Corrigé Sujet Bac 1 – Tle L

Exercice 1

1.a) La production de M. Kouao a été de :
2,8+\dfrac{2,8 \times 10}{100}=3,08
La Production de M. Kouao en 1995 était de 3,08 tonnes.

b) Si on note V_0 la production de cacao de M. Kouao en 1994 et V_n sa production après n années on a :
V_1=V_0+\dfrac{10 \times V_0}{100}=1,1V_0
De même on généralise en écrivant :
V_{n+1}=V_n+\dfrac{10\times V_n}{100}=1,1V_n
La suite (V_n)_{n \in \zeta}~est une suite géométrique de raison 1,1.
On a la relation V_n=(1,1)^nV_0=2,8(1,1)^n
V_9~ correspond à la production de 2003.
V_9=2,8(1,1)^9
V_9=6,7
En 2003 M. Kouao a une production d’environ 6,7 tonnes

2) On doit chercher le plus petit entier n pour lequel V_n>U_n
Pour n = 3 (en 1997)
V_3=(1,1)^3 \times 2,8=3,64~
or~U_3=3,7
Pour n=4 (en 1998)
V_4=(1,1)^4 \times 2,8 \\ V_4=1,5 \times 2,8 \\ V_4=4,2;~
U_4=U_3+0,3=4
C’est à partir de 1998 que la production de M. Kouao dépassera celle de M. Yapi.

Exercice 2

Epreuve : tirage simultané de 3 boules dans une urne contenant 6 boules. Les boules étant indiscernables au toucher, nous sommes dans l’hypothèse d’équiprobabilité.
On a card~\Omega=C_6^3=20

1.a) Soit A l’évènement : «les 3 boules tirées sont de la même couleur». A se traduit par : «les trois boules sont vertes» donc :
p(A)=\dfrac{C_3^3}{20}=\dfrac{1}{20}
b) Soit B l’évènement : «les trois boules sont de couleurs différentes». B se traduit par : «1 boule verte et 1 boule rouge et 1 boule noire» donc :
p(B)=\dfrac{C_3^1 \times C_2^1 \times C_1^1}{20}=\dfrac{3}{10}
c) Soit C l’évènement : «deux boule et deux seulement sont de même couleur». C s’écrit \overline{A\cup B}
p(C)=1-p(A \cup B)~avec A et B incompatibles, donc :
p(C)=1-(p(A)+p(B))=\dfrac{13}{20}

2.a) X(\Omega)=0;5;10;a;5+a;10+a~(avec a un entier naturel non nul différent de 5 et de 10).
P(X=0)=p(A)=\dfrac{1}{20}

P(X=5)=p(2 vertes 1 rouge)=\dfrac{C_3^2 \times C_2^1}{20}=\dfrac{3}{10}

P(X=10)=p(1 verte et 2 rouges)=\dfrac{C_3^1 \times C_2^2}{20}=\dfrac{3}{20}

P(X=a)=p(2 vertes et 1 noire)=\dfrac{C_3^2 \times C_1^1}{20}=\dfrac{3}{20}

P(X=5+a)=p(B)=\dfrac{3}{10}

P(X=10+a)=p(2 rouges et 1 noire)=\dfrac{C_2^2 \times C_2^1}{20}=\dfrac{1}{20}
D’où la loi de X

b) E(X) = 0\times P(X=0) + 5\times P(X=5)+ 10\times P(X=10)+ a\times P(X=a)+(5+a) \times P(X=5+a)+ (10+a)\times P(X=10+a) = \dfrac{10+a}{2}

c) E(X) =20 signifie \dfrac{10+a}{2}=20
On trouve a = 30.

Problème

Soit f(x)=\dfrac{1}{x}+\dfrac{\ln x}{x}
1.a) Ensemble de définition D de f.
f(x) existe si et seulement si x \not= 0~et~x>0
D_v=]-\infty;0[\cup]0;+\infty[\cap]0;+\infty[ \\ D_v=]0;+\infty[
b) vérificaion
f(x)=\dfrac{1}{x}+\dfrac{\ln x}{x}

f(x)=\dfrac{1}{x}\times 1+\dfrac{1}{x}\times \ln x

f(x)=\dfrac{1}{x}(1+\ln x)
Donc pour tout x \in D, \\ f(x)=\dfrac{1}{x}(1+\ln x)
\lim\limits_{\substack{x\rightarrow 0^+}} f(x) = \dfrac{1}{0^+} (1+\ln 0^+) \\ = +\infty (1-\infty) \\ = -\infty

c) \lim\limits_{\substack{ x \rightarrow +\infty}} f(x) = 0
d) les asymptotes à (C)
\lim\limits_{\substack{x\rightarrow 0^+}}f(x)=-\infty~et~\lim\limits_{\substack{x\rightarrow +\infty}}f(x)=0~donc les droites d’équation x=0 et y=0 sont respectivement asymptotes verticale et horizontale à (C).

2.a) Calcul de f'(x) et étude de signe.
Pour tout x \in D_f;~f~est dérivable
et~f'(x)=-\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1-\ln x}{x^2}=-\dfrac{\ln x}{x^2}

f'(x)=\geq 0 \Harr -\dfrac{\ln x}{x^2} \geq 0~
or~\forall ~~x \in \Psi;~x^2 \geq 0 donc le signe de f'(x) est celui de -\ln x
-\ln x \geq 0 \Harr \ln x\leq 0;
x \leq 1
Ainsi pour x \in ]0;1];~ \\ f'(x)\leq 0 donc f est décroissante sur ]0;1].

b) Tableau de variations

3a) Abscisse du point A
Soit A(x;y)
En ce point y=0 donc A(x;0)

On résout f(x)=0 pour trouver l’abscisse x.
f(x)=0 \Harr \dfrac{1}{x}(1+\ln x)=0
\dfrac{1}{x}=0~ou~(1+\ln x)=0~
or~\forall~~ x \in ~]0;+\infty[;\dfrac{1}{x} \ne 0

On résout donc :
(1+\ln x)=0 \Harr \ln x=-1
\ln x= \ln e^{-1}
x=e^{-1}=\dfrac{1}{e}
D’où A(\tfrac{1}{e};0)

b) Equation de la tangente (T).
(T) : y=f'(\dfrac{1}{e})(x-\dfrac{1}{e}) + f(\dfrac{1}{e})

avec f'(\dfrac{1}{e}) = e^2 et f(\dfrac{1}{e}) = 0

4) Construction de (C) et (T).