Corrigés – Limites de fonctions numériques – Tle L

Exercice 1

a) \lim\limits_{\substack{x\rightarrow +\infty}}\sqrt{x-1}=\sqrt{+\infty-1} \\ =+\infty

b) \lim\limits_{\substack{x\rightarrow +\infty}}|x+2|=|+\infty+2| \\ =+\infty

c) \lim\limits_{\substack{x\rightarrow +\infty}}(x-3+\dfrac{1}{x-3}) \\ =+\infty -3+\dfrac{1}{+\infty-3} \\ =+\infty+0=+\infty

d) \lim\limits_{\substack{x\rightarrow +\infty}}\sqrt{3x-4} \\ =\sqrt{3(+\infty)-4}=+\infty

Exercice 2

Etudions les limites de chacune des fonctions numériques suivantes aux bornes de son ensemble de définition.
a) f(x)=\dfrac{2x-1}{x+2}
f(x) existe si et seulement si x+2 \not= 0~ c’est-à-dire si ~ x \not= -2

b) f(x) = \dfrac{x^2 – 1}{-x^2 + 2}
f(x) existe si et seulement si –x2+2 \not= 0~ c’est-à-dire ~x \not=-\sqrt 2 ~ et ~ x \not=\sqrt 2
D_f = \R \backslash \lbrace -\sqrt2 ; \sqrt2 \rbrace \\ = ]-\infty ; -\sqrt2[ \cup ]-\sqrt2 ; \sqrt2[ \cup ]\sqrt2 ; +\infty[

c) f(x) = x-1-\dfrac{2}{\sqrt{x+1}}
f(x) existe si et seulement si x +1 >0~ c’est-à-dire si~ x >-1, \\ D_f=]-1 ; +\infty[

d) f(x) = \sqrt{-3x + 4}
f(x) existe si et seulement si -3x+4 \geq 0~c’est-à-dire si~x \leq \dfrac{3}{4}, \\ D_f = ]-\infty ; \dfrac{4}{3}]

Exercice 3

Calculons dans chacun des cas les limites de f aux bornes de son ensemble de définition et en déduisons les asymptotes à (C).
a) f(x)=\dfrac{1}{x-1}
f(x) existe si et seulement si x-1 \not= 0~c’est-à-dire~ x\not= 1. \\ D_f=]-\infty ;1[∪]1; +\infty[

\lim\limits_{\substack{x\rightarrow -\infty}}f(x)=\lim\limits_{\substack{x\rightarrow -\infty}}\dfrac{1}{x-1}=\dfrac{1}{-\infty}=0
Donc la droite d’équation y = 0 est asymptote horizontale à (C) au voisinage de -\infty.

\lim\limits_{\substack{x\rightarrow 1^-}}f(x)=\dfrac{1}{0^-}=-\infty
Donc la droite d’équation x =1 est asymptote verticale à la courbe (C) en -\infty

\lim\limits_{\substack{x\rightarrow 1^+}}f(x)=\dfrac{1}{0^+}=+\infty
Donc la droite d’équation x=1 est asymptote verticale en +\infty

\lim\limits_{\substack{x\rightarrow +\infty}}f(x)=\dfrac{1}{+\infty}=0
Donc la droite d’équation y =0 est asymptote horizontale à (C) au voisinage de +\infty.

b) f(x)=8-\dfrac{6}{x}+\dfrac{1}{x^2}
f(x) existe si et seulement si x\not= 0~et~x^2\not= 0 \\ D_f=\R \backslash \lbrace 0 \rbrace =]-\infty;0[\cup]0;+\infty[

\lim\limits_{\substack{x\rightarrow -\infty}}f(x)=8-\dfrac{6}{-\infty}+\dfrac{1}{+\infty}=8~
et~\lim\limits_{\substack{x\rightarrow +\infty}}f(x)=8-\dfrac{6}{+\infty}+\dfrac{1}{+\infty}=8

Donc la droite d’équation y = 8 est asymptote horizontale à (C) en -\infty~et en~+\infty

Donc la droite d’équation x=0 est asymptote verticale à la courbe (C) en -\infty et en~+\infty.

c) \dfrac{4x+9}{(2x+3)^2}
f(x) existe si et seulement si 2x+3 \not= 0~et c’est-à-dire si~x \not=\dfrac{-3}{2}

\lim\limits_{\substack{x\rightarrow -\infty}}f(x)=\dfrac{4x+9}{(2x+3)^2} \\ = \lim\limits_{\substack{x\rightarrow -\infty}}\dfrac{4x}{4x^2} \\ ~~=~~~ \lim\limits_{\substack{x\rightarrow -\infty}}\dfrac{1}{x} = 0
et de même, \lim\limits_{\substack{x\rightarrow -\infty}}f(x)=0

Donc la droite d’équation y = 0 est asymptote horizontale à (C) en -\infty~et en~+\infty

\lim\limits_{\substack{x\rightarrow (-\frac{3}{2})^-}}f(x)=\dfrac{4(-\dfrac{3}{2})+9}{0^+} = +\infty
et de même
\lim\limits_{\substack{x\rightarrow (-\frac{3}{2})^+}}f(x)=\dfrac{4(-\dfrac{3}{2})+9}{0^+} = +\infty

Donc la droite d’équation x =\dfrac{-3}{2} est asymptote verticale à (C) en -\infty~et en +\infty.

d) f(x)=\dfrac{4x^2-8x}{x^2-2x-3}
f(x) existe si et seulement si x^2-2x-3 \not= 0
\Delta = 4-4(1)(-3)=16 \\ x_1 = \dfrac{2-4}{2} = -1
et ~~~x_2 = \dfrac{2+4}{2}=3

D_f = \R \backslash \lbrace -1 ; 3 \rbrace \\ = ]-\infty ; -1[ \cup ]-1 ; 3[ \cup ]3 ; +\infty[

\lim\limits_{\substack{x\rightarrow -\infty}}f(x)=\lim\limits_{\substack{x\rightarrow -\infty}}\dfrac{4x^2-8x}{x^2-2x-3} \\ =\lim\limits_{\substack{x\rightarrow -\infty}}\dfrac{4x^2}{x^2}=4
de même \lim\limits_{\substack{x\rightarrow -\infty}}f(x) = 4
Donc la droite d’équation y =4 est asymptote horizontale à (C) en -\infty~et en~+\infty

On conclut aussi que la droite d’équation x = -1 est asymptote verticale à (C) au voisinage de -\infty ~et de~+\infty.
(cap 10)

On conclut aussi que la droite d’équation x =3 est asymptote verticale à (C) au voisinage de -\infty ~et de~+\infty.

Exercice 4

Soit f(x)=\dfrac{2x^2+x-4}{x}

a) Déterminons les réels a ; b et c tels que f(x)=ax+b+\dfrac{c}{x}
f(x)=ax+b+\dfrac{c}{x} \\ =\dfrac{x(ax+b)+c}{x}=\dfrac{ax^2+bx+c}{x}
Par identification ; a = 2 ; b = 1~et~ c = -4~d’où~ f(x) = 2x+1-\dfrac{4}{x}

b) Montrons que (D): y = 2x+1 est asymptote à la courbe de f.
\lim\limits_{\substack{x\rightarrow -\infty}}[f(x) – (2x +1)] = \lim\limits_{\substack{x\rightarrow -\infty}} -\dfrac{4}{x} \\ = 0 \\ = \lim\limits_{\substack{x\rightarrow -\infty}}[f(x) – (2x + 1)]
Donc la droite d’équation (D): y = 2x+1 est asymptote oblique à la courbe de f.