Corrigés – Théorème de Pythagore
Exercice1
BC2=(5\sqrt{3})2 = 75
AB2 = (5)2=25
AC2= (5\sqrt{2}) = 50
BC2= AB2+AC2 donc d’après la réciproque du théorème de Pythagore ABC est un triangle rectangle en A
Exercice2
1) Calculons AB
A B B’ étant rectangle en B’ donc d’après le théorème de Pythagore on a :
AB2=AB’2+BB’2 ce qui signifie que
2) Calculons x
3) Calculons AC, AC’ et CC’
On trouve : AC=15 ; AC’ = 12 ; CC’=9
Exercice n°3
b) AH2+HB2=AB2 ce qui signifie que AH=4
c)Calculer d’abord AB
AB2 +AC2=BC2 Ce qui signifié que AB =6
e) AH2+HB2=AB2 ce qui donne AH =2.
Exercice n°6
a) Nature du triangle ABC
(Δ) médiatrice de [BC] et A \in (Δ) entraîne que AB = AC = 2BH ; or H milieu de [BC] donc BC =2BH.
En remplaçant 2BH par BC dans l’égalité AB = AC = 2BH on obtient AB=AC =BC d’où ABC est un triangle équilatéral.
b) Calculons AH
ABH étant un triangle rectangle en H donc d’après le théorème de Pythagore AB2 = AH2+BH2
Exercice 8
Exercice 11
1. On obtient la figure suivante :
2. Dans le triangle ABC, le plus long côté est [BC].
On a : AB² + AC² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100 et BC² = 10² = 100.
Donc : AB² + AC² = BC².
D’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en A.
3. a) On sait que le triangle ABC est rectangle en A.
Or, si un triangle est rectangle, alors le centre du cercle circonscrit au triangle est le milieu de l’hypoténuse.
Donc, le point O est le milieu de l’hypoténuse [BC].
3. b) Le rayon de ce cercle est donc \frac{BC}{2} = \frac{10}{2} soit 5 cm.
4. On obtient la figure suivante :
Le point O étant le milieu de la diagonale [BC] du rectangle ABDC, c’est également le centre de symétrie du rectangle. Par conséquent, le point D est le symétrique du point A par rapport à O, d’où OA = OD : Le point D appartient donc au cercle circonscrit au triangle ABC.
