Corrigés - Probabilité - Tle L

Tle B Mathématiques 8 : Probabilité – Tle L Corrigés – Probabilité – Tle L

Exercice 1

a) $C_n^2=7n$
L’équation est valide si $n \geq 2$

on trouve $n=0 ~$ ou $~ n=15;~$ or $~ n \geq 2 ~$ donc $~ S_{IN}=\lbrace 15 \rbrace$

b) L’équation est valide si $x \geq 5 ~$ et $~ x \geq 7 ~$ c’est-à-dire que :
$~ D_v=[7 ;+\infty[$

$C_x^5 = C_x^7$

$\Leftrightarrow \dfrac{x!}{5!(x-5)!} = \dfrac{x!}{7!(x-7)!}$

$\Leftrightarrow 5!(x-5)! = 7!(x-7)!$

$\Leftrightarrow 5!(x-5)(x-6)(x-7)! = 7\times 6 \times 5!(x-7)!$

$\Leftrightarrow (x-5)(x-6)=7 \times 6 = 42$

$\Leftrightarrow x^2 – 11x -12 = 0$

Après résolution on trouve $x=-1~$ ou $~x=12~$ or $~-1~\notin [7;+\infty[~$ donc $~S_{IN}=\lbrace 12 \rbrace$

c) $A_n^2=3n$
L’équation est valide si $n \geq 2$

On trouve $n=0~$ ou $~n=4~$ or $~0\notin ~[2;+\infty[~$ donc $~S_{IN}=\lbrace4 \rbrace$

d) $A_n^3=5n^2$
L’équation est valide si $n \geq 3$

On trouve $n=0~$ ou $~n=\dfrac{8-\sqrt{56}}{2}~$ ou $~n=\dfrac{8+\sqrt{56}}{2}$
$0 \notin ~[3;+\infty[~$ et $~\dfrac{8-\sqrt{56}}{2}~$ et $~\dfrac{8+\sqrt{56}}{2}~$ ne sont pas des entiers naturels donc $S_{IN}=\varnothing$

Exercice 2

La classe comprend 36 élèves.
1) Le nombre d’élèves étudiant l’espagnol est égal à :
8 + 4 + 10 = 22.
Si on choisit un élève au hasard, la probabilité pour qu’il étudie l’espagnol est donc égale à :
$\dfrac{22}{36}=\dfrac{11}{18}$

2) Le nombre d´élèves étudiant uniquement l’espagnol est égal à 8. Si on choisit un élève au hasard, la probabilité pour qu’il étudie uniquement l’espagnol est donc égale à $\dfrac{8}{36}=\dfrac{2}{9}$

3) Le nombre d’élèves étudiant l’espagnol et le latin est égal à 4. Si on choisit un élève au hasard, la probabilité pour qu’il étudie l’espagnol et le latin est donc égale à $\dfrac{4}{36}=\dfrac{1}{9}$ .

4) Le nombre d’élèves étudiant l’espagnol ou le latin est égal à :
8 + 10 + 4 + 3 + 6 = 31.
Si on choisit un élève au hasard, la probabilité pour qu’il étudie l’espagnol ou le latin est donc égale à $\dfrac{31}{36}$ .

5)Le nombre d’élèves étudiant l’espagnol, l’espagnol et la musique, le latin, le latin et la musique est égal à :
8 + 10 + 3 + 6 = 27.
Si on choisit un élève au hasard, la probabilité pour qu’il étudie l’espagnol, l’espagnol et la musique, le latin, le latin et la musique est donc égale à $\dfrac{27}{36}=\dfrac{3}{4}$ .

6)Le nombre d’élèves étudiant une seule des trois options est égal à :
8 + 6 + 5 = 19.
Si on choisit un élève au hasard, la probabilité pour qu’il étudie une seule des trois options est donc égale à $\dfrac{19}{36}$ .

Exercice 3

Calculons :
a) Lorsque $A$ et $B$ sont incompatibles
$p(A \cup B)=p(A)+p(B) \\ p(A \cup B)=0,3+0,5 \\ p(A \cup B)=0,8$

b) Lorsque $p(A \cap B)=0,12;~ \\p(A\cup B)=p(A)+p(B)-p(A\cap B)\\p(A\cup B)=0,3+0,5-0,12\\p(A\cup B)=0,68$

Exercice 4

1) Le dompteur a
$C_{10}^5=\dfrac{10!}{5!(10-5)!}=252~$ façons de choisir 5 fauves parmi les 10 présents.
Pour $0 \leq k \leq 4,~$ il y a $C_4^k~$ façons de choisir $~k~$ lions et $~C_6^{5-k}~$ façons de choisir ( $5-k$ ) autres fauves.
Ainsi ; nous avons $p(X=k)=\dfrac{C_4^k \times C_6^{5-k}}{C_{10}^5}$
On obtient la loi de probabilité de $X$ .

2)L’espérance mathématique de $X$ est donnée par :
$E(X)=0 \times p(X=0)+1 \times p(X=1)+2 \times p(X=2)+3 \times p(X=3)+4 \times p(X=4)=2$
L’espérance mathématique de $X$ est donc de 2 lions.

Exercice 5

Epreuve : tirage simultané de 3 boules dans une urne contenant 6 boules. Les boules étant indiscernables au toucher, nous sommes dans l’hypothèse d’équiprobabilité.
On a $card~\varOmega=C_6^3=20$
1.a) Soit A l’évènement : «les 3 boules tirées sont de la même couleur». A se traduit par : «les trois boules sont vertes» donc $p(A)=\dfrac{C_3^3}{20}=\dfrac{1}{20}$

b) Soit B l’évènement : «les trois boules sont de couleurs différentes». B se traduit par : «1 boule verte et 1 boule rouge et 1 boule noire» donc :
$p(B)=\dfrac{C_3^1 \times C_2^1 \times C_1^1}{20}=\dfrac{3}{10}$

c) Soit C l’évènement : «deux boule et deux seulement sont de même couleur». C s’écrit $\overline{A \cup B}$
$p(C)=1-p(A \cup B)~$ avec A et B incompatibles, donc $p(C)=1-(p(A)+p(B))=\dfrac{13}{20}$

2.a) $X(\varOmega)=0;5;10;a;5+a;10+a~$ (avec a un entier naturel non nul différent de 5 et de 10).
$P(X=0)=p(A)=\dfrac{1}{20}$

$P(X=5)=p($ 2 vertes 1 rouge $)=\dfrac{C_3^2 \times C_2^1}{20}=\dfrac{3}{10}$

$P(X=10)=p($ 1 verte et 2 rouges $)=\dfrac{C_3^1 \times C_2^2}{20}=\dfrac{3}{20}$

$P(X=a)=p($ 2 vertes et 1 noire $)=\dfrac{C_3^2 \times C_1^1}{20}=\dfrac{3}{20}$

$P(X=5+a)=p(B)=\dfrac{3}{10}$

$P(X=10+a)=p$ (2 rouges et 1 noire) $=\dfrac{C_2^2 \times C_2^1}{20}=\dfrac{1}{20}$
D’où la loi de $X$

b) $E(X) = 0 \times P(X=0)+5\times P(X=5)+10 \times p(X=10)+a \times p(X=a)+(5+a) \times p(X=5+a)+(10+a) \times p(X=10+a) =\dfrac{10+a}{2}$

c) $E(X)=20$ signifie $\dfrac{10+a}{2} = 20$
On trouve $a= 30$ .