Corrigé Sujet Bac 8 Terminale littéraire

Exercice 1

1) a. on dispose de 2 faces portant le chiffre 2 sur un ensemble de 6 faces :
Donc la probabilité d’obtenir le numéro 2 est : $P({2})=\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}$
b) Obtenir 421 revient à obtenir 4 au premier larcer, 2 au second lancer et 1 au 3ème lancer. Donc la probabilité d’obtenir le nombre 421 est $P({421})=P({4}) \times P({2}) \times P({1})=\dfrac{1}{6}\times \dfrac{2}{6} \times \dfrac{1}{6}=\dfrac{1}{108}$
2). Vérifions que la probabilité d’obtenir 421, est égale à $\dfrac{1}{54}$ .
$P({421})=P({4})\times P({2})\times P({1})=\dfrac{2}{6}\times \dfrac{2}{6}\times \dfrac{1}{6}=\dfrac{1}{54}$
3) Démontrons que la probabilité d’obtenir 421, est égale à $\dfrac{2}{135}$ .
Soit N l’évènement « obtenir le nombre 421 ».
Comme l’urne contient 10 dés dont 4 identiques au dé A et 6 identiques au dé B, alors la probabilité d’obtenir 421 est égale à la somme de $\dfrac{4}{10}$ de la probabilité du cas 1.b et $\dfrac{6}{10}$ de la probabilité du cas 2.

P(N)=P({421})=\dfrac{4}{10}\times \dfrac{1}{108}+\dfrac{6}{10}\times \dfrac{1}{54}=\dfrac{2}{135}

Exercice 2

(cap 159)

est donc du signe de g(x) et f est donc négative entre ln 2 et – ln 2, positive ailleurs.

Probleme

e^2x-e^x+1=X^2-X+1~en~posant~X=e^x.On~a~alors~\Delta=-3<0~

donc le trinômes est positif ainsi que $e^{2x}-e^x+1$ $f'(x)=\dfrac{2e^{2x}-e^x}{e^{2x}-e^x+1}=\dfrac{e^x(2e^x-1)}{e^{2x}-e^x+1}$ donc f’ est du signe de $2e^x-1$ . Ce terme est positif lorsque $e^x>\dfrac{1}{2} \Harr x >\ln \dfrac{1}{2} \Harr x >\ln \dfrac{1}{2} \Harr x>-\ln 2$ Par ailleurs
(cap 160)
2) En $-\infty$ c’est facile car $e^{2x}~et~e^x~tendent~vers~0$ . On a donc f qui tend vers ln1=0.
En $+\infty;e^{2x}-e^x+1$ se comporte comme $e^{2x}$ et tend donc vers $+\infty$ .
(cap 161)
Les termes $e^{-2x}~et~e^{-x}~$ tendent vers 0 à l’infini, donc $f(x)-2x$ tend vers ln1=0. La droite $y=2x$ est donc asymptote de (C).
4) La tangente en 0 est $(y=x)$ . Figure à la fin.
5) L’équation $e^{2x}-e^x+1=\dfrac{7}{8}~est~équivalente~à~f(x)=\ln(\tfrac{7}{8}). Comme \dfrac{3}{4}<\dfrac{7}{8}<1,On~ a~\ln \tfrac{3}{4}<\ln \tfrac{7}{8}<0~$ il y a donc deux solutions.
Par le calcul on pose $X=e^x$ , ce qui donne l’équation $X^2-X+1-\dfrac{7}{8}=0 \Harr X^2-X+\dfrac{1}{8}=0,\Delta=1-\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2}~$ d’où les racines.
(cap 162)
(cap 163)