12. Valeur absolue et Comparaison de deux nombres

I)Valeur absolue d’un nombre

1)Rappel et notation

• La valeur absolue de (+4,5) est 4,5 on note  |+4,5|= 4,5
• La valeur absolue de (-4,5) est 4,5 , on note |-4,5|= 4,5
• La valeur absolue de 0 est 0 et se note |0|= 0

Notation : La valeur absolue de “a “ se note |a|

2)Propriétés

Remplissez le tableau suivant , que remarque t-on ?

On remarque que :

• La valeur absolue d’un nombre positif  est ce nombre lui-même
• Le valeur absolue d’un nombre négatif est l’opposé de ce nombre
• Deux nombres opposés ont la même valeur absolue

Propriété

• Pour tout nombre positif “a“ ; |a|= a
• Pour tout nombre négatif “a“ ; |a|= -a
• Pour tout nombre “a“ ; |a| est toujours positive
• Pour tout nombre positif “a“ ; |a|=|-a|

II)Comparaison de deux nombres

1)Introduction

Amadou est un élève brillant et très bandit, pendant le 1^er trimestre son professeur lui donne les notes  suivantes :+5 ;  -2   ; +3 ; -1   ;  +4    ;  -6    ;   +7  

Représenter ces notes sur une droite graduée puis les ordonner.

Ordre : (-6)  (-2) (-1)  (+3)  (+4) (+5)  (+7)

(-6 ) (-2) se lit « -6 inferieur à -2 »

2) Règle de comparaison

 a) Activité

Comparer les nombres suivants et leur valeur absolue : +6 et +13   ;   -7 et -3      ; +5 et -14

on a :

• +6  +13   et |+6|  |+13|  car |+6|=6  et  |+13|=13 
•  -7  -3   et |-3|  |-7|  car |-3|= 3  et  |-7|=7
• -14  +5   et |+5|  |-14|  car |+5|=5  et  |-14|=14

b)Règles

• Si deux nombres sont positifs, le plus petit est celui qui a la plus petite  valeur absolue. 
• Si deux nombres sont négatifs, le plus petit est celui qui a la plus grande valeur absolue. 
• Si deux nombres sont de signes contraires, le plus petit est celui qui est négatif

III) Symboles   \leq    et  \geq

 1) Signification

Exemple 

Le devoir que le professeur va vous donner est noté sur 20. Si on appelle “a“ la note qu’un élève peut obtenir , on peut dire que cette note “a“ sera supérieure ou égale à 0 et qu’elle sera inférieure ou égale à 20. On écrit alors : a \geq  0  et a \leq  20

Notation :

• “a“ est inférieur ou égal à  “b“ se note  a \leq  b
• “a“ est supérieur ou égal à  “b“ se note  a \geq  b

Remarque 

a \leq  b signifie b \geq  a

 Ne pas confondre les symboles \geq  et \gt   ;    \leq  et \lt

\gt   se lit strictement supérieur

\lt    se lit strictement inférieur

2)Propriété

Complétons le tableau suivant :

Si a \geq b alors a-b \geq  0

Si a \leq b alors a-b \leq  0

3) Comparaison d’un nombre avec 0

Activité

Comparons les nombres suivants avec 0 : +7 ; +3 ; +2,5 ; -9 ; -5,4.

 Réponse : +7 \geq 0 ; +3 \geq 0 ;  +2,5 \geq 0 ;  -9 \leq 0   ;  -5,4 \leq 0

 Règle

a \geq 0 signifie  “a“ est un nombre positif ( a appartient à ID ⁺)

a \leq 0 signifie  “a“ est un nombre négatif ( a appartient à ID ^–)