Exercice 1

La classe comprend 36 élèves.
1) Le nombre d’élèves étudiant l’espagnol est égal à : 8+4+10: 22
Si on choisit un élève au hasard, la probabilité pour qu’il étudie l’espagnol est donc égale à \dfrac{22}{36}=\dfrac{11}{18}.
2) Le nombre d’élève étudiant uniquement l’espagnol et le latin est égal à 8.
Si on choisit un élève au hasard, la probabilité pour qu’il étudie uniquement l’espagnol est donc égale à \dfrac{8}{36}=\dfrac{2}{9}
3) Le nombre d’élèves étudiant l’espagnol et le latin est égal à 4.
Si on choisit un élève au hasard, probabilité pour qu’il étudiant l’espagnol et le latin est donc égale à \dfrac{4}{36}+\dfrac{1}{9}
4) Le nombre d’élèves étudiant l’espagnol ou le latin est égal à 8+10+4+3+6=31
Si on choisit un élève au hasard, la probabilité pour qu’il étudie l’espagnol ou le latin est donc égale à \dfrac{31}{36}
5) Le nombre d’élèves étudiant l’espagnol, l’espagnol et la musique, le latin, le latin et la musique est égal à 8+10+3+6=27
Si on choisit un élève au hasard, la probabilité pour qu’il étudie l’espagnol,l’espagnol et la musique, le latin, le latin et la musique est égale à \dfrac{27}{36}=\dfrac{3}{4}
6) Le nombre d’élèves étudiant une seule des trois options est égal à 8+6+5=19
Si on choisit un élève au hasard, la probabilité pour qu’il étudie une seule des trois options est donc égale à \dfrac{19}{36}

Exercice 2

1) Démontrons que u est une suite arithmétique et précisons la raison et le premier terme.
\forall n \in \N;\dfrac{u_n+1}{u_n}=\dfrac{3\tfrac{(-2)^{n+1-1}}{5^{n+1}}}{5^n}
\forall n \in \N; \dfrac{u_{n+1}}{u_n}=-\dfrac{2}{5}~alors u est une suite géométrique de raisonr=-\dfrac{2}{5}~et de premier termeu_0=-\dfrac{3}{2}
2) convergence de u.
-1<\dfrac{2}{5}<1~alors u converge vers 0.

Probleme

Partie A

1) g'(x)=e^x-1~est positive lorsque x \geq 0;~g(0)=1-0-1=0~comme g est décroissante avant 0 et croissante après, g est toujours positive.
2) Comme g(x)\geq 0,~on~a~e^x-x \geq 1 \implies e^x-x>0~(ceci montre que f est définie sur \R ).

Partie B

(cap 155)

b. On a une asymptote horizontale en -\infty:y=-1~et~une~autre~en~+\infty:y=0
(cap 156)

b. f’ est du signe de 1−x.
(cap 157)
Comme g est positive, ainsi que e^x-x,f(x)-x~est du signe de −x, soit positif avant 0 (C est au-dessus de T), négatif après (C est en dessous de T).
(cap 158)