2. Multiples et Diviseurs d’un entier naturel ;Nombres premiers

I) Multiples d’un entier naturel

  1) Activité

Un bonbon coute 5 Francs. Combien payez-vous si vous achetez : 1 bonbon ; 2 bonbon ; 3 bonbon ; 4 bonbon ;5 bonbon ;6 bonbon… ?  

 Réponse

• 1 bonbon =1x5F=5F
• 2 bonbon =2x5F=10F
• 3 bonbon =3x5F=15F
• 4 bonbon =4x5F=20F
• 5 bonbon=5x5F=25F
• 6 bonbon=6x5F=30F

On remarque :5=5×1 ; 10=5×2 ; 15=5×3 ; 20=5×4 ; 25=5×5 ; 30=5×6.On dit que 5 ;10 ;15 ;20 ;25 ;30 sont des multiple 5

 2) Définition

Un nombre « a » est un multiple d’un naturel « b » signifie que l’on peut trouver un naturel « k » tel que a=b x k

L’ensemble des multiples de « b » se note M_b

  3) Propriétés

• 0 est multiple de tous les naturels.
• Tout naturel est un multiple de 1 et de lui-même. 

II) Diviseurs d’un naturel

1) Définition

Un naturel « b » est un diviseur d’un naturel « a » signifie que « a » est un multiple de « b » (b 0)

Notation : L’ensemble des diviseurs de « b » se note D_b

 Exemple : 24 est un multiple de 4.

                 Donc 4 est un diviseur de 24.

Si « b » est un diviseur de « a » on dit que « b » divise « a » ou encore que « a » est divisible par « b ».

2) Cas particuliers

• 1 est un diviseur de tous les naturels.
• Tout naturel est diviseur de lui-même (sauf 0).
• Tout naturel est un diviseur de 0.

Exercice d’application

Donner la liste de tous les diviseurs de 24 et la liste de tous les diviseurs de 40.

Réponse

D₂₄ = {1 ; 2 ; 3; 4; 6 ; 8 ; 12 ; 24}

D₄₀ = {1 ; 2 ; 4 ; 5 ; 8 ; 10 ; 20 ; 40}

III) Division Euclidienne

1) Activité

Distribuons 32 cartes entre 5personnes de manière que chaque personne ait le même nombre de cartes.

On donne 6 cartes à chaque personne et il reste 2cartes.

L’opération qui permet d’établir l’égalité 32=5×6+2 est la division euclidienne de 32 par 5

• 32 s’appelle le dividende
• 5 est le diviseur
• 6 est le quotient
• 2 est le reste

Remarque

• Dans la division euclidienne de 32 par 5 ;5 s’appelle diviseur mais 5 n’est un diviseur de 32
• Le reste d’une division euclidienne est toujours inférieur au diviseur

IV) Nombre premiers

1) Activité

Chercher les diviseurs des nombres suivants :

1 ;2 ;3 ;9 ;11 ; 23.

Que remarque-t-on ?

  CORRECTION

D₁={ 1 } ; D₂={ 1 ;2 } ;   D₃={1 ;3} ;   D₁₁={1 ;11} ;   D₂₃={1 ;23} 

On remarque que chaque nombre n’a que deux diviseurs (1 et lui-même)

2) Définition

On dit qu’un entier naturel est un nombre premier si et seulement s’il n’a que deux diviseurs  (1 et lui-même).

Exemple : D₂={1 ;2} donc 2 est un nombre premier.

2) Tableau des nombres premiers inférieur à 100

On veut trouver tous les nombres premiers inférieurs à 100. Ecrivons la liste de 1 à 100; nous obtenons le tableau suivant.

L’ensemble des nombres premiers inférieur à 100 est :

{2 ;3 ;5 ;7 ;11 ;13 ;17 ;19 ;23 ;29 ;31 ;37 ;41 ; 43;47 ;53 ;59 ;61 ;67 ;71 ;73 ;79  ;89 ;97}

3) Propriétés

• Tout entier naturel supérieur à 1 admet au moins un diviseur premier
• Le plus petit diviseur (outre que 1) supérieur à 1 d’un entier naturel est un nombre premier

4) Comment reconnaitre un nombre premier

Pour savoir si un nombre est premier il faut arriver à dire que ce nombre n’a que deux diviseurs 1 et lui – même

Pour savoir  si un entier est un nombre premier ,on le divise par les autres entiers premiers en commençant par 2 jusqu’à ce que le quotient de la division euclidienne devienne inferieur au diviseur

V) Décomposition d’un naturel en facteur premiers

Activité

• Soit l’entier naturel 84. Le plus petit diviseur de 84 au autre que 1 est 2
  • 84=2 x 42
• Le plus petit diviseur de 42 est 2
  • 42=2 x 21
• Le petit diviseur de 21 est 3
  • 21=3 x 7

7 est un nombre premier. On écrit donc :

• 84=2 x 42
• 84=2 x 2 x 21
• 84=2 x 2 x 3 x 7

2) Disposition pratique

On présente le calcul comme si on posait une division en commençant par le plus petit diviseur premier ici c’est 2

3) Retenons

2x 2x 3x 7 est la décomposition de 84 en produit de facteur premier

Remarque

2x 2=2² se lit 2 puissance 2ou 2 exposant 2

Donc 84=2²x 3 x 7