Exercice 1

1) Calculons U_2~et~U_3
On a 2nU_{n+1}=(n+1)U_n \Harr U_{n+1}=\dfrac{n+1}{2n}U_n
Ainsi:U_2=\dfrac{1+1}{2 \times 1}U_1=U_1=2

U_3=\dfrac{2+1}{2 \times 2}U_2=\dfrac{3}{4}U_2=\dfrac{3}{4} \times 2=\dfrac{3}{2}

2)Soit V_n=\dfrac{U_n}{n}
Calculons V_1; V_2;~et~ V_3
(cap 101)
b) Montrons que (v_n) est une suite géométrique dont on précisera la raison.
(cap 102)
donc (v_n) est une suite géométrique de raison q = \dfrac{1}{2} et de premier terme V_1=2
c) Ecrivons V_n ~et~ U_n en fonction de n.
(cap 103)

d) Etude de sens de variation et de convergence.
On a 0<\dfrac{1}{2}<1~donc~(V_n)~est~décroissante.
(cap 104)
Or \forall n \geq 1; (\tfrac{1}{2})^{n-1} \geq 0~et~1-n \leq 0~donc~U_{n+1}-U_n \leq 0~par~conséquent~(U_n)~est~décroissante
\lim\limits_{\substack{n\rightarrow +\infty}}(V_n)=0~et~\lim\limits_{\substack{n\rightarrow +\infty}}(U_n)=0~donc~(V_n)~et~(U_n)convergent vers 0.

Exercice 2

1) On range les valeurs dans l’ordre croissant :
13,5; 13,8; 13,8; 13,9; 14 ; 14,1 ; 14,2; 14,2; 14,3; 15,2

Comme il y a 10 valeurs, la médiane est comprise entre la 5ème et 6ème valeur qui partage la série en deux séries de 5 valeurs, soit la valeur \dfrac{14+14,1}{2}=14,05
Conclusion : La médiane de cette série est 14,05
2) Soit m la moyenne, on a :
m=\dfrac{13,5+13,8\times 2+13,9+14+14,1+14,2\times 2+14,3+15,2}{10}=14,1
La moyenne moyenne est donc de 14,1

3) Calcul de l’étendu

La plus petite valeur est 13,5
La plus grande valeur est 15,2
On a : 15,2 – 13,5 = 1,7
Conclusion : ~l’étendu~ est~ 1,7

Problème

1) Ensemble de définition
f(x) existe si x^2+4 \not= 0~Or~\forall x \in \R;~x^2+4 \not= 0~donc~D_f=\R
2) Etude de la parité.
\forall x \in D_f;-x \in D_f~et~f(-x)=\dfrac{-2(-x)^2+8}{(-x)^2+4}=\dfrac{-2x^2+8}{x^2+4}=f(x)donc~f~est~paire
Comme f est paire, alors (C) admet pour axe de symétrie l’axe des ordonnées.
3) Détermination de réels a et b.
f(x)=a+\dfrac{b}{x^2+4}=\dfrac{a(x^2+4)+b}{x^2+4}=\dfrac{ax^2+4a+b}{x^2+4}
Par identification a=-2 ~et~ 4a+b=8~ soit ~b=8-4(-2) =16
d’où f(x)=-2+\dfrac{16}{x^2+4}
4) Variations de f.
\forall x \in D_f;f'(x)=\dfrac{-2x\times (16)}{(x^2+4)^2}=\dfrac{-32x}{(x^2+4)^2}
Etudions le signe de f(x)f'(x)\geq 0 \Harr \dfrac{-32x}{2(x^2+4)}\geq 0~or~\forall x \in \R;(x^2+4)^2>0~donc le signe de f'(x) est celui de -32x.
-32x \geq 0 \Harr x \leq 0~ce qui signifie que pour x \leq 0; f'(x)\geq 0~et pour x \geq 0;f'(x)\leq 0
Ainsi sur]-\infty;0]; f’(x)\geq 0 donc f est croissante et sur [0; +\infty[ ; f'(x)\leq 0 donc f est décroissante.
5) Coordonnées des points d’intersection
Avec l’axe des abscisses
Soit A(x ;y) avec y=f(x) le point d’intersection de (C) avec l’axe des abscisses. En ce point A ; y=0=f(x) donc A(x ;0)
Pour trouver x, on résout l’équation f(x)=0.
f(x)=0 \Harr \dfrac{-2x^2+8}{x^2+4}=0 \Harr -2x^2+8=0 \Harr x=-2~ou~x=2
Ainsi ,(C) coupe l’axe des abscisses aux point A(-2;0) et A'(2;0)
Avec l’axe des ordonnées
Soit B(x ;y) avec y=f(x) le point d’intersection de (C)avec l’axe des ordonnées. En ce point B;x=0 donc B(0;y).
Pour trouver y, on calcule f(0).
\dfrac{-2\times 0+8}{0+4}=2~d’où~B(0;2)
Ainsi (C) coupe l’axe des ordonnées au point B(0;2)
6) Equation de la tangente (T) du point d’abscisse x=2
(cap 168)

7) Construction

\lim\limits_{\substack{x\rightarrow +\infty}}f(x)=-2;~\lim\limits_{\substack{x\rightarrow +\infty}}f(x)=-2~donc la droite d’équation y=-2asymptote horizontale à (C). f(0)=2.
Tableau de variation.
(cap 169).