Exercices – Fonction exponentielle de base e – Tle L

Exercice 1

Résoudre dans \Psi^2 les systèmes suivants :
(1) \begin{cases} e^x \times e^y=6 \\ \dfrac{e^x}{e^y}=\dfrac{2}{3}\end{cases}

(2) \begin{cases} 3e^x-4e^y=-6 \\ 2e^x+e^y=7 \end{cases}

(3) \begin{cases} 2e^x-3e^y=9 \\ -6e^x+5e^y=19\end{cases}

Exercice 2

Soit la fonction f définie par :
f (x) = ax + b + ce^x ou a, b et c sont trois réels. On note (C) la courbe représentative de f dans un repère orthonormé (O,\vec{i},\vec{j}).
1) Déterminer les réels a, b et c de façon que (C) soit tangente en O au point d’abscisse x_0=1
Coupe l’axe des ordonnées au point d’ordonnée 1.
2.a) Etudier les variations de la fonction g définie par :
g(x)= x+1-e^x
(Sens de variation, limites, tableau de variation).
Soit (C’) la courbe représentative de g dans le repère orthonormé (O,I,J).
b) Montrer que la droite (D) d’équation y=x+1~est asymptote à (Ƭ) en -\infty
c) Tracer (D) et (C’) dans le repère (O,\vec{i},\vec{j}).

Exercice 3

On considère le plan rapporté à un repère orthonormé (O,\vec{i},\vec{j}). Soit la fonction f définie par:
f(x)=\dfrac{e^x}{e-e^x}
On note (C) la courbe représentative de f dans le repère (O,I,J)
1) Déterminer l’ensemble de définition de f.
2) Montrer que pour tout réel x \in D_f,~on a
f(x)=-1+\dfrac{e^x}{e-e^x}
3) Etudier les variations (tableau de variation, sens de variation, limites) de f
4) Tracer la courbe (C) dans le repère (O,\vec{i},\vec{j}).
5) Soit g la fonction définie par
g(x)=\dfrac{e^x+1}{1-e^x}
a)Monter que g est impaire.
b) Soit A (1;\dfrac{-1}{2}).
Montrer que (C) admet A pour centre de symétrie.
On donne e=2,7