Exercice 1

1)Calculons v_0
v_0=-\ln 2
2)Démontrons que v est une suite géométrique de raison 2.
\forall n \in \N;v_{n+1}=\ln (\tfrac{3}{2}u_{n+1})=\ln(\tfrac{3}{2}u_n)^2=2\ln(\tfrac{3}{2}u_n)=2v_n~alors v est une suite géométrique de raison 2.
3)Exprimons v_n en fonction de n.
\forall n \in \N; v_n=-\ln(2) \times (2)^n
4)Calculons la limite de v.
\lim\limits_{\substack{x\rightarrow +\infty}}v_n=-\infty(car~1<2)
5)Exprimons u_n en fonction de v_n et en déduisons la limite de u.
(cap 164)

6)On pose :\forall n \in \N; S_n=v_0+v_1+…+v_n~et~t_n=u_0 \times u_1 \times …\times u_n

a)Démontrons que :
(cap 165)

b)Justifions que :
(cap 166)

c)Exprimons t_n en fonction de n.
(cap 167)

Exercice 2

1) Au cours de l’année,chaque candidat a obtenu dix notes en Mathématiques.
(cap 112)
Calcul des moyennes
Désignons par \overline{X_k}la moyenne des notes de Kakou.
(cap 113)
\overline{X_k}=\dfrac{1\times 5+4 \times 8+4\times 16+1\times 19}{10}=12
D’où \overline{X_k}=12
Désignons par \overline{X_A}~ la moyenne des notes de Annah.
(cap 114)
D’où \overline{X_A}=12

Calcul des écarts types
Désignons par \sigma_K l’écart-type des notes de Kakou.
(cap 115)
Désignons par \sigma_A l’écart-type des notes de Annah.
(cap 116)

3) \overline{X_A}=\overline{X_k}~donc Annah et Kakou ont la même performance en Mathématiques ; mais comme \sigma_A<\sigma_K~ alors Annah est plus régulière que Kakou, elle est donc l’élément sûr qu’il faut choisir.

Problème

Soit f(x)=\dfrac{e^x}{e-e^x}
1) Déterminons l’ensemble de définition de f.
(cap 70)
2) Montrons que \forall x \in D_f;f(x)=-1+\dfrac{e}{e-e^x}
(cap 71)
3) Etudions les variations de f. Pour tout x \in D_f;~f~est~dérivable
f'(x)=0+\dfrac{e \times e^x}{(e-e^x)^2}=\dfrac{e^{x+1}}{(e-e^x)^2}
\forall \in D_f;~f'(x)>0;donc f est strictement croissante sur Df.
(cap 72)
Tableau de variation
(cap 73)
4) Courbe.
(cap 74)
5) Soit g(x)=\dfrac{e^x+1}{1-e^x}
a) Montrons que g est impaire
(cap 75)
g(-x)=\dfrac{e^x+1}{1-e^x}=g(x)~donc g est une fonction impaire.
b) Montrons que A(1;\dfrac{-1}{2}) est un centre de symétrie de (C).
(cap 76)
donc A(1;-\tfrac{1}{2})~est un centre de symétrie de (C).