrightarrow{BC} .
Ainsi le quadrilatère BCDE est un parallélogramme.
De plus, on sait que le triangle ABC est rectangle en B, donc que les droites (BE) et (BC) sont perpendiculaires.
Donc le parallélogramme BCDE a un angle droit.
Conclusion : le quadrilatère BCDE est un rectangle.
6. Déterminons l’aire du rectangle BCDE : ABCDE=BE
Or, on sait que E est le symétrique de B par rapport à A, donc
D’où : l’aire du rectangle BCDE est de 20 unités d’aire.
Déterminons l’aire du quadrilatère ACDE : AACDE= ABCDE – AABC
Déterminons l’aire du triangle ABC rectangle en B :
D’où : AACDE= ABCDE – AABC=20-5=15
L’aire du quadrilatère ACDE est de 15 unités d’aire.
Exercice 10
1)
2. Montrons que :
D’après la réciproque du théorème de Pythagore, on en conclut que le triangle ABC est rectangle en A.
4) cf figure
5) Déterminons la nature du quadrilatère ABMC :
On a placé le point M tel que les vecteurs \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{CM} soient égaux, donc le quadrilatère ABMC est un parallélogramme.
De plus, on sait que ABC est un triangle rectangle en A, donc est un angle droit.
Donc le parallélogramme ABMC a un angle droit.
D’où : ABMC est un rectangle.
Exercice11
1)
2.a)
De même, AC=10 et BC=5.
2b) On a AB2 = 125, et AC2 +BC2=25+100=125 aussi. D’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en C.
3.a) voir la figure.
b) D est l’image de A par la translation de vecteur \overrightarrow{BC} : on a donc \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC} ; on en déduit que ABCD est un parallélogramme.
5.a) L’aire du parallélogramme ABCD vaut BC x AC=5 x 10=50cm (car (AC) est perpendiculaire à (BC)).
5.b) K est le milieu de [AC] ; ses coordonnées sont donc (\frac{x_A + x_C}{2};\frac{y_A + y_C}{2}) ; soit K(0;-1)
Exercice 12
1)
2) Calculons la distance BC :
Exercice 13
1) Voici la figure :
2. Calculons les longueurs des côtés [AB] et [AC] :
AB=AC donc le triangle ABC est isocèle en A.
3. Le milieu A’ de [BC] a pour coordonnées
4. Le quadrilatère ABDC est un parallélogramme car \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AB}. De plus, d’après la question 2., il a deux côtés consécutifs de même longueur ([BA] et [AC]) : c’est donc un losange.
5. Les diagonales d’un parallélogramme se coupent en leur milieu. Comme A’ est le milieu de [BC], c’est aussi le milieu de [AD].
