Exercices, Sujets (Vrac)

Exercice 1

a) \lim\limits_{\substack{x\rightarrow +\infty}}\sqrt{x-1};~ b)~\lim\limits_{\substack{x\rightarrow +\infty}}|x+2|;~c)~\lim\limits_{\substack{x\rightarrow +\infty}}(x-3+\dfrac{1}{x+3});~d)~\lim\limits_{\substack{x\rightarrow +\infty}}\sqrt{3x-4}

Exercice 2

Etudier les limites de chacune des fonctions numériques suivantes aux bornes de son ensemble de définition :
a)~f(x)=\dfrac{2x-1}{x+2};~b)~f(x)=\dfrac{x^2-1}{-x^2+2};~c)~f(x)=x-1-\dfrac{2}{\sqrt{x+1}};~d)~f(x)=\sqrt{-3x+4}.

Exercice 3

Dans chacun des cas suivants le plan est muni d’un repère orthonormé (O,\vec{i},\vec{j}). On désigne par (C) la courbe représentative de la fonction f. Calculer les limites de f aux bornes des intervalles de son ensemble de définition et en déduire les asymptotes à (C).
a) f(x)=\dfrac{1}{x-1};~b)~f(x)=8-\dfrac{6}{x}+\dfrac{1}{x^2};~c)~f(x)=\dfrac{4x+9}{(2x+3)^2};~d)f(x)=\dfrac{4x^2-8x}{x^2-2x-3}.

Exercice 4

Soit f la fonction numérique à variable réelle x définie par f(x)=\dfrac{2x^2+x-4}{x}
a)Déterminer les réels a ;b et c tels que f(x)=ax+b+\dfrac{c}{x}
b)Montrer que la droite (D):y=2x+1~ est asymptote à la courbe de f.

CORRIGE

Exercice 1

a) \lim\limits_{\substack{x\rightarrow +\infty}}\sqrt{x-1}=\sqrt{+\infty-1}=+\infty

b) \lim\limits_{\substack{x\rightarrow +\infty}}|x+2|=|+\infty+2|=+\infty

c) \lim\limits_{\substack{x\rightarrow +\infty}}(x-3+\dfrac{1}{x-3})=+\infty -3+\dfrac{1}{+\infty-3}=+\infty+0=+\infty

d) \lim\limits_{\substack{x\rightarrow +\infty}}\sqrt{3x-4}=\sqrt{3(+\infty)-4}=+\infty

Exercice 2

Etudions les limites de chacune des fonctions numériques suivantes aux bornes de son ensemble de définition.
a) f(x)=\dfrac{2x-1}{x+2}
f(x) existe si et seulement si x+2 \not= 0~c’est-à-dire~si~ x \not= -2
(cap 1)
f(x) existe si et seulement si –x2+2 \not= 0~c’est-à-dire~x \not=-\sqrt 2 ~et~ x \not=\sqrt 2
(cap 2)
f(x) existe si et seulement si

x +1 >0~c’est-à-dire~si~ x >-1 D_f=]-1 ; +\infty[

(cap 3)
f(x) existe si et seulement si -3x+4 \geq 0~c’est-à-dire~si~x \leq \dfrac{3}{4}
(cap 4)

Exercice 3

Calculons dans chacun des cas les limites de f aux bornes de son ensemble de définition et en déduisons les asymptotes à (C).
a) f(x)=\dfrac{1}{x-1}
f(x) existe si et seulement si

x-1 \not= 0~c’est-à-dire~ x\not= 1. D_f=]-\infty ;1[∪]1; +\infty[

\lim\limits_{\substack{x\rightarrow +\infty}}f(x)=\lim\limits_{\substack{x\rightarrow +\infty}}\dfrac{1}{x-1}=\dfrac{1}{-\infty}=0
Donc la droite d’équation y = 0 est asymptote horizontale à (C) au voisinage de -\infty.
\lim\limits_{\substack{x\rightarrow 1^-}}f(x)=\dfrac{1}{0^-}=-\infty
Donc la droite d’équation x =1 est asymptote verticale à la courbe (C) en -\infty
\lim\limits_{\substack{x\rightarrow 1^+}}f(x)=\dfrac{1}{0^+}=+\infty
Donc la droite d’équation x=1 est asymptote verticale en +\infty
\lim\limits_{\substack{x\rightarrow +\infty}}f(x)=\dfrac{1}{+\infty}=0
Donc la droite d’équation y =0 est asymptote horizontale à (C) au voisinage de +\infty.
b) f(x)=8-\dfrac{6}{x}+\dfrac{1}{x^2}
f(x) existe si et seulement si x\not= 0~et~x^2\not= 0 \ D_f=\R \backslash \lbrace 0 \rbrace =]-\infty;0[\cup]0;+\infty[

\lim\limits_{\substack{x\rightarrow -\infty}}f(x)=8-\dfrac{6}{-\infty}+\dfrac{1}{+\infty}=8~et~\lim\limits_{\substack{x\rightarrow +\infty}}f(x)=8-\dfrac{6}{+\infty}+\dfrac{1}{+\infty}=8
Donc la droite d’équation y = 8 est asymptote horizontale à (C) en -\infty~et~en~+\infty
(Cap 5)
Donc la droite d’équation x=0 est asymptote verticale à la courbe (C) en -\infty et~ en~+\infty.
c)\dfrac{4x+9}{(2x+3)^2}
f(x) existe si et seulement si

2x+3 \not= 0~et~c’est-à-dire~si~x \not=\dfrac{-3}{2}
(cap 6)
Donc la droite d’équation y = 0 est asymptote horizontale à (C) en -\infty~et~en~+\infty

(cap 7)
Donc la droite d’équation x =\dfrac{-3}{2} est asymptote verticale à (C) en -\infty~et~en +\infty.
d) f(x)=\dfrac{4x^2-8x}{x^2-2x-3}
f(x) existe si et seulement si x^2-2x-3 \not= 0
(cap 8)
Donc la droite d’équation y =4 est asymptote horizontale à (C) en -\infty~et~ en~+\infty
(cap 9)
On conclut aussi que la droite d’équation x = -1 est asymptote verticale à (C) au voisinage de -\infty ~et~de~+\infty.
(cap 10)
On conclut aussi que la droite d’équation x =3 est asymptote verticale à (C) au voisinage de -\infty ~et~de~+\infty.

Exercice 4

f(x)=\dfrac{2x^2+x-4}{x}
Soit
a) Déterminons les réels a ; b et c tels que f(x)=ax+b+\dfrac{x}{x}
f(x)=ax+b+\dfrac{c}{x}=\dfrac{x(ax+b)+c}{x}=\dfrac{ax^2+bx+c}{x}
Par identification ; a = 2 ; b = 1~et~ c = -4~d’où~ f(x) = 2x+1-\dfrac{4}{x}
b) Montrons que (D): y = 2x+1 est asymptote à la courbe de f.
(cap 11)
Donc la droite d’équation (D): y = 2x+1 est asymptote oblique à la courbe de f.

Chapitre 2 : Dérivation des fonctions numériques

Exercice 1

Déterminer la fonction dérivée de chacune des fonctions suivantes en précisant l’ensemble de définition de la fonction.
(cap 12)

Exercice 2

Déterminer une équation de la tangente à la courbe représentative de chacune des fonctions ci-dessous au point d’abscisse x_0 indiqué.
(cap 13)

Exercice 3

Déterminer les réels a et b pour que la courbe représentative de la fonction f définie par f(x)=ax^2+bx-1~passe par le point A(1;4) et admet un extremum en ce point.

Exercice 4

Etudier le sens de variation de chacune des fonctions suivantes sur son domaine de définition.
(cap 14)

Corrigé

Exercice 1
Calcul de dérivées
a) f(x)=-5x^3+3x^2+x-4;~D_f=\Psi
Pour tout x~ D_f;~f~est~dérivable~et~f'(x)=-15x^2+6x+1

b) f(x)=(2x^2+5x+1)^2~D_f=\Psi
Pour tout x \in D_f;~f~est~dérivable~et~f'(x)=2(4x+5)(2x^2+5x+1)
c)f(x)=(x-4)^5;~D_f=\Psi

Pour tout x \in D~f;~f~est~dérivable~et~f'(x)=5 \times 1 \times(x-4)^4=5(x-1)^4
d)f(x)=2x(x-1)^2
D_f=\Psi
Pour tout

x \in D_f; ~f~est~dérivable~ et~f'(x)=2(x-1)^2+2\times 1\times(x-1)\times 2x=6x^2-8x+2
e) f(x)=\dfrac{1}{x}+3

D_f=\Psi \backslash \lbrace 0 \rbrace

Pour tout

x \in D_f;~f~est~dérivable~et~f'(x)=\dfrac{-1}{x^2}

f) f(x)=3x-\dfrac{1}{3};~D_f=\Psi \backslash \lbrace 0 \rbrace

Pour tout x\in D_f,~f~est~dérivable~et~f'(x)=3-(\dfrac{-3x^2}{x^6})=3+\dfrac{3}{x^4}

g) f(x)=\dfrac{x+2}{3x};~D_f=\Psi \backslash \lbrace 0 \rbrace
Pour tout

x \in~D_f,~f~est~dérivable~et~f'(x)=\dfrac{3x-3(x+2)}{9x^2}=-\dfrac{2}{9x^2}
h) f(x)=\dfrac{1}{(2x-1)^2};~D_f=\Psi \backslash \lbrace \dfrac{1}{2} \rbrace

Pour tout x \in D_f,~f~est~dérivable~et~f'(x)=\dfrac{-2(2)(2x-1)}{(2x-1)^4}=\dfrac{4}{(2x-1)^2}
i) f(x)=\dfrac{2}{(x+1)(x+3)};~D_f=\Psi \backslash \lbrace (-3;-1) \rbrace
Pour tout x \in D_f,~f~est~dérivable~et~
(cap 46)
Pour tout x \in D_f,~f~est~dérivable~et~f'(x)=-\dfrac{1}{2\sqrt{4-x}}
k)f(x)=\dfrac{2x-1}{\sqrt x};~D_f=]0;+\infty[~\forall x \in D_f~f est dérivable et f'(x)=\dfrac{2\sqrt x-\tfrac{1}{2\sqrt x}(2x-1)}{x}=\dfrac{2x+1}{2x\sqrt x}

Exercice 2

Détermination d’équation de la tangente (D)
a)f(x)=2x^2+1; x_0=-1;~D_f=\Psi
Pour tout x \in D_f;~f'(x)=4x \ f'(-1)=-4~et~f(1)=3~d’où \ (D):y=-4(x+1)+3=-4x-1
b)f(x)=\dfrac{x^2+1}{3}=;x_0=0;~D_f=\Psi
Pour tout x \in D_f;~f'(x)=\dfrac{2}{3}x
f'(0)=0~et~f(0)=\dfrac{1}{3}~d’où~(D):y=0(x-0)+\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{3}
c) f(x)=\dfrac{1}{x-1};x_0=\dfrac{1}{2};~D_f=\Psi \backslash \lbrace 1 \rbrace
Pour tout x \in D_f;~f~est~dérivable~et~f'(x)=\dfrac{-1}{(x-1)^2}
f'(\dfrac{1}{2})=\dfrac{-1}{(\tfrac{1}{2}-1)^2}=\dfrac{-1}{\tfrac{1}{4}}=-4~et~f(\dfrac{1}{2})=\dfrac{1}{(\tfrac{1}{2}-1)}=-2
d’où (D):y=-4(x-\tfrac{1}{2})-2
(D):y=-4x

Exercice 3

Déterminons les réels a et b pour que la courbe représentative de f passe par le point A (1;4) et admet un extremum en ce point.
f(x)=ax^2+bx-1
La courbe de f passe par A donc f(1)=4.
De plus comme f admet un extremum en ce point, donc sa dérivée f^’ s’annule en ce point.
Ainsi,f(1)=4~et~f'(1)=0~avec~f'(1)=2a+b~et~f(1)=a+b-1
On obtient \begin{cases}2a+b=0 \\ a+b-1=4 \end{cases}
On trouve après résolution a=-5~et~b=10~d’où~f(x)=-5x^2+10x-1

Exercice 4

Etude de sens de variation
a) f(x)=2x^2-4;~D_f=\Psi
Pour tout

x \in D_f~est~dérivable~et~f'(x)=4x~signe~de~f'(x).
f'(x) \geq 0 \Harr 4x \geq 0 \Harr x \geq 0

Ainsi;~pour x \in ]-\infty;0];~f'(x) \leq 0~donc~décroissante~sur~]-\infty ;0].
Pour x \in [0;+\infty[;f'(x) \geq 0~donc~f~est~croissante~sur~[0 ;+\infty[ .
b)f(x)=(2x+1)(x-1);~D_f=\Psi
Pour tout x \in D_f,~f~est~f~est~dérivable~et~f'(x)=2(x-1)+(2x+1)=4x-1
Signe de f'(x).
f'(x) \geq 0 \Harr 4x-1 \geq 0 \Harr x \geq \dfrac{1}{2}
Ainsi ;pourx \in ]-\infty;\dfrac{1}{4}];~f'(x) \leq 0~donc~f~est~décroissante~sur~]-\infty;\dfrac{1}{4}]~pour~x\in~[\tfrac{1}{4};+\infty[;f'(x) \geq 0~donc~f~est~croissante~sur~[\tfrac{1}{4};+\infty[
c) f(x)=\dfrac{6x+1}{x+3};~D_f=\Psi \backslash \lbrace {-3} \rbrace
Pour tout x \in D_f~,f est dérivable et f'(x)=\dfrac{6(x+3)-(6x+1)}{(x+3)^2}=\dfrac{17}{(x+3)^2}
Signe de f'(x).
f'(x) \geq 0 \Harr \dfrac{17}{(x+3)^2} \geq;~or~\forall x \in D_f;
(x+3)^2 \geq 0~et~17 >0~donc~\dfrac{17}{(x+3)^2} \geq 0
Ainsi; pour x~\in~]-\infty;-3[\cup]-3;+\infty[~f'(x)>0~donc f est croissante sur D_f
d) f(x)=x\sqrt{x+1};~D_f[-1;+\infty[
Pour tout x \in D_f,est dérivable et f'(x)=\sqrt{x+1}+\dfrac{x}{2\sqrt x+1}=\dfrac{3x+2}{2\sqrt{x+1}}
Signe de f'(x).
f'(x) \geq 0 \Harr \dfrac{3x+2}{2\sqrt{x+1}} \geq 0;~or~\forall x \in D_f;2\sqrt{x+1} \geq 0~donc~le~signe~de~f'(x)~est~celui~de~3x+2
3x+2 \geq 0 \Harr x \Harr \dfrac{-2}{3}
Ainsi ;pour x \in [-1;\tfrac{-2}{3};f'(x) \leq 0~donc~f~est~décroissante~sur~[-1;\tfrac{-2}{3}]
Pour x \in [\tfrac{-2}{3};+\infty[;~f'(x)\geq 0~donc~f~est~croissante~sur~[\tfrac{-2}{3};+\infty[
e) f(x)=(x-3)\sqrt x;~D_f=[0;+\infty[
f est dérivable et f'(x)=\sqrt x +\dfrac{x-3}{2\sqrt x}=\dfrac{3x-3}{2\sqrt x}
Signe de f'(x)
f'(x) \geq 0 \Harr \dfrac{3x-3}{2\sqrt x} \geq 0;~Or~\forall x \in D_f;2\sqrt x \geq 0~donc~le~signe~de~f'(x)~est~celui~de~3x-3
3x-3 \geq 0 \Harr x \geq 1
Ainsi ;pour x \in [0;1];f'(x) \leq 0~donc~f~est~décroissante~sur~[0;1]~pour~x \in [1;+\infty[;f'(x) \geq 0~donc f est croissante sur [1;+\infty[ .

Chapitre 3 : Etude de fonctions numériques

Exercice 1

Soit f la fonction numérique de la variable réelle x définie par f(x)=-\dfrac{1}{2}x^2+x+\dfrac{3}{2}.
1) Quelle est la nature de cette fonction ?Quel est son ensemble de définition ?
2) Calculer les limites de f aux bornes de son ensemble de définition
3)a-Déterminer la fonction dérivée f’ de f.
b-Etudier le sens de variation de f sur son ensemble de définition puis dresser son tableau de variation. Que représente l’ordonnée du point d’abscisse -1 pour f ?
4) Déterminer une équation de la tangente \Delta à la courbe (C) de f au point d’abscisse 3.
5)Tracer (C) et \Delta~dans~le~repère~(O,\vec{i},\vec{j}).
6)Résoudre graphiquement l’inéquation

f(x)<0

puis les équations f(x)=-6 ;f(x)=2~et~f(x)=\dfrac{5}{2}.

7)a-Tracer la droite (D) d’équation y=-x-6

b-Résoudre graphiquement f(x)=-x-6~et~f(x)>-x-6
c-Vérifier algébriquement les résultats précédents.

Exercice 2

On désigne par f la fonction numérique définie de \R~vers~\R~par~ f(x)=x^3+3x .
Soit (C) la courbe de f dans le repère (O,\vec{i},\vec{j}).
1)Montrer que f est impaire. Quelle conséquence géométrique peut-on en déduire pour la courbe de f ?
2)Déterminer la fonction dérivée f’ de f et en déduire le sens de variation de f.
3)Calculer les limites de f(x) lorsque x tend vers -\inftyet lorsque x tend vers -\infty
4)Donner l’équation de la tangente à (C) au point d’abscisse nulle.
5)Construire soigneusement la courbe (C) et la tangente au point d’abscisse nulle.

Exercice 3

Soit f la fonction numérique définie par f(x)=\dfrac{2x-1}{x+1}
On désigne par (C) la représentation graphique de f dans le repère (O,\vec{i},\vec{j}) .
1)Déterminer l’ensemble de définition E de f(on écrira E sous forme d’une réunion de deux intervalles).
2) a-Montrer que pour tout élément x de E, f(x)=2-\dfrac{3}{x+1}
b-Calculer les limites de f aux bornes des intervalles de E. En déduire que (C ) admet deux asymptotes dont on précisera la nature et l’équation. Quel est le point d’intersection O’ de ces asymptotes ?
3) Déterminer la fonction dérivée f’ de f.
En déduire le sens de variation de f et dresser son tableau de variation.
4) Déterminer les coordonnées des points d’intersection de (C ) avec les axes de coordonnées.
5) Donner une équation de la tangente (\Delta)à (C) au point A d’abscisse \dfrac{1}{2}
6)Construire soigneusement la courbe (C),les deux asymptotes ainsi que les tangentes (\Delta).

Corrigé

Exercice 1

Soit f(x)=-\dfrac{1}{2}x^2+x+\dfrac{3}{2}

1) f est une fonction polynôme, D_f= \Psi =]-\infty; +\infty[
2) Calcul des limites.
(cap 47)
3)a. Détermination de la dérivée.
Pour tout x \in D_f , f est dérivable et f'(x)=-x+1
b- Sens de variations – tableau de variations.
f'(x) \geq 0 \Harr -x+1 \geq 0 \Harr x \leq 1
Pour x \in ]-\infty;1];f'(x) \geq 0 donc~f~est~croissante~sur~]-\infty;1]
Pour x \in [1;+\infty[;~f'(x) \leq 0 ~donc~f~est~décroissante~sur~ [1;+\infty[
c-Tableau de variation
(cap 48)

L’ordonnée du point d’abscisse 1 qui est 2 est le maximum de f sur D_f
4) Equation de la tangente (\Delta).
(\Delta) : y=f'(3)(x-3)+f(3)~avec~ f'(3)=2~et~f(3)=0~D’où~(\Delta):y=2x-6
5)Construction de (C)~et~(\Delta)
(cap 49)
6) Résolution graphique d’inéquation et d’équation
On trace les droites d’équation

y=0;~y=-6;~y=2~et~ y=\dfrac{5}{2}~dans~le~repere~(O,\vec{i},\vec{j})~
La solution de l’inéquation f(x)<0 est l’intervalle ou la réunion d’intervalles contenant l’ensemble des points de la courbe (C) situé en dessous de la droite d’équation y=0

Les solutions d’équations sont les abscisses des points d’intersection des droites d’équation

y=-6;~y=2 ~et~ y=\dfrac{5}{2} avec la courbe (C).
Voir donc figure ci-dessous :
(cap 50)
Graphiquement,f(x)<0 a pour solution S=]-\infty;-1[\cup]3 ;+\infty[;~f(x)=-6 ~a~ pour~solution~S= \lbrace {-3;5} \rbrace;~f(x)=2 ~a~ pour~ solution~ S=\lbrace {1} \rbrace ~et~ f(x)=\dfrac{5}{2} ~a~ pour~ ~solution~ S=\varnothing

car aucun point d’intersection de la droite d’équation y=\dfrac{5}{2}~avec~ la~ courbe~(C).

Exercice 2

Soit f(x)=x^3+3x
1)Montrons que f est impaire
D_f=\Psi~ \forall x \in D_f, -x \in D_f~et~f(-x)=(-x)^3+3(-x)=-f(x)~donc f est impaire.
On peut dire que la courbe de f admet l’origine du repère comme centre de symétrie.
2) Détermination de la dérivée de f.
\forall x \in D_f;f est dérivable et sa fonction dérivée est f'(x)=3x^2+3
Sens de variations de f.
f'(x) \geq 0 \Harr 3x^2+3 \geq 0~or~\forall x \in \Psi;~3x^2+3>0~donc~ f'(x)>0~par conséquant f est strictement croissante sur \Psi.
3)Calcul des limites
(cap 51)

4) Equation de tangente
(T):y=f'(0)(x-0)+f(0)~avec~f'(0)=3~et~f(0)=0~d’où~(T):y=3x
5) Construction de (C) et (T).
(cap 52)

Exercice 3

Soit f(x)=\dfrac{2x-1}{x+1}
1) Ensemble de définition E de f.
f(x) existe si et seulement si x+1\not= 0 ~c’est~à~dire~si~x \not= -1 ~E= ]-\infty;-1[\cup[-1;+\infty[
2)a Montrons que pour tout élément

x~de~E;~f(x)=2-\dfrac{3}{x+1}
(cap 53)

b) Calcul de limites
(cap 54)
donc la droite d’équation y=2 est asymptote horizontale à (C).
(cap 55)
donc la droite d’équation x=-1 est asymptote verticale à (C)
c) Point d’intersection des asymptotes
Soit B(x,y) ce point.
On a x=-1 et y=2 d’où B(-1,2)
Déterminons la dérivée f’de f
Pour tout x \in Df;~f~est~dérivable~et~f'(x)=\dfrac{2(x+1)-(2x-1)}{(x+1)^2}=\dfrac{3}{(x+1)^2}

Sens de variations de f.
f'(x) \geq 0 \Harr \dfrac{3}{(x+1)^2} \geq 0~or~\forall x \in D_f;\dfrac{3}{(x+1)^2}>0~donc~f'(x)>0~et par conséquent, f est croissante sur D_f
Tableau de variations
(cap 56)
4) coordonnée des points d’intersection de (C) avec les axes.
Avec l’axe des abscisses
Soit I(x,y) ce point.
L’axe des abscisses a pour équation y=0~donc~I(x;0)
Pour trouver x on resout l’équation f(x)=0;~f(x)=0 \Harr \dfrac{2x-1}{x+1}=0 \Harr x \dfrac{1}{2}~d’où~l(\dfrac{1}{2};0)
Avec l’axe des ordonnées
Soit K(x;y)
L’axe des ordonnées a pour équation x=0~donc~ K(0;y)~
Pour déterminer y on calcule f(0)
f(0)=\dfrac{2\times 0-1 }{0+1}=-1~d’où~K(0;-1)
5)Equation de la tangente(\Delta)
(\Delta):y=f'(\dfrac{1}{2})(x-\dfrac{1}{2})+f(\dfrac{1}{2})~`avec~f'(\dfrac{1}{2})=\dfrac{1}{2}~et~\dfrac{1}{2}=0
D’où (\Delta):y=\dfrac{4}{3}x-\dfrac{2}{3}
6)Construction de (C) des asymptotes et de (\Delta).
(cap 57)

Chapitre 4 : Fonction logarithme népérien

Exercice 1

Résoudre dans \R les équations suivantes :
1)

\ln x^2=1;~2) 2\ln x=1;~3) \ln(x+2)-\ln(x-1)=2

Exercice 2

1)Résoudre dans \R ~\ln(3x^2-x)\leq \ln x+\ln 2

2)Résoudre dans

\R \times \R~\begin{cases} x+y=3 \\ \ln x +\ln y= \ln 2\end{cases}

Exercice 3

Soit f la fonction numérique de la variable réelle x définie par :f(x)=\dfrac{1}{x}+\dfrac{\ln x}{x}

On note (C) la courbe représentative de f dans un plan rapporté à un repère orthonormé (O,\vec{i},\vec{j}) (Unité =2cm)
1) a- Quel est l’ensemble de définition D de f ?
b-Vérifier que pour tout x de D ; f(x)=\dfrac{1}{x}(1+\ln x)puis en déduire \lim\limits_{\substack{x\rightarrow 0^+}}f(x)
c-En admettant que : \lim\limits_{\substack{x\rightarrow +\infty}}\dfrac{\ln x}{x}=0,~préciser~\lim\limits_{\substack{x\rightarrow +\infty}}f(x)
d- En déduire les asymptotes à (C).
2) a-Calculer f’(x) et étudier son signe.
b-Dresser le tableau de variation de f
3) a- Déterminer l’abscisse du point A, intersection de (C) avec l’axe des abscisses.
b- Ecrire l’équation de la tangente (T) à (C) en A.
4)Tracer (C) et (T).

Corrigé

Exercice 1

Résolution d’équations :
Dans tout l’exercice, on notera D_v, le domaine de validité
(cap 58)
(cap 59)
(cap 60)
(cap 61)

Exercice 2

1) Résolution d’inéquations
(cap 62)
tableau de signe
(cap 63)
2) Résolution du système d’équation
(cap 64)

Exercice 3

Soit f(x)=\dfrac{1}{x}+\dfrac{\ln x}{x}
1)a- Ensemble de définition D de f.
f(x) existe si et seulement si x \not=0~et~x>0
D_v=]-\infty;0[\cup]0;+\infty[\cap]0;+\infty[=]0;+\infty[
b) vérification
f(x)=\dfrac{1}{x}+\dfrac{\ln x}{x}=\dfrac{1}{x} \times 1+\dfrac{1}{x} \times \ln x=\dfrac{1}{x}(1+\ln x)
Donc pour tout x \in D, f(x)=\dfrac{1}{x}(1+ \ln x)
\lim\limits_{\substack{x\rightarrow 0^+}}f(x)=\dfrac{1}{0^+}(1+\ln 0^+)=+\infty(1-\infty)=-\infty
c) \lim\limits_{\substack{x\rightarrow +\infty}}f(x)=0
d) les asymptotes à (C).
\lim\limits_{\substack{x\rightarrow 0^+}}f(x)=-\infty~et~\lim\limits_{\substack{x\rightarrow +\infty}}f(x)=0~donc les droites d’équation x=0 et y=0 sont respectivement asymptotes verticale et horizontale à (C).
2)a- Calcul de f'(x) et étude de signe.
Pour tout x D_f;~f~est~dérivable~et~f'(x)=-\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1-\ln x}{x^2}=-\dfrac{\ln x}{x^2}
f'(x) \geq 0 \Harr -\dfrac{\ln x}{x^2} \geq 0~or~\forall x \in \Psi;x^2 \geq 0~donc~le signe de f'(x) est celui de -\ln x
-\ln x \geq 0 \Harr \ln x \leq 0;~x\geq 1
Ainsi pour x \in ]0;1];~f'(x)\leq 0 ~donc~f~est~décroissante~sur~]0;1]
b- Tableau de variations
(cap 65)

3)a- Abscisse du point A.
Soit A(x;y)
En ce point y=0 donc A(x;0)
On résout f(x)=0 pour trouver l’abscisse x.
f(x)=0 \Harr \dfrac{1}{x}(1+\ln x)=0
\dfrac{1}{x}=0~ou~(1+\ln x)=0
Or~\forall x \in ]0;+\infty[;\dfrac{1}{x} \not= 0
On résout donc (1+\ln x)=0 \Harr \ln x=-1 ~\ln x=\ln e^{-1}
x=e^{-1}=\dfrac{1}{e}
D’où A(\tfrac{1}{e};0)
b-Equation de la tangente (T).
(T):y=f'(\tfrac{1}{e})(x-tfrac{1}{e})+f(\tfrac{1}{e})~avec~f'(\tfrac{1}{e})=e^2~et~f(\tfrac{1}{e})=0~d’où~(T):y=e^2x-e
3)Construction de (C) et (T).
(cap 66)

Chapitre 5 : Fonction exponentielle de base e.

Exercice 1

Résoudre dans \Psi^2 les systèmes suivants : \begin{cases} e^x \times e^y=6 \\ \dfrac{e^x}{e^y}=\dfrac{2}{3}\end{cases} (2)\begin{cases} 3e^x-4e^y=-6 \\ 2e^x+e^y=7 \end{cases} (3)\begin{cases} 2e^x-3e^y=9 \\ -6e^x+5e^y=19\end{cases}

Exercice 2

Soit la fonction f définie par f (x) = ax + b + ce^x ou a, b et c sont trois réels. On note (C ) la courbe représentative de f dans un repère orthonormé (O,\vec{i},\vec{j}).
1) Déterminer les réels a, b et c de façon que (C) soit tangente en O au point d’abscisse x_0=1
Coupe l’axe des ordonnées au point d’ordonnée 1.
2) a) Etudier les variations de la fonction g définie par g(x)= x+1-e^x
(Sens de variation, limites, tableau de variation).
Soit (C’) la courbe représentative de g dans le repère orthonormé (O,I,J).
b) Montrer que la droite (D) d’équation y=x+1~est~ asymptote~à~(Ƭ)~en~ -\infty
c)Tracer (D) et (C’) dans le repère (O,\vec{i},\vec{j}).

Exercice 3

On considère le plan rapporté à un repère orthonormé (O,\vec{i},\vec{j}). Soit la fonction f définie par: f(x)=\dfrac{e^x}{e-e^x}
On note (C) la courbe représentative de f dans le repère (O,I,J)
1) Déterminer l’ensemble de définition de f.
2) Montrer que pour tout réel x \in D_f,~on~a~f(x)=-1+\dfrac{e^x}{e-e^x}
3) Etudier les variations (tableau de variation, sens de variation, limites) de f
4) Tracer la courbe (C) dans le repère (O,\vec{i},\vec{j}).
5) Soit g la fonction définie par g(x)=\dfrac{e^x+1}{1-e^x}
a)Monter que g est impaire.
b) Soit A (1;\dfrac{-1}{2}.
Montrer que (C) admet A pour centre de symétrie.
On donne e=2,7

Corrigé

Exercice 1

Résolvons dans \Psi^2 les systèmes suivants :\begin{cases}e^x \times e^y=6 \\ \dfrac{e^x}{e^y}=\dfrac{2}{3}\end{cases}.Posons e^x=X~et~e^y=Y
avec X et Y strictement positifs.Le système d’équation devient:
\begin{cases}X.Y=6 \\ \dfrac{x}{y}=\dfrac{2}{3}\end{cases}En~résolvant~ on~ trouve~ X=2~ et~ Y=3;~
ce qui donne x=\ln 2~et~y=\ln 3
Donc S_{\Psi}^2={(\ln 2,\ln 3)}

\begin{cases}3e^x-4e^y=-6 \\ 2e^x+e^y=7 \end{cases} Posons~ e^x=X ~et~e^y=Y
avec X et Y strictement positifs. Le système d’équations devient:
\begin{cases}3X-4Y=-6 \\ 2X+Y=7 \end{cases}~En~résolvant~on~trouve~𝑋=2~𝑒𝑡~𝑌=3;
ce qui donne x=\ln 2~et~y=\ln 3
doncS_{\Psi}^2={(\ln 2;\ln 3)}
\begin{cases}2x^2-3e^y=9 \\ -6e^x+5e^y=19 \end{cases}~Posons~e^x=X~et~ e^y=Y
avec X et Y strictement positifs. Le système d^’ équation devient:

\begin{cases}2X-3Y=9 \\ -6X+5Y=19 \end{cases}~En~résolvant~on~trouve~ Y=-\dfrac{23}{2}~qui~est~négatif~donc~S_{\Psi}^2=\varnothing

Exercice 2

f(x)=ax+b+ce^x
1) Déterminons a,b et c
(C ) est tangente en O à l’axe des abscisses.
f(0)=0 \implies b+c=1
(T):y=0 \implies f'(0)(x-0)+f(0)=0
f'(x)=a+ce^x \implies f'(0)=a+c
Pour tout x \in \R,(a+c)x=0 \implies a+c=0(2)
La tangente (T’)à(C)au point d’abscisse x_0=1~coupe~(oy)~en~y=1
(T’):y=f'(1)(x-1)+f(1)
1=f'(1)(x-1)+f(1)
f'(1)=a+ec;f(1)=a+b+ec-a-ec+a+b+ec=1
b=1;(1):c=-1;(2):a=1
1) Variation de g.
g(x)=x+1-e^x
Pour tout x \in D_g;~g~est~derivable~et~g’(x)=1-e^x
g'(x) \geq 0 \Harr 1-e^x \geq 0 \Harr e^x \leq 1 \Harr x \leq 0
\forall x \in ]-\infty;0];g'(x) \geq 0~donc~g~est~croissante~sur]-\infty;0]
\forall [0;+\infty[;g'(x) \leq 0~donc~g~est~décroissante~sur~[0;+\infty[
(cap 67)
Tableau de variation
(cap 68)
b) Montrons que (D) est une asymptote à (T) en +\infty
g(x)-y=x+1-e^x-x-1=-e^x
\lim\limits_{\substack{x\rightarrow -\infty}}(g(x)-y)=\lim\limits_{\substack{x\rightarrow -\infty}}(-e)^x=0~donc~(D)~ est~ asymptote~ oblique~ à~ (T)~en~+\infty
c)Tracés de (D) et (C’)
(cap 69)

Exercice 3

Soit f(x)=\dfrac{e^x}{e-e^x}
1) Déterminons l’ensemble de définition de f.
(cap 70)
2) Montrons que \forall x \in D_f;f(x)=-1+\dfrac{e}{e-e^x}
(cap 71)
3) Etudions les variations de f. Pour tout x \in D_f;~f~est~dérivable
f'(x)=0+\dfrac{e \times e^x}{(e-e^x)^2}=\dfrac{e^{x+1}}{(e-e^x)^2}
\forall \in D_f;~f'(x)>0;donc f est strictement croissante sur Df.
(cap 72)
Tableau de variation
(cap 73)
4) Courbe.
(cap 74)
5) Soit g(x)=\dfrac{e^x+1}{1-e^x}
a) Montrons que g est impaire
(cap 75)
g(-x)=\dfrac{e^x+1}{1-e^x}=g(x)~donc g est une fonction impaire.
b) Montrons que A(1;\dfrac{-1}{2}) est un centre de symétrie de (C).
(cap 76)
donc A(1;-\tfrac{1}{2})~est un centre de symétrie de (C).

Chapitre 6 :Equations –Inéquations –Systèmes

I) Résolution d’équations à une inconnue

Exercice 1

Résoudre dans \R
a) 3x-1=2x+3;~b)\dfrac{1}{x}=\dfrac{1}{2x-1};~c)x^2+x-4=0;`~d)\dfrac{x}{x+1}=\dfrac{x+1}{x}~e)2x^3+x^2=5x-2;~f)\sqrt{x-2}=x.

Exercice 2

Une ménagère achète 12 assiettes ; si elle en avait acheté 17 elle aurait payé 2500 F de plus.
Quel est le prix d’une assiette ?

Exercice 3

Monsieur Traoré a un jardin carré. Il achète un jardin rectangulaire ayant la longueur commune avec le sien et une largeur de 8 mètres.
Sachant que son nouveau terrain a une superficie de 560 m^2, Quelle était la mesure du côté du jardin de M. Traoré avant agrandissement ?

II)Résolution d’inéquations à une inconnue

Exercice 4

Résoudre dans \R
a)

2x-1\dfrac{1}{x+2}; ~c)\sqrt{x-1}>x

Exercice 5

Une société veut imprimer des livres. La location de la machine revient à 100.000 F par jour. Les frais de papiers s’élèvent à 350 francs par livre.
Combien faut-il imprimer de livres par jour pour que le prix de revient d’un livre soit inférieur ou égal à 750 F ?

III) Résolution de systèmes

Exercice 6

Résoudre dans \R \times \R
a)\begin{cases}2x+y=5 \\ 3x-y=2 \end{cases}~b)\begin{cases}2x^2-y=1 \\ x^2+y=0 \end{cases}~c)\begin{cases}3x-2y=4 \\ x+3y=8 \end{cases}

Exercice 7

Afin d’encourager son fils à étudier l’arithmétique, un père accepte de donner 8 sous à son garçon pour chaque problème correctement résolu. Mais il lui prend 5 sous dans le cas contraire. Après 26 problèmes, chacun a donné autant qu’il a reçu.
Combien l’enfant a-t-il résolu de problèmes ?

IV) Equations et Inéquations faisant intervenir les fonctions logarithmes et exponentielles

Exercice 8

Résoudre dans \R
a) \ln (x+3)+ \ln (x+2) \leq \ln (x+11);~b)(\ln x)^2-7\ln x+6=0;~c)\ln \dfrac{5-x}{5+x} \geq 1;
b) 2e^{-t}+1-6e^t=0.

Exercice 9

Résoudre dans \R \times \R les systèmes :
a) \begin{cases}e^x-4e^y=-3 \\ 3e^x+5e^y=49 \end{cases}~b)\begin{cases}x+y=55 \\ \ln x+\ln y= \ln 700\end{cases}~c)\begin{cases} x^2+y^2=130 \\ \ln(-x)+ \ln(-y)=\ln 63 \end{cases}

Corrigé

Exercice 1

Résolvons dans \Psi
(cap 77)
d) \dfrac{x}{x+1}=\dfrac{x+1}{x}
L’équation est valide si x \not= 0 ~et~ x \not= -1
(cap 78)
donc 1 est une racine de 2x^3+x^2-5x+2
Factorisons le polynôme
(cap 79)
Par identification, a=2 ;b-a=1 ;c-b=-5~et~c=-2
On trouve a=2;b=3~et~c=-2 ~d’où~2x^3+x^2-5x+2=(x-1)(2x^2+3x-2)
Résolvons l’équation 2x^2+3x-2
(cap 80)
L’équation est valide si x \geq 2~et~x \geq 0;~D_v=[2;+\infty[
(cap 81)
donc
(cap 82)

Exercice 2

Le prix d’une assiette :
Soit x le prix d’une assiette :
D’après l’énoncé 12x+2500=17x
Résolution :
(cap 83)
Une assiette coûte donc 500 F.
(cap 84)

Exercice 3

Calculons la mesure du côté du jardin de M. TRAORE avant agrandissement
Soit a le côté du jardin (a ˃ 0)
Le nouveau terrain est un rectangle de longueur a+8, de largeur a et de superficie 560 m².
(cap 85)
Comme a ˃ 0 donc a=20.
Le côté du jardin mesurait donc 20m avant l’agrandissement.

Exercice 4

Résolvons dans \R
a)

2x-1<3x+2 \Harr 2x-3x 3

S=]3;+\infty[
b) \dfrac{1}{x-1}>\dfrac{1}{x+2}
Domaine de validité D_v
(cap 86)
pour que \dfrac{3}{(x-1)(x+2)}>0
Tableau de signe
(cap 87)
Domaine de validité
D_v=\lbrace{x\in \dfrac{\Psi}{x}-1\geq 0~et~x \geq 0} \rbrace=[1;+\infty[
\sqrt{x-1}>x \Harr x-1>x^2-x+1<0

\Delta =1-4 \times 1 \times 1=-7<0~donc~S=\varnothing

Exercice 5

Le nombre de livres qu’il faut imprimer par jour pour que le prix de revient d’un livre soit inférieur ou égal à 750 F.
Soit x le nombre de livre(s) produit(s) par jour :
La location de la machine et les frais de papiers s’élèvent à
350x+100 000
Le prix de revient est 750x
on résout :
350x+100 000 \leq 750x
-750x+350x \leq -100 000
-400x \leq-100.000
x \geq 250
L’imprimerie doit donc produire au moins 250 livres par jour.

Exercice 6

Résolution dans \Psi \times \Psi
a)\begin{cases} 2x+y=5 \\ 3x-y=2 \end{cases}
Par combinaison linéaire on obtient :
(cap 88)
Par combinaison linéaire on obtient :
(cap 89)

Exercice 7

Soit x le nombre de problèmes résolus et y le nombre de problèmes non résolus.
D’après l’énoncé, x+y=26 ~et~ 8x=5y ce qui nous conduit au système suivant :\begin{cases}x+y=26 \\ 8x-5y=0\end{cases}
Par substitution on trouve x=10 ~et~ y=16
L’enfant a résolu 10 problèmes.

Exercice 8

Résolution dans \Psi
a) \ln (x+3)+\ln (x+2) \leq \ln(x+11)
L’inéquation est valide si x>-3;~x>-2~et~x>-11
(cap 90)

Posons X=\ln x ~donc~l’équation~devient~ X^2-7X+6=0
(cap 91)
(cap 92)

Exercice 9

Résolution dans \Psi \times \Psi
a)\begin{cases} e^x-4e^y=-3 \\ 3e^x+5e^y=49\end{cases}
Posons X=e^x(X>0)~et~Y=e^y(Y>0)
L’équation devient :
(cap 93)

Par combinaison on trouve X=\dfrac{181}{17}~et~Y=\dfrac{58}{17}
(cap 94)
Le système d’équation est valide si x>0 et y>0.
(cap 95)
Résolvons X^2-SX+P=0~avec~S=55~et~P=700
X^2-55X+700=0
(cap 96)

Chapitre 7 : Suites géométriques –suites numériques : convergence

Exercice 1

Soit U_n une suite arithmétique de raison r=2 et de premier terme U_1.
Sachant que U_{30}=62~ ; calculer U_1 ~et~la~somme~S_{30} des 30 premiers termes de cette suite.

Exercice 2

Calculer le 10ème terme et la somme des 10 premiers termes d’une suite géométrique de premier terme 5 et de raison \dfrac{1}{2}.

Exercice 3

Le premier terme U_0~et le 5ème terme U_4 d’une suite géométrique de raison q vaut valent respectivement 3 et 48.
Déterminer q et la somme des

S_{15} =U_0+U_1+U_2+……+U_{14}
Donnée :2^{16}=65 536

Exercice 4

Soit une suite (U_n)~définie~par~ :U_1=2~et~pour~tout~entier~n \geq 1;~2n_{Un+1}=(n+1)U_n

1)Calculer U_2;U_3~
2)On définit la suite (V_n) pour tout entier n non nul parV_n=\dfrac{U_n}{n}
a-Calculer V_1;V_2;V_3
b-Montrer que (V_n) est une suite géométrique dont on précisera la raison.
c- Ecrire l’expression de V_n~et~de~U_n en fonction de n.
Etudier le sens de variation et la convergence des suites V_n~et~ U_n

Exercice 5(BAC A session de Juin 1990,2ème groupe)

A la suite de la création d’un atelier de tissage de Faso Danfani à BOBO DIOULASSO,on estime qu’en 1989 le bénéfice a été de 200 000 F et qu’il s’accroît régulièrement de 10\% par an.On appelle b_0 le bénéfice pour l’année 1989 et b_n le bénéfice pour l’année 1989+n.
1)Calculer le bénéfice b_1 que réalisa cet atelier en 1990.Exprimer b_n+1 en fonction de b_n ;en déduire b_n en fonction de n.
2)En admettant le rythme d’accroissement aussi longtemps que possible
En quelle année le bénéfice annuel sera au moins le double de celui de 1989 ?

Exercice 6 (BAC 1997;Côte d’Ivoire)

En 1994, Monsieur Kouao avait une production de cacao égale à celle de Monsieur Yapi. Sa production augmente de 10\% tous les ans.
1)a. Quelle a été la production de Monsieur Kouao en 1995 ?
b. Quelle sera sa production en l’an 2003 ?
2) En 1995, Monsieur Yapi produisait plus que Monsieur Kouao. En l’an 2003, Monsieur Kouao produira plus que Monsieur Yapi.
A partir de quelle année la production de Monsieur Kouao a-t-elle dépassé celle de Monsieur Yapi ?
On donne les arrondis suivants de 1, 1^n~pour~n~appartenant~à~ \lbrace{3,4,5,6,7,8,9,10}\rbrace:
(cap 15)

Corrigé

Exercice 1

Calculons U_1~et~S_{30}

(cap 97)

Exercice 2

Calcul du 10ème terme et de S_{10}
Soit (V_n)~cette suite et V_1=5~son premier terme.
(cap 98)

Exercice 3

Déterminons la raison q et la somme S_{15}
(cap 99)
Comme U_4>U_1,(U_n)~croît et donc q>0 d’où q=2.
(cap 100)

Exercice 4

1) Calculons U_2~et~U_3
On a 2nU_{n+1}=(n+1)U_n \Harr U_{n+1}=\dfrac{n+1}{2n}U_n
Ainsi:U_2=\dfrac{1+1}{2 \times 1}U_1=U_1=2

U_3=\dfrac{2+1}{2 \times 2}U_2=\dfrac{3}{4}U_2=\dfrac{3}{4} \times 2=\dfrac{3}{2}

2)Soit V_n=\dfrac{U_n}{n}
Calculons V_1; V_2;~et~ V_3
(cap 101)
b) Montrons que (V_n) est une suite géométrique dont on précisera la raison.
(cap 102)
donc (V_n) est une suite géométrique de raison q = \dfrac{1}{2} et de premier terme V_1=2
c) Ecrivons V_n ~et~ U_n en fonction de n.
(cap 103)

d) Etude de sens de variation et de convergence.
On a 0<\dfrac{1}{2}<1~donc~(V_n)~est~décroissante.
(cap 104)
Or \forall n \geq 1; (\tfrac{1}{2})^{n-1} \geq 0~et~1-n \leq 0~donc~U_{n+1}-U_n \leq 0~par~conséquent~(U_n)~est~décroissante
\lim\limits_{\substack{n\rightarrow +\infty}}(V_n)=0~et~\lim\limits_{\substack{n\rightarrow +\infty}}(U_n)=0~donc~(V_n)~et~(U_n)convergent vers 0.

Exercice 5
1) Calcul du bénéfice b_1
b_1=b_0+\dfrac{10}{100}=1,1b_0=220.000F
Expression de b_{n+1}~en~ fonction ~de ~b_n
En déduisons b_n en fonction de n.

b_n=(1,1)^nb_0=200.000 \times (1,1)^n.

2) L’année en laquelle le bénéfice annuel sera au moins le double de celui de 1989
(cap 105)

Donc en 1997; le bénéfice annuel sera au moins le double de celui de 1989.

Exercice 6 (BAC 1997)

1.a. La production de M. Kouao a été de : 2,8+\dfrac{2,8 \times 10}{100}=3,08

La Production de M. Kouao en 1995 était de 3,08 tonnes.
b. Si on note V_0 la production de cacao de M. Kouao en 1994 et V_n sa production après n années on a :V_1=V_0+\dfrac{10 \times V_0}{100}=1,1 V_0
De même on généralise en écrivant :V_{n+1}=V_n+\dfrac{10 \times V_n}{100}=1,1V_n
la suite (V_n)n \in \zeta~est une suite géométrique de raison 1,1.
On a la relation V_n=(1,1)^nV_0=2,8(1,1)^n
v_9~correspond à la production de 2003.
V_9=2,8(1,1)^9
v_9=6,7
En 2003 M. Kouao a une production d’environ 6,7 tonnes

2. On doit chercher le plus petit entier n pour lequel V_n>U_n.
   Pour n = 3 (en 1997)
   V_3=(1,1)^3 \times 2,8=3,64~or~U_3=3,7
   Pour n=4 (en 1998)
   V_4=(1,1)^4 \times 2,8=1,5 \times 2,8=4,2
   C’est à partir de 1998 que la production de M. Kouao dépassera celle de M. Yapi.
   U_4=U_3+0,3=4

Chapitre 8 : Probabilités

Exercice 1

Résoudre dans \N les équations suivantes :

a) C_n^2=7n;~b)C_x^5=C_x^7;~c)A_n^2=3n;~d)A_n^3=5n^2

Exercice 2

Trois options sont offertes aux élèves d’une classe de terminale A. espagnol, latin. Chaque élève choisit une ou deux options. Le schéma ci-dessous indique le nombre d’élèves pour chaque combinaison d’options possibles
(cap 16)
On choisit un élève au hasard dans cette classe.
Déterminer la possibilité des évènements suivants :
1)L’élève étudie l’espagnol
2) L’élève étudie uniquement l’espagnol
3)L’élève étudie l’espagnol et le latin
4)L’élève étudie l’espagnol ou le latin
5)L’élève étudie uniquement une des deux langues :espagnol ou latin(il peut éventuellement faire aussi de la musique)
6)L’élève étudie une seule des trois options

Exercice 3

\varOmega~est un univers fini d’éventualités muni d’une probabilité p.
A et B sont deux évènements tels que p(A)=0,3~et~p(B)=0,4
Calculer p(A \cup B) lorsque :

a) A et B sont incompatibles
b) p(A \cap B)=0,12

Exercice 4

Un cirque possède 10 fauves dont 4 lions.
Pour chaque représentation, le dompteur choisit 5 fauves au hasard.
Soit X la variable aléatoire qui décompte le nombre de lions présentés au cours d’une présentation.
1) Déterminer la loi de probabilité de X.(On donnera les résultats sous forme de fractions)
2) Calculer l’espérance mathématique de X.

Exercice 5

Une urne contient trois boules vertes portant le numéro 0 ;deux boules rouges portant le numéro 5 et une boule noire portant le numéro a (a est un entier naturel non nul, différent de 5 et de 10).
Toutes les boules sont indiscernables au toucher.
Un joueur tire simultanément trois boules de l’urne.
1)Quelle est la probabilité pour qu’il tire :
a)trois boules de la même couleur ?
b)trois boules de couleurs différentes ?
c)deux boules et deux seulement de la même couleur ?
2)Le joueur reçoit, en francs CFA, la somme des numéros marqués sur les boules tirées. Les gains possibles du joueur sont donc : 0;5;10;10+a
a)Soit X la variable aléatoire égale au gain du joueur, déterminer la loi de probabilité de X.
b)Calculer l’espérance mathématique de X en fonction de a.
c) Calculer a pour que l’espérance de gain du joueur soit de 20 francs.

Corrigé

Exercice 1

a) C_n^2=7n
L’équation est valide si n \geq 2
(cap 106)
on trouve

n=0 ~ou~ n=15;~or~ n \geq 2 ~donc~ S_{IN+={15}}
b) L’équation est valide si x \geq 5 ~et~ x \geq 7 ~c’est-à-dire~ que~ D_v=[7 ;+\infty[

(cap 107)
Après résolution on trouve x=-1~ou~x=12~or~-1~\notin [7;+\infty[~donc~S_{IN}=12
c) A_n^2=3n
L’équation est valide si n \geq 2
(cap 108)
On trouve n=0~ou~n=4~or~0\notin [2;+\infty[~donc~S_{IN}=4
d)A_n^3=5n^2
L’équation est valide si n \geq 3
(cap 109)
On trouve n=0~ou~n=\dfrac{8-\sqrt{56}}{2}~ou~n=\dfrac{8+\sqrt{56}}{2}
0 \notin [3;+\infty[~et~\dfrac{8-\sqrt{56}}{2}~et~\dfrac{8+\sqrt{56}}{2}~ne sont pas des entiers naturels donc S_{IN}=\varnothing

Exercice 2

La classe comprend 36 élèves.
1) Le nombre d’élèves étudiant l’espagnol est égal à : 8 + 4 + 10 = 22. Si on choisit un élève au hasard, la probabilité pour qu’il étudie l’espagnol est donc égale à :
\dfrac{22}{36}=\dfrac{11}{18}
2) Le nombre d´élèves étudiant uniquement l’espagnol est égal à 8. Si on choisit un élève au hasard, la probabilité pour qu’il étudie uniquement l’espagnol est donc égale à \dfrac{8}{36}=\dfrac{2}{9}
3) Le nombre d’élèves étudiant l’espagnol et le latin est égal à 4. Si on choisit un élève au hasard, la probabilité pour qu’il étudie l’espagnol et le latin est donc égale à \dfrac{4}{36}=\dfrac{1}{9}.
4) Le nombre d’élèves étudiant l’espagnol ou le latin est égal à 8 + 10 + 4 + 3 + 6 = 31. Si on choisit un élève au hasard, la probabilité pour qu’il étudie l’espagnol ou le latin est donc égale à \dfrac{31}{36}.
5)Le nombre d’élèves étudiant l’espagnol, l’espagnol et la musique, le latin, le latin et la musique est égal à 8 + 10 + 3 + 6 = 27. Si on choisit un élève au hasard, la probabilité pour qu’il étudie l’espagnol, l’espagnol et la musique, le latin, le latin et la musique est donc égale à \dfrac{27}{36}=\dfrac{3}{4}.
6)Le nombre d’élèves étudiant une seule des trois options est égal à 8 + 6 + 5 = 19. Si on choisit un élève au hasard, la probabilité pour qu’il étudie une seule des trois options est donc égale à \dfrac{19}{36}.

Exercice 3

Calculons :
a)lorsque A et B sont incompatibles p(A \cup B)=p(A)+p(B)=0,3+0,5=0,8
b)lorsque p(A \cap B)=0,12;~p(A\cup B)=p(A)+p(B)-p(A\cap B)=0,3+0,5-0,12=0,68

Exercice 4

1)Le dompteur a C_10^5=\dfrac{10!}{5!(10-5)!}=252~252 façons de choisir 5 fauves parmi les 10 présents.
Pour 0 \leq k \leq 4,~il~y~a~C_4^k~façons~de~choisir~k~lions~et~C_6^{5-k}~façons de choisir (5-k) autres fauves.
Ainsi ;nous avons p(X=k)=\dfrac{C_4^k \times C_6^{5-k}}{C_10^5}
On obtient la loi de probabilité de X.
(cap 110)
2)L’espérance mathématique de X est donnée par :E(X)=0 \times p(X=0)+1 \times p(X=1)+2 \times p(X=2)+3 \times p(X=3)+4 \times p(X=4)=2
L’espérance mathématique de X est donc de 2 lions.

Exercice 5

Epreuve : tirage simultané de 3 boules dans une urne contenant 6 boules. Les boules étant indiscernables au toucher, nous sommes dans l’hypothèse d’équiprobabilité.
On a card~\varOmega=C_6^3=20
1)a-Soit A l’évènement : «les 3 boules tirées sont de la même couleur».A se traduit par : «les trois boules sont vertes» donc p(A)=\dfrac{C_3^3}{20}=\dfrac{1}{20}
b)Soit B l’évènement : «les trois boules sont de couleurs différentes».B se traduit par : «1 boule verte et 1 boule rouge et 1 boule noire» donc p(B)=\dfrac{C_3^1 \times C_2^1 \times C_1^1}{20}=\dfrac{3}{10}
c)Soit C l’évènement : «deux boule et deux seulement sont de même couleur».C s’écrit \overline{A\cup B}
p(C)=1-p(A \cup B)~avec A et B incompatibles, donc p(C)=1-(p(A)+p(B))=\dfrac{13}{20}
2)a. X(\varOmega)=0;5;10;a;5+a;10+a~(avec a un entier naturel non nul différent de 5 et de 10).
P(X=0)=p(A)=\dfrac{1}{20}
P(X=5)=p(2~vertes~1~rouge)=\dfrac{C_3^2 \times C_2^1}{20}=\dfrac{3}{10}
P(X=10)=p(1~verte~et~2~rouges)=\dfrac{C_3^1 \times C_2^2}{20}=\dfrac{3}{20}
P(X=a)=p(2~vertes~et~1~noire)=\dfrac{C_3^2 \times C_1^1}{20}=\dfrac{3}{20}
P(X=5+a)=p(B)=\dfrac{3}{10}
P(X=10+a)=p(2~rouges~et~1~noire)=\dfrac{C_2^2 \times C_2^1}{20}=\dfrac{1}{20}
D’où la loi de X
(cap 111)
On trouve a= 30.

Chapitre 9 : Statistiques

Exercice 1

Détermine la valeur médiane des listes de valeurs suivantes :

(cap 17)

Exercice 2

Le professeur SAVADOGO a noté la moyenne en Mathématiques de dix (10 ) élèves d’une classe de terminale A :
(cap 18)

1. Donne une moyenne médiane de cette série.
2. Calcule la moyenne de cette série.
   Calcule l’étendue de cette série

Exercice 3(BAC A Session de 1996 ;Côte d’Ivoire)

Kakou et Annah ont été présélectionnés pour participer aux Olympiades de Mathématiques. Il reste à choisir ,parmi ces deux finalistes, celui qui représentera l’établissement.
Au cours de l’année, Kakou a obtenu en Mathématiques les notes suivantes :16;8;16;8;19;5;16;8;8;16
Les notes d’Annah sont données par le diagramme ci-dessous
(cap 19)

1)Pour chaque candidat,présenter,sous forme de tableau, la série statistique obtenue en classant les notes par ordre croissant et en indiquant, pour chaque note, l’effectif.
2)Calculer pour chaque série, la moyenne et l’écart-type.
3)Lequel de ces deux candidats auriez-vous choisi ?Pourquoi ?

Corrigé

Exercice 1

a) On range les valeurs dans l’ordre croissant :6 ; 7,5 ; 8 ; 9,5 ; 11 ; 12 ; 14 ; 16 ; 18.
Comme il y a 9 valeurs, la médiane est associée au 5ème élément qui partage la série en deux séries de 4 valeurs, soit la valeur 11.
Conclusion : La médiane de cette série est 11

b) On range les valeurs dans l’ordre croissant :6,5; 9; 9,5; 11; 11; 11,5; 12; 14

Comme il y a 8 valeurs, la médiane est comprise entre la 4ème et 5ème valeur, qui partage la série en deux séries de 4 valeurs, soit la valeur 11.
Conclusion : La médiane de cette série est 11

c) On range les valeurs dans l’ordre croissant : 48,5; 49,2; 49,7; 50,1; 51,2; 53,8 ; 54,4

Comme il y a 7 valeurs, la médiane est associée au 4ème élément qui partage la série en deux séries de 3 valeurs, soit la valeur 50,1.
Conclusion : La médiane de cette série est 50,1

d) On range les valeurs dans l’ordre croissant : 4,5; 5,1; 5,1; 7; 7; 9,6; 13,2; 16,6; 19,1

Comme il y a 9 valeurs, la médiane est associée au 5ème élément qui partage la série en deux séries de 4 valeurs, soit la valeur 7.
Conclusion : La médiane de cette série est 7.

Exercice 2

1) On range les valeurs dans l’ordre croissant :
13,5; 13,8; 13,8; 13,9; 14 ; 14,1 ; 14,2; 14,2; 14,3; 15,2

Comme il y a 10 valeurs, la médiane est comprise entre la 5ème et 6ème valeur qui partage la série en deux séries de 5 valeurs, soit la valeur \dfrac{14+14,1}{2}=14,05
Conclusion : La médiane de cette série est 14,05
2) Soit m la moyenne, on a :
m=\dfrac{13,5+13,8\times 2+13,9+14+14,1+14,2\times 2+14,3+15,2}{10}=14,1
La moyenne moyenne est donc de 14,1

3) Calcul de l’étendu

La plus petite valeur est 13,5
La plus grande valeur est 15,2
On a : 15,2 – 13,5 = 1,7
Conclusion : ~l’étendu~ est~ 1,7

Exercice 3

1) Au cours de l’année,chaque candidat a obtenu dix notes en Mathématiques.
(cap 112)
Calcul des moyennes
Désignons par \overline{X_k}la moyenne des notes de Kakou.
(cap 113)
\overline{X_k}=\dfrac{1\times 5+4 \times 8+4\times 16+1\times 19}{10}=12
D’où \overline{X_k}=12
Désignons par \overline{X_A}~ la moyenne des notes de Annah.
(cap 114)
D’où \overline{X_A}=12

Calcul des écarts types
Désignons par \sigma_K l’écart-type des notes de Kakou.
(cap 115)
Désignons par \sigma_A l’écart-type des notes de Annah.
(cap 116)

3) \overline{X_A}=\overline{X_k}~donc Annah et Kakou ont la même performance en Mathématiques ; mais comme \sigma_A<\sigma_K~ alors Annah est plus régulière que Kakou, elle est donc l’élément sûr qu’il faut choisir.

RECUEIL DE SUJETS DE DEVOIRS SURVEILLES

Devoir n°1 de Mathématiques

Exercice 1

Déterminer les ensembles de définition de f notés D_f puis calculer les limites de f aux bornes de D_f et déduire en les équations d’asymptotes éventuelles.
(cap 20)

Exercice 2

Calculer les limites suivantes :
(cap 21)

Exercice 3

Déterminer les réels a, b et c tels que f(x) s’écrive sous la forme proposée.
(cap 22)

Exercice 4

Soit la fonction f définie par f(x)=\dfrac{ax+1}{bx-3}
La représentation graphique de f(x) admet les droites d’équations y = 2 et x = 3
Comme asymptotes. Trouver les réels a et b.

Devoir n°2 de Mathématiques

Exercice 1

1) Calculer les limites des fonctions suivantes en a :f(x)=\dfrac{x^2-5x+4}{x+2};a=-2;~b)f(x)=x-3+\dfrac{1}{x-3};a=+\infty
2) Déterminer les domaines de définition des fonctions suivantes puis calculer les limites aux bornes du domaine de définition.
(cap 23)

Exercice 2

Soit

f(x)=\dfrac{2x^2+5x-3}{(2x-1)(9-x^2)}

1) Déterminer le domaine de définition de f;
2) Calculer les limites de f(x) aux bornes de ce domaine.
3) Calculer les images par f de 0;\dfrac{1}{2};1~et~-3~si~possible

Exercice 3

Soit f une fonction de \R par :f(x)=ax+b+\dfrac{1}{x+1}~où a et b sont des réels.
1) Déterminer a et b sachant que f(0)=0~et~f(1)=\dfrac{1}{2}
2) On suppose que: f(x)=\dfrac{x^2}{x+1}
a) Déterminer le domaine de définition de f.
b) Calculer les limites de f aux bornes de ce domaine.
c) Prouver que f(x)=x-1+\dfrac{1}{x+1}
3) Soit g(x)=\dfrac{3x^2-27}{x^2(x+1)}
a) Calculer les limites de g(x) ~en -\infty~et~en~ +\infty
b) Calculer les limites de g(x) en 0.
c) Résoudre dans \R ~l’équation~g(x) =0

Devoir n°3 de Mathématiques

Exercice 1

Dans chaque cas déterminer l’ensemble de définition de la fonction f, déterminer la fonction dérivée f et son ensemble de dérivabilité.
(cap 24)

Exercice 2

f est la fonction définie par f(x)=\dfrac{x^3+2x^2+2x+2}{x^2+1}~On désigne par (C) sa courbe représentative.

1. Déterminer D_f.
2. Calculer les limites aux bornes de D_f.
3. Déterminer les réels a, b, c tel que f(x)=ax+b+\dfrac{cx}{x^2+2}
4. Montrer que la droite (D) d’équation y = ax + b est une asymptote à (C).
5. Etudier la position de (C) par rapport à (D).

Exercice 3

f est la fonction définie par: f(x)=\dfrac{x^2-x-6}{x+2}

1. Déterminer D_f
2. Calculer les limites de f aux bornes de Df en déduire une asymptote à (Cf).
3. Calculer f'(x)
4. Etudier le signe de f'(x) puis dressez le tableau de variation.

Devoir n°4 de Mathématiques

Exercice 1

Soit f la fonction numérique de la variable réelle définie par :f(x)=x-1+\dfrac{1}{2-x}

1. Etudier les variations de f.
2. Soit (D) la courbe représentative de f dans un repère orthonormé d’axes ox,oy l’unité de longueur est le cm.
   a) Soit (D) la droite d’équation y = x – 1 montrer que (D) est asymptote à (C) et préciser la position de (C) par rapport à (D).
   b) Montrer que le point I, intersection des deux asymptotes est centre de symétrie pour (C) Déterminer les points d’intersection de (C) avec la droite (D’) d’équation y=-\dfrac{1}{2}.
   Tracer la courbe (C) et ses asymptotes ainsi que la droite (D’).

Exercice 2

A) Soit la fonction numérique définie par f(x)=\dfrac{x\sqrt{x^2}}{1-x}

1. a) Déterminer le domaine de définition D de la fonction f.
   b) Donner les différentes expressions de la fonction par intervalles.
2. Etudier les variations de f.
   B) Soit g l’application de \R^+-{1}~dans~ \R ~définie~ par~ g(x) = f(x).
3. Montrer que pour x \in \R^+ \ {1}~il existe 3 réels a, b et c tels queg(x)=ax+b+\dfrac{c}{1-x}
   En déduire qu’il existe une asymptote à la courbe représentative (C) de g.
4. Construire (C) est ses asymptotes.

Devoir n°5 de Mathématiques

Exercice 1

Soit une suite U_n~définie par U_1=2~et~\forall N \geq 1~2nU_{n+1}=(n+1)U_n
1) Calculer U_2 ~et~ U_3
2) On définit la suite (V_n)~\forall n \in N^*~par~V_n=\dfrac{U_n}{n}
a. Calculer V_1;V_2;V_3
b. Montrer que (V_n) est une suite géométrique dont on précisera la raison.
c. Ecrire l’expression de V_n~et~de~U_n en fonction de n.
d. Etudier la croissance et la convergence des suites (V_n)~et~(U_n).

Exercice 2

Pour creuser un puits de 20 m de profondeur, 2 organismes A et B proposent les conditions suivantes :
Organisme A : le premier mètre creusé vaut 20.000 F, le prix du n ième mètre creusé dépasse celui du mètre creusé précédemment de 1000 F.
Organisme B : le premier mètre creusé vaut 100F, le double du n ième mètre creusé vaut le triple du mètre creusé précédemment. On désigne par U_n ~et~ V_n les prix du n ième mètre creusé respectivement par les organismes A et B. (On a donc U_1 = 20.000 ~et~ V_1 = 100)
1) Calculer U_2 ~et~ V_2.
2.a) Exprimer U_n~en~fonction~de~ U_{n-1}~et~V_n~en~fonction~de~ V_{n-1}~pour~n > 1~et en déduire que U_n~ est une suite arithmétique et (V_n)~ une suite géométrique.
b) Exprimer U_n~en fonction de n et V_n~en fonction de n.
c) Déterminer le prix du 20 ième mètre creusé par chaque organisme.
3) On pose S_n~ le prix des n mètre creusés par l’organisme A et Sn celui de l’organisme B.

Exprimer S_n’~et~S_n en fonction de n en déduire l’organisme le plus économique.
On donne (\tfrac{3}{2})^{19}=2217; (\tfrac{2}{2})^{20}=3325

Exercice 3

1) On considère la fonction numérique f définie par: f(x)=\dfrac{x^2}{x+1}
a) Déterminer l’ensemble de définition D : f.
b) Montrer que pour tout x de D on a f(x)=x-1+\dfrac{1}{x+1}
c) Donner le tableau de variation de f.
d) Montrer que la droite y = x – 1 est asymptote à la courbe représentative (C) de f.
e) Tracer la courbe dans un repère orthonormé (O,i,j)

2. Soit la fonction g définie par g(x)=|x|-1+\dfrac{1}{|x|+1}~Soit (C) sa courbe représentative.
   a) Déterminer son ensemble de définition D’.
   b) Etudier la parité de g et conclure.
   c) Comparer g(x) et f(x) pourx \in [0;+\infty[~et sans étudier g montrer comment on peut construire C. La construire.

Devoir n°6 de Mathématiques

Exercice 1

Soit f la fonction numérique de la variable réelle x définie par f(x)=\dfrac{x^2+4x+7}{2(x+1)}
On désigne par ( C ) sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O.\vec{i},\vec{j})~unité = 2cm.
1.a) Déterminer l’ensemble de définition E.
b) Calculer les limites aux bornes de E et en déduire le ou les asymptotes éventuelles.
c) Déterminer les réels a, b, c tels que pour tout x de E f(x)=ax+b+\dfrac{c}{x+1}
d) En déduire que (C) admet une asymptote oblique (D) dont on précisera une équation.
e) Etudier la position relative de (C) et (D).
2) Calculer f'(x)
3) Dresser le tableau de variation.
4) Déterminer une équation (T) à (C) au point d’abscisse x_0= 0.
5.a) Tracer les droites asymptotes, la tangente (T) et la courbe (C).
b) Déterminer graphiquement le nombre de solutions de l’équation f(x)=m~et~m \in \R
6)Soit g la fonction telle que g(x)=|f(x)|.~Sans étudier g montrer comment on peut déduire la courbe représentative C_g ~à~partir~de~C_f

Exercice 2

On considère la suite U_n définie pour tout entier naturel n par \begin{cases} U_0=6 \\ U_{n+1}=\dfrac{1}{2} U_{n+2}\end{cases}
1) Calculer U_1~et~ U_2
2) Soit V_n=U_n-3
a) Montrer que la suite (V_n)~ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.
b) Exprimer V_n~ en fonction de n, puis U_n en fonction de n.
c) Etudier la convergence des suites (V_n)~et~(U_n)
3) On pose S_n=V_0+V_1+V_2-V_n~et~T_n=U_0+U_1+U_2+…U_n
Exprimer S_n en fonction de n, puis T_n en fonction n.
4) On désigne par (W_n)~ la suite définie par W_n = \ln(V_n)

a) Montrer que la suite W_n est une suite arithmétique dont on précisera la raison et le premier terme.
b) Exprimer W_n en fonction de n.
c) On pose P_n= W_0+W_1+ W_2…W_{n-1}
Exprimer P_n en fonction de n.

Exercice 3

1) Développer, réduire et ordonner (2x + 1)(x – 8) puis en déduire la résolution de :
a) 2x^2-15x-8=0
b) \ln [x(2x-15)]=3\ln 2
c) \ln x+ \ln (2x-15)=3\ln 2
2) Résoudre dans

\R: x^3 – 4x = 0,~en~déduire~\ln⁡(x)^3 – 4\ln x = 0.

3) Résoudre \ln (\tfrac{x+1}{3x-5}) \geq 0

.

Devoir n°7 de Mathematiques

Exercice 1

1) Calculer les limites aux bornes de chacune des fonctions suivantes en -\infty~et~en~+\infty
(cap 25)
2) On considère la fonction k définie de \R~vers~\R~par~k(x)=\dfrac{x^2}{x-1}

a) Déterminer son ensemble de définition puis calculer les limites en ses bornes et interpréter.
b) Déterminer les réels a, b et c tels que k(x)=ax+b+\dfrac{c}{x-1}~\forall x \not= 0.
Montrer que (D) : y = ax + best une asymptote oblique en -\infty~et~ en~+\infty

Exercice 2

Calculer la dérivée de chacune des fonctions suivantes après avoir déterminer leurs ensembles de définition.
(cap 26)

Problème

Soit la fonction f défini par f(x)=\dfrac{2x^2-7x+5}{x-3}~et soit (Cf) sa courbe représentative.
1) développer les expressions
A(x)=(x-1)(2x-5)~et~B(x)=(2x-4)(x-4)
2) Déterminer l’ensemble définition de f et calculer les limites en ses bornes en précisant les asymptotes
3) Montrer que pour tout x de D_f, f(x) peut s’écrire sous la formef(x)=2x-1+\dfrac{2}{x-3}
4) Etudier les variations de f et dresser son tableau de variations.
5) Montrer que (\Delta) : y = 2x -1 est une asymptote à (Cf).
6) Déterminer les coordonnées des points d’intersection de (Cf) avec les axes de coordonnées.
7) Montrer que le point I(3,5) est un centre de symétrie pour (Cf).
8) Tracer (Cf) et les asymptotes.

Devoir n°8 de Mathématiques

Exercice 1

Soit f la fonction numérique définie par f(x)=\dfrac{1}{x}+\dfrac{\ln x}{x}.
On note (C) sa courbe représentative dans le plan muni d’un repère orthonormé (O,\vec{i},\vec{j})

1. Déterminer l’ensemble de définition D de f.
2. Calculer les limites aux bornes de D_f en déduire les asymptotes éventuelles.
3. Calculer f'(x) et dresser le tableau de variation.
4. Ecrire l’équation de la tangente (T) à (C) en A. (A est l’intersection de (C) avec (ox))
5. Tracer (C) et (T).
6. Soit g la fonction telle que g(x)=\dfrac{1}{x}+\dfrac{\ln x^2}{2x}
   a) Déterminer l’ensemble de définition de g.
   b) Etudier la parité de g. que peut-on en déduire pour la courbe représentative (C’) de g.
   c) Comparer g(x) et f(x) pour tout x > O. en déduire une explication de l’obtention de (C) à partir de (C) sans étudier g.
   d) Tracer (C’) dans le même repère que (C)
   e) Déterminer graphiquement suivant les valeurs du réel ? le nombre de solutions de l’équation g(x) = m.
   On donne e=2,7;~e^{-1}=0,4;~\ln 2=0,7;~\ln 3=1,1;~\ln 4=1,6

Exercice 2

On effectue un placement de 20.000 F dans une caisse d’épargne à intérêt composé de 6 \% l’an. On note Cn le montant exprimé en francs du capital disponible sur le compte après n années de placement. Co = 20.000 F
1) Exprimer C_{n+1} en fonction de C_n.
2) En déduire C_n en fonction de n.
3) Au bout de combien d’années on pourra disposer d’une somme minimale de 30.000 F.
On donne \ln(1,06) = 0,058;~\ln(1,50) = 0,4;~(1,5)^10 = 1,8

Exercice 3

1) On donne P(x))-2x^3+5x^2+4x-3
a) Déterminer 3 réels a, b et c tels que P(x)=(x+1)(ax^2+bx+c)
b) Résoudre dans \R p(x) = 0~et~P(x)\geq 0.

2) En déduire la résolution des équations et inéquation suivantes :
a) 2\ln x+\ln(-2x+5)=\ln (-4x+3)
b) \ln 2+\ln x^2+\ln(x+1) \geq \ln (7x+4x-3)
c) -2(\ln x)^3+5(\ln x)^2+4\ln x-3=0

Devoir n°9 de Mathématiques

Exercice 1

1)Factoriser P(x)
P(x)=x^3+2x^2-x-2
2) On considère le polynôme Q(x) définie par : x^3-7x+6
a) Montrer que 1 est une solution de l’équation : Q(x)=0.
b) En déduire que Q(x) peut s’écrire sous la forme :Q(x)=(x-1)(x^2+ax+b)~ou a et b sont des nombres réels à préciser.
c) Résoudre dans \R ~l’équation~ : Q(x) = 0
d) Résoudre dans \R ~l’équation~ : Q(x) < 0

Exercice 2

Soit f la fonction définie par : f(x)=\dfrac{x+1}{x^2+3x-4}

1.a) Déterminer l’ensemble de définition f.
b) Calculer les limites de f aux bornes de l’ensemble de définition.

2. a) Déterminer la fonction dérivée f’et de f.
   En déduire le sens de variation de f.
   b) Dresser le tableau de variation de f.

Problème

Le plan est muni d’un repère orthogonal d’unités graphiques 1 cm sur chaque axe.
On désigne par f la fonction numérique de la variable réel x définie sur
D=\R-{2}~par~f(x)=\dfrac{x^2-5x-15}{x-2}~et (C) sa représentation graphique.

1. a) Vérifier que : pour tout x de D, f(x)=x-3+\dfrac{9}{x-2}
   b) En déduire que la droite d’équation y = x – 3 est asymptote à (C).
   c) Préciser la position relative de (C) et (\Delta).
   2) Déterminer \lim\limits_{\substack{x\rightarrow 2}}f(x)~et~\lim\limits_{\substack{x\rightarrow 2}}f(x)
2. Démontrer que (C) admet le point A(2:-1) comme centre de symétrie.
   4.a) Vérifier que : pour tout x de D,f'(x)=\dfrac{(x-5)(x+1)}{(x-2)^2}
   b) Dresser le tableau de variation de f et construire (C).
   c) Donner une équation de la tangente à (C) au point d’abscisse 1.
3. Tracer la droite d’équation y = -7.

En déduire la résolution graphique de l’inéquation :\dfrac{x^2-5x+15}{x-2}<7

6. Construire (C) l’asymptote et la tangente.

Devoir n°10 de Mathématiques

Exercice 1

1) Résoudre dans \R les équations et inéquations :
(cap 27)

2) Résoudre les systèmes suivants dans \R \times \R
(cap 28)

Exercice 2

1) Calculer la dérivée de f après avoir trouver son domaine de définition dans les cas suivants :
(cap 29)

2) Simplifier au maximum les expressions :
(cap 30)

3. Calculer les limites suivantes : a) \lim\limits_{\substack{x\rightarrow 0^+}}\dfrac{1}{x \ln x};~b)\lim\limits_{\substack{x\rightarrow -\infty}}e^x \ln(1+e^{x});~c)\lim\limits_{\substack{x\rightarrow +\infty}}\dfrac{-5e^x+2}{4+e^x}

Exercice 3

Soit f et g deux fonctions par :f(x)=e^{3-x}\ln x~et~g(x)=1-x \ln x;~avec~x \in [1;+\infty[
1.a) Calculer g’(x) puis étudier son signe pourx \in [1;+\infty[
b) Calculer g(1)~et~\lim\limits_{\substack{x\rightarrow +\infty}}g(x)~puis dresser le tableau de variations de g sur [1;+\infty[

2.a) Calculer f'(x)
b) Prouver que f’(x) et g(x) ont même signe.
c) Vérifier que \forall x \in [1;+\infty[;f(x)=\dfrac{\ln x}{x}X\dfrac{x}{e^x}Xe^3~ puis déduire la limite de f en +\infty
d) Donner une équation de la tangente (T) à (Cf) au point d’abscisse 1.

Devoir n°11 de Mathématiques

Exercice 1

Soit P(x)=2x^3-x^2-5x-2
1) Calculer P(-1).
2) Déterminer le réel a tel que P(x)=(x+1)(2x^+ax-2)
3) Résoudre P(x) = 0.
4) Résoudre chacune des équations suivantes :
a)2(\ln x)^3-(\ln x)^2-5\ln x-2=0
b)2e^{2x}-e^x-5-2e^{-x}=0

Exercice 2

On considère la suite définie pour tout entier naturel n par U_0 = 6;~U_{n+1}=\dfrac{1}{3}U_n+2

1. Calculer U_1~et~ U_2.
2. Soit (V_n) la suite définie par V_n = U_n – 3
   a) Montrer que la suite (V_n) est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.
   b) Calculer V_n puis Un en fonction de n.
   c) La suite (U_n) est-elle convergente ? Justifier.
3. On désigne par (W_n) la suite définie par W_n = ln (V_n).

a) Calculer W_{n+1} – W_n puis en déduire la nature de la suite
b) Calculer W_n en fonction de n.
c) On donne S_n=W_0+W_1+W_2+…+W_{n-1}
Calculer S_n en fonction de n.

Exercice 3

On considère la suite numérique définie par U_0 = 1 et pour tout entier naturel n,U_{n+1}=\dfrac{1}{3}U_n+n-1
Soit (V_n) la suite définie, pour tout entier naturel n, par

V_n = 4U_n – 6n + 15

Montrer que (V_n)est une suite géométrique.
2.a) Calculer V_0~puis~exprimer~V_n en fonction de n.
b) En déduire que pour tout entier naturel U_n=\dfrac{19}{4}X\dfrac{1}{3n}+\dfrac{6n-15}{4} On pose T_n=\dfrac{19}{4}X\dfrac{1}{3^n}~et~W_n=\dfrac{6n-15}{4}~pour tout entier naturel n.
a) Déterminer la nature des suites (T_n)~et~(W_n)
b) Calculer S=T_0+T_1+…+T_n~et~\sum_{\mathclap{}}=W_0+W_1+…+W_n
c) En déduire S’=U_0+U_1+U_n

Exercice 4

On considère la fonction numérique f définie sur \R~par~ f(x) = 2x² e-x~et~(C) sa courbe représentative dans le plan muni d’un repère orthonormé (o,i,j) (unité 1 cm).
1.a) Calculer la limite de f en +\infty
b) On donne \lim\limits_{\substack{x\rightarrow +\infty}}f(x)=0 Interpréter géométriquement ce résultat.

2. a) Calculer f'(x) puis étudier son signe.
   b) En déduire le sens de variation de f, puis dresser son tableau de variation.
3. Donner une équation de chacune des tangentes (T_0)~et~(T_2)~à~(C)~aux point d’abscisses respectives 0 et 2.
4. Construire les tangentes (T_0)~et~ (T_2) et la courbe (C).
5. A l’aide du graphique, donner suivant les valeurs du réel m, le nombre de solutions
   de l’équation f(x) = m.
6. Résoudre graphiquement dans \R ~l’inéquation~ f(x)\geq 0
   On donne e=2,7;~e^{-2}=0,14;~e^{-4}=0,02.

Devoir n°12 de Mathématiques

Exercice 1

On considère la suite U définie par :\begin{cases}U_1=1 \\ U_{n+1}=\dfrac{4U_n-9}{U_n-2}\end{cases}
1) Montrer que la suite V définie par V_n=\dfrac{1}{U_n-3}~est arithmétique.
2) Donnez une expression explicite de V_n~puis~de~U_n
3) Etudier la convergence de V puis celle de U.

Exercice 2

On considère la suite U définie par :\begin{cases}U_1=2 \\ U_{n+1}=\dfrac{n}{3(n+1)}U_n \forall n \geq 1\end{cases}

1) Calculer U_2~et~U_3
2) Etudier la monotonie (Sens de variation) de U_n (on vérifiera d’abord que U_n est à termes positifs).
3) On pose V_n=\dfrac{1}{4}(nUn)^2~montrer~que~V_{n+1}=\dfrac{1}{9}V_n
4) Exprimer V_n ~et~ U_n en fonction de n.
5) La suite (U_n) est celle convergente ou divergente ?
6) Soit S_n = V_1 + ……+ V_n;~exprimer~ S_n~en~fonction~de~n~et~calculer~lim S_n

Exercice 3

Au 1er Janvier 2008, une ville comptait 250 000 habitants.
Chaque année, la population augmente de 2\% ; de plus, durant la même période, 50 000 personnes viennent s’établir définitivement dans cette ville.
1) Quelle sera la population de cette ville au 1er Janvier 2009?
On note U_n la population de la ville au 1er janvier de l’année 2008 + n.
2) Exprimer U_{n+1}~en fonction de U_n.

3) Soit (V_n) la suite définie par V_n = U_n + 250 000 pour tout entier n.
Démontrer que (V_n) est une suite géométrique.
4) En déduire la population de la ville au 1er Janvier 2020.
On donne : (1,02)^{12}=1,27

Devoir n°13 de Mathématiques

Probleme 1

Le plan est muni d’un repère orthonormal (O,\vec{i},\vec{j})

unité : 2cm

A/ Soit g la fonction définie par g(x)=2x^2+1-\ln x

1.a) Déterminer l’ensemble de définition de g
b) Calculer les limites de g aux bornes de son ensemble de définition
2.a) Etudiez les variations de g puis dresser son tableau de variations
b) Déduisez–en que g est positive sur ]0;+\infty[

B/ Soit f la fonction définie par f(x)=2x-2+\dfrac{\ln x}{x}

1. Déterminer l’ensemble de définition de f.
2. Calculer les limites de f aux bornes de ]0;+\infty[~puis interpréter éventuellement les résultats
3. a) Calculer la dérivée de f puis l’exprimer en fonction de g
   b) En déduire le sens de variations de f et dresser son tableau de variations
4. a) Montrer que la droite (D) d’équation y = 2x – 2 est asymptote à la courbe (C) représentative de f
   b) Préciser la position de (C) par rapport à (D)
5. Construire (C)

Probleme 2

On considère le plan, rapporté à un repère orthonormal (O,\vec{i},\vec{j})

Soit f la fonction numérique définie par : f(x)=\ln (2x+4)-\ln (-3x+9)

1. Déterminer l’ensemble de définition de f.
2. Etudier les limites de f aux bornes de son ensemble de définition.
   Préciser les équations des asymptotes à la courbe représentative de f
3. Etudier les variations de f. Dresser son tableau de variations
4. Déterminer les coordonnées du point d’intersection de la courbe représentative de f avec l’axe (Ox)
5. Donner une équation de la tangente (T)à la courbe de f au point d’abscisse 1.
6. Placer les points d’abscisses \dfrac{3}{2};-1;0;2
   Tracer la courbe représentative de f.
7. On pose h(x)=|f(x)|~Expliquer comment on obtient la courbe de h à partir de celle de f puis la construire.
   On donne : ln 2 = 0,69; ln 3 = 1,1; ln 7 = 1,95.

Devoir n°14 de Mathématiques

Exercice 1

Résoudre dans \R~ou \R^2
(cap 31)

Exercice 2
On considère la suite numérique définie sur
N par \begin{cases}U_0=1 \\ U_{n+1}=\dfrac{5U_{n-1}}{4U_{n+1}}~\forall n \in \N\end{cases}

1. Calculer U_1,U_2,U_3
2. En déduire que la suite (U_n) n’est pas arithmétique.
3. On considère la suite (V_n)~ définie par V_n=\dfrac{2}{2U_{n-1}}
   a. Montrer que (V_n)~ est une suite arithmétique
   b. Exprimer V_n en fonction de n.
   c. Etudier le sens de variation de (V_n)~
   d) Exprimer S_n=\sum_{\substack{k=0}}^n V_k~en fonction de n.
   4)a) Exprimer U_nen fonction de n.
   b) Calculer U_10

Exercice 3

On considère la fonction numérique f de la variable réelle x définie par f(x)=\dfrac{e^x-4}{e^x-1}
On appelle C_f~sa courbe représentative dans le plan muni d’un repère orthonormé (O,\vec{i},\vec{j})~d’unité 1 cm.

1. Déterminer le domaine de définition D de f.
2. On se propose d’étudier f sur ]0;+\infty[
3. Calculer f'(x) et dresser le tableau de variation sur ]O;+\infty[
4. A calculer les coordonnées du point A intersection de C_f avec l’axe des abscisses donner une équation de la tangente (T) à C_f au point A.
   5.a) Déterminer que le point (0;\tfrac{5}{2})~ est un centre de symétrie pour C_f.
   b) On appelle (C) la partie de C_f~sur~ ]O;+\infty[ .
   Construire (C) et (T). On placera les points d’abscisse 1, ln2 et 4.
   c) Placer le point B et compléter la courbe en construisant le
   symétrique (C’) de (C) par rapport à B.
5. A l’aide du graphique, donner suivant les valeurs du réel m, le nombre de solution de l’équation f(x) = m.

On donne \ln 2=0,7;~e\approx 2,7 \dfrac{e^4-4}{e^4-1} \approx 0,94

Devoir n°15 de Mathématiques

Exercice 1

Soit f et g deux fonctions définies sur ]-\infty;0[~par~f(x)=xe^{-x}+e~et~g(x)=-e^{-x}+e \ln {-x}

1. Calculer les limites de f(x) et g(x) en -\infty~et~ en~ 0.
   2.a) Calculer f’(x) et vérifier que f'(x)=(1-x)e^{-x}
   b) Prouver que f est croissante sur ]-\infty;0[~[ puis dresser son tableau de variations.
   c) Calculer f(-1) et déduire le signe de f(x) pour x \in ]-\infty;0[.
   3.a) Calculer g’(x) et vérifier que g’(x)=\dfrac{f(x)}{x}
   b) Déduire alors le tableau de variations de g sur ]-\infty; 0[~
   c) Construire la courbe (C_g)~dans~(O,\vec{i},\vec{j} ) orthonormé.
   On donne : e=2,72;~\lim\limits_{\substack{x\rightarrow +\infty}}\dfrac{x}{e^x}=0

Exercice 2

Soit (U_n)~et~(V_n) deux suites numériques par : \begin{cases}U_0=10.000 \\ U_{n+1}=1,05U_n+5.000\end{cases} V_n=U_n+100.000

1. Calculer U_1;U_2;U_3;V_0;V_2
2. Démontrer que (V_n) est une suite géométrique dont on donnera la raison et le premier terme.

Probleme
Soit f et g deux fonctions par :

f(x)=\dfrac{e^x}{x+2}~et~g(x)=\dfrac{e^x}{x(x+2)}

1.a) Déterminer le domaine de définition de f et calculer les limites de f(x) aux bornes de ce domaine.
b) Calculer f'(x) et vérifier que f’(x)=\dfrac{(x+1)e^x}{(2+x)^2}
c) Dresser le tableau de variations de f sur D_f
NB : Pour les limite de f(x) en +\infty~et vérifier que f(x)=\tfrac{e^x}{x}(\tfrac{1}{1+\tfrac{2}{x}})
d) Préciser les asymptotes horizontale et verticale de (Cf).

2. a) Déterminer le domaine de définition de g.
   b) Calculer g’(x) et vérifier que g’(x)=

\dfrac{e^x(x-\sqrt2)(x+\sqrt2)}{x^2(x+2)^2}

c) Vérifier que g(x)=\dfrac{e^x}{x^2}(dfrac{1}{1+\tfrac{2}{2}});~déduire~\lim\limits_{\substack{x\rightarrow +\infty}}g(x)

d) Calculer les limites de g(x) en

-\infty; 0~et~en~-2.
e) Donner le tableau de variations de g sur Dg.
3.a) Montrer que : f(x)–x=x(g(x)-1)
b) Résoudre dans \R : f(x) = g(x)

On donne

\lim\limits_{\substack{x\rightarrow +\infty}}\dfrac{e^x}{x^2}=+\infty~et~\lim\limits_{\substack{x\rightarrow +\infty}}\dfrac{e^x}{x}=+\infty

Devoir n°17 de Mathématiques

Exercice 1

Dans une classe de T.A4, tous les élèves étudient au moins l’anglais ou l’allemand,
15 élèves étudient l’anglais et l’allemand,
25 étudient l’anglais,
20 étudient l’allemand.
Quel est le nombre d’élèves de la classe, expliquer votre procédé.

Exercice 2

On donne la fonction f de R~dans~R~définie~par~f(x)=-x^3+3x
1.a) étudier les variations de la fonction f.
b) Tracer ( C ) la courbe représentative de f dans un plan rapporté à un repère orthonormé (Unité = 1 cm). Préciser les abscisses des points d’intersection de la courbe avec l’axe des abscisses.
2) Soit g la fonction de \R~vers~\R~définie~par~g(x)=e^{-x^{3}+3x}
a) Résoudre dans R l’équation g(x) = 1.
b) Etudier les variations de g.
c) Ecrire une équation de la tangente ( T ) à la courbe C’ de la fonction g au point d’abscisse O.
d) Tracer (T) et (C’) dans le repère précédent.
On donne \sqrt3=1,17;e=2,7;e^2=7,3;e^{-2}=0,14

Devoir n°18 de Mathématiques

Exercice 1

Résoudre dans \R ~ou~ \R^2 :
(cap 32)

Exercice 2

Un jeu consiste à tourner deux fois de suite une roue parfaitement équilibrée et divisée en trois zones de mêmes dimensions mais de couleurs différentes : Rouge, jaune et verte. Un stylet horizontal indique la couleur obtenue par le joueur à l’arrêt de la roue.

1. Déterminer « l’univers des possibles » associé à cette expérience aléatoire
2. Déterminer la probabilité des évènements suivants :
   E : « Obtenir un rouge et un jaune »
   F : « Obtenir deux vert »
3. La mise de ce jeu est de 1000F. Un rouge rapporte 1500F, un jaune 500F et un vert ne rapporte rien. On désigne par X la variable aléatoire égale au gain algébrique (bénéfice) du joueur.
   a) Déterminer l’univers image de X
   b) Etablir la loi de probabilité de X
   c) Calculer l’espérance mathématique de X. Le jeu est-il équitable ? Sinon qui favorise t-il entre le joueur et l’organisateur ?
   d) Calculer la variance de X

Probleme

Le plan est muni d’un repère orthonormal (O,\vec{i},\vec{j});~unité : 2 cm
Soit f la fonction définie par:f(x)=x+\ln (\tfrac{x-1}{x})~et~U~la~fonction~ définie~sur~\R \ {0;1}~par~U(x)=\dfrac{x^2-x+1}{x(x-1)}

1. Etudier le signe de U sur ]-\infty;0[\cup]1;+\infty[

2) Montrer que l’ensemble de définition de f est ]-\infty;0[\cup]1;+\infty[

3) Calculer les limites de f aux bornes de D puis interpréter éventuellement les résultats
4.a) Calculer la dérivée de f
b) Etudier le sens de variation de f et dresser son tableau de variation.
5.a) Montrer que la droite (\Delta)~d’équation est asymptote à la courbe (C) de f.
b) Etudier la position de (C)par rapport à (\Delta).

6) Montrer que le point A de coordonnées (\tfrac{1}{2};\tfrac{1}{2})~

est centre de symétrie de (C).
7) Construire (C) en prenant f(-0,8)=f(1,3)=0

8) Soit g la fonction définie parg(x)=|x+\ln(x-1)-\ln x|~et~(C’)~représentation graphique dans le repère précédent.
a) Déterminer l’ensemble de définition de g.
b) Comment peut-on déduire (C’)de (C)? Construire (C’).

Devoir n°19 de Mathématiques

Exercice 1

Mr. SANFO décide de placer dans une banque de la place une somme de 200. 000FCA à un taux d’intérêt de 10\%~ annuel au premier janvier 2015, soit u_0 le montant au 1er janvier 2015,u_1 celui du 1er janvier 2015 + 1 et u_n~celui du 1er janvier 2015+sn.

1) Calculer u_1,u_2~et~u_3
2) Exprimer U_{n+1}~en~fonction~de~u_n~et~déduire~que~la~suite~(U_n)~est une suite géométrique en précisant sa raison et son 1er terme.
3) Exprimer u_nen fonction de n.
4) Calculer le montant total que Mr SANFO disposera au premier janvier 2020.
On donne (1,1)^5=1,61

Exercice 2

1) Résoudre dans[late] \R [/latex] les équations et inéquations suivantes :
(cap 33)
2) On considère le polynôme P définie par P(x)=x^3-4x^2-7x+10
a) Vérifier 1 est une racine de p(x)
b) Factoriser p(x)
c) Résoudre p(x) = 0 dans \R
En déduire les solutions de l’équation (\ln x)^3 – 4(\ln x)^2 – 7\ln x + 10 = 0

Exrcice 3

Partie A

1) Calculer les limites des fonctions suivantes :
a) \lim\limits_{\substack{x\rightarrow 7^+}}(x-7)
b) \lim\limits_{\substack{x\rightarrow 0^+}}(x+4+2\ln x)
2) Calculer les dérivés des fonctions suivantes après avoir donné leur ensemble de définition

a)~f(x)=\ln(-4x+5);~b)g(x)=\ln(\tfrac{x+1}{x-2})

Partie B

On considère la fonction défini par f(x)=x^3-1+\ln x

1) Déterminer l’ensemble de définition de f et calculer les limites en ses bornes.
2) Calculer la dérivée de la fonction f, étudier son signe et donner son sens de variation.
3) Dresser le tableau de variation de f.
4) Calculer f(1) et déterminer le signe de f(x).

Devoir n°20 de Mathématiques

Exercice 1

Pour attirer la clientèle, un supermarché de la place décide que tout client ayant fait des achats d’un certain montant aura droit à tirer simultanément trois tickets d’un panier. Ce panier contient 10 tickets dont cinq portent le chiffre 0, trois le nombre 1000 et deux le nombre 2000.
Le client reçoit ainsi en francs la somme des nombres inscrits sur les tickets qu’il aura tiré.
1) Déterminer le nombre total de tirages possibles.
2) Calculer la probabilité de chacun des événements suivants :
A : « le client gagne la somme de 0 F ».
B : « le client gagne la somme de 1000 F ».
C : « Le client gagne la somme de 3000 f ».
3) Soit X la variable aléatoire qui prend pour valeur la somme reçue par le client.
a) Déterminer l’ensemble des valeurs prises par X.
b) Déterminer la loi de probabilité de X.
c) Déterminer puis représenter graphiquement la fonction de répartition de X.

Exercice 2

On considère les suites U et V définies par : \begin{cases}U_0=\dfrac{3}{5} \\ U_n=\dfrac{U_{n-1}-3}{6}\end{cases}~et~V_n=3+5U_n

1)
a) Montrer que V est une suite géométrique ; On précisera la raison et le premier terme.
b) En déduire l’expression de V_n puis celle de Un en fonction de n.
2) Etudier la convergence de (U_n)
a) Calculer

S_n=V_0+V_1+…+V_n~et~S_n’=U_0+U_1+…+U_n

en fonction de n.

b) Calculer

\lim\limits_{\substack{x\rightarrow +\infty}}S_n

Problème

Soit f la fonction numérique définie par f(x)=x+\dfrac{1+\ln x}{x}~et~(C)~sa courbe représentative dans un repère orthonormal (O.\vec{i},\vec{j}). (Unité 2cm)

1) On considère la fonction g définie par g(x)=x^2 -\ln x

a) Déterminer l’ensemble de définition de g.
b) Calculer\lim\limits_{\substack{x\rightarrow 0}} g(x)~et~montrer~que~\lim\limits_{\substack{x\rightarrow +\infty}}g(x)=+\infty.
2)
a) Etudier le sens de variations de g puis dresser son tableau de variations.
b) En déduire le signe de g sur \real_{*}^+
3)
a) Déterminer l’ensemble de définition de f.
b) Calculer les limites de f en O et en +\infty
4) a) Calculer f’(x) et l’exprimer en fonction de g(x).
b) En déduire le sens de variations de f puis dresser son tableau de variations.
5)
a) Montrer que la droite (D) d’équation y =x est asymptote à (C)
b) Etudier la position de (C) par rapport à (D)
6) Déterminer le point A de (C) où la tangente (T) est parallèle à (D)
7) Construire (C) ainsi que (D) et (T).
On donne \ln (0,3)=-1,2;\dfrac{1}{e}=0,37; \ln 2=0,7

Devoir n°21 de Mathématiques

Exercice 1

Soit (U_n) n \in \N~la suite numérique défini par : pour tout n \in \N, U_n=e^{2n+1}
1) Montrer que (U_n) est une suite géométrique dont on précisera la raison.
2)a) Soit la somme S_n=U_0+U_1+….+U_n. Exprimer Sn en fonction de n.
b) Calculer la limite de S_n quand n tend vers +\infty.
3) Soit (V_n)n \in \N la suite définie par : pour tout n \in \N, V_n = \ln(U_n)
a) Exprimer la somme S_n’=V_0+V_1+…+V_n en fonction de n.
b) Exprimer le produit P_n = U_0 x U_1 x….x U_n en fonction de n.

Exercice 2

Une urne contient 5 boules : deux boules numérotées 1, deux boules numérotées 2 et une boule numérotée 3. on tire au hasard et simultanément deux boules de cette urne.
On appelle X la variable aléatoire égale à la somme des numéros portés par les deux boules.
1) Quelles sont les valeurs prises par X ?
2) Déterminer la loi de probabilité de X.
3) Calculer l’espérance mathématique E (X) et l’écart-type(X) de X.
4) Définir et représenter la fonction de répartition F de X.
N.B. : Les résultats seront donnés sous forme de fraction irréductible.

Probleme

Soit la fonction f définie sur \R ~par~:f(x)=\dfrac{x^3+5x^2+9x+5}{2x^2+2}

1) Démontrer qu’il existe des réels a, b, c tel que pour x \in \R~f(x)=ax+b+\dfrac{cx}{x^2+1}
2)a) Calculer \lim\limits_{\substack{x\rightarrow -\infty}}f(x)~et~\lim\limits_{\substack{x\rightarrow +\infty}}f(x).
b) Démontrer que la droite (d) d’équation y=\dfrac{1}{2}x+\dfrac{5}{2}~est asymptôte à la courbe (C) de f.
c) Etudier la position relative de (C) et (d)
3) Etudier les variations de f et dresser son tableau de variation.
4) a) Déterminer les coordonnées des points de (C) où la tangente est parallèle à la droite (d).
b) Déterminer une équation de ces tangentes.
c) Démonter que le point I(0;\dfrac{5}{2})~est centre de symétrie de (C).
5) Le plan est muni d’un repère orthonormal (o, i, j) d’unité 1 cm. Tracer les tangentes, la droite (d) et la courbe (C)..

Devoir n°22 de Mathématiques

Exercice 1

1. Développer, réduire et ordonner l’expression (2x + 1)(x – 8).
   En déduire la résolution dans \R~de~l’équation~2x^2-15x–8 =0
2. Résoudre dans \R les équations suivantes :
   a) (\ln x^2 + 1) (\ln x – 8) = 0
   b) \ln [ x (2x – 15) ] = 3 \ln2
   c) \ln x+ ln (2x – 15) = 3 \ln2
   3.a. Résoudre dans \R l’équation :2e^{2x}-15 e^x-8=0
   b. Résoudre dans \R \times \R ~le~ système: \begin{cases}x-y=1 \\ 2e^{2x}-15e^{y+1}=8 \end{cases}.

Exercice 2

Soit la suite (U_n) n \in \N définie par U_1 = 1 et pour tout entier naturel non nul n par 3U_{n+1}=U_n+9

1. Calculer U_2, U_3
2. Soit la suite (V_n) n \in \N~définie par V_n=U_n-\dfrac{9}{2} \forall n \in \N^*
   a) Montrer que (V_n) est une suite géométrique de raison \dfrac{1}{3}.
   b) Déterminer V_n ; puis Un en fonction de n.
   c) En déduire que la suite (U_n) est convergente et trouver sa limite.
   d) Calculer la somme S_n des n premiers termes de (V_n) et la somme S_n’ des n premiers termes de (U_n)

Probleme

Soit g la fonction numérique définie sur ]0;+\infty[~par~g(x)=1-x^3-2\ln x

1)a) Déterminer les limites de g aux bornes de son ensemble de définition.
b) Calculer g’(x), déterminer le sens de variation d g.
c) Calculer g(1), dresser le tableau de variation de g et en déduire que dans ]0;1[~on~a~g(x)\succ 0~et~dans~[1;+\infty[~on~a~g(x)\leq 0

On considère la fonction numérique f définie sur ]0;+\infty[
par f(x)=\dfrac{2\ln x}{x^2}-2x+3~ et (C) sa courbe représentative dans un repère (o,i,j) orthonormé (d’unité 4 cm).

a)Déterminer les limites de f aux bornes de son ensemble de définition. On admettra que \lim\limits_{\substack{x\rightarrow 0}}\dfrac{\ln x}{x^2}=-\infty
b) Calculer f’(x) montrer que pour tout x \in ]0;+\infty[;f'(x)=\dfrac{2g(x)}{x^3}
c) En déduire le signe de f ’(x), puis le sens de variation de f. Dresser le tableau de variation de f

3) Montrer que la droite (D) : y = -2 x + 3 est asymptote à (C). Etudier les positions relatives de (D) et de (C).
4) Tracer (D) et (C) dans le repère (O,\vec{i},\vec{j}) orthonormé unité 4 cm.

Devoir n°23 de Mathématiques

Exercice 1

Un sac contient 10 jetons indiscernables au toucher. Sur 5 des jetons est marqué le chiffre 1 ; sur 4 le chiffre 2 et sur le 10è jeton est marqué le chiffre 3. On tire successivement de ce sac et sans remise trois jetons de manière à former un nombre de 3 chiffres.

1. a) Calculer les probabilités d’avoir le nombre 123 ; 231 ; 111 ; 122. b) Calculer la probabilité d’avoir un nombre dont les chiffres sont deux à deux distincts.
   2. Soit X la variable aléatoire qui à chaque tirage associe la somme des chiffres obtenus.
      Donner la loi de X.

Exercice 2

1. Résoudre les équations et inéquations suivantes :a)1+\ln x=0;~b)\ln(x+1)-\ln(x+2)-\ln 2=0;~c)(e^x)^2+2e^x-3>0
2. Résoudre les systèmes suivants :
   d) \begin{cases}\ln xy=5 \\ 2 \ln x +\ln y=6\end{cases};~e)\begin{cases}\ln xy=0 \\ e^x \times e^y=e^2\end{cases}

Probleme

Soit f la fonction définie par

f(x) = x – 2\ln x ~et ~(C) sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O,\vec{i},\vec{j}) (unité 1 cm).

Déterminer le domaine de définition de f.
Calculer les limites aux bornes du domaine de définition de f.
Etudier le sens de variation de f.
Etablir le tableau de variation de f.
Ecrire une équation de la tangente au point x_0 = 1

. Construire la courbe (C). L’équation f(x) = 0 admet-elle des solutions ?

Devoir n°24 de Mathématiques

Exercice 1

1) Soit le polynôme p(x)=2x^3-x^2-8x+4
a) Vérifier que 2 est une solution de l’équation P(x) = 0
b) En déduire le polynôme du second degré Q(x) tel que pour tout réel x = P(x) = (x – 2) Q(x)
c) Achever la résolution dans R de l’équation P(x) = 0.
2) En déduire la résolution dans R de chacune des équations suivantes :
a) 2^{e3x}-e^{2x}-8e^x+4=0
b) 2[\ln(x-1)]^2-[\ln(x-1)]^2-8\ln(x-1)+4=0
c) e^{\ln(2x^{2}-x^2)}=\ln e^{8x-4}
3) Soit le système \begin{cases}x-2y=-2 \\ 2x+y=6\end{cases}
a) Résoudre ce système dans \R \times \R
b) En déduire la résolution des systèmes
(cap 34)

Exercice 2

Soit les suites U et V définies parU_0=\dfrac{5}{4}; U_{n+1}=\dfrac{1}{3}U_n-n-\dfrac{4}{3};V_n=U_n+\dfrac{3}{2}n-\dfrac{1}{4}.
1) Calculer V_0, V_1, V_2.
2) Montrer que V_n est géométrique. Préciser la raison et le premier terme.
3) Calculer S_n = V_0+V_1+V_2+…+V_n.
4) Soit t_n=\dfrac{-3}{2}n+\dfrac{1}{4}

a) Montrer que t_n est arithmétique, préciser le 1er terme et la raison.
b) Calculer en fonction de n la somme

T_n = t_0+t_1+t_2+…+t_n
5) Montrer que U_n=V_n+t_n

6) Soit S_n’=U_0+U_1+U_2+…+U_n
Montrer que S_n’= S_n + T_n~ et en déduire l’expression de S_n’ en fonction de n.

Exercice 3

Partie A
Le but de cette partie est de trouver une fonction dont la courbe représentative vérifie certaines conditions.

On considère la fonction numérique g définie sur \R~par~g(x)=e^{-2x}+ae^{-x}+b~ ou a et b sont des réels. On appelle (C) la courbe représentative de g dans le plan (P) muni d’un repère(O,i,j) (unité graphique 2 cm). Déterminer a et b pour que la courbe (C) passe par le point A de coordonnées (-ln2;1) et possède en ce point une tangente de coefficient directeur(-4).

partie B

On se propose d’étudier la fonction numérique f, définie par f(x)=(e^-x-1)^2
1) a) Comparer les fonctions f et g.
b) Déterminer la limite de f en -\infty ~et~en~ +\inftyet en déduire que la courbe (C) admet une asymptote (D) que l’on précisera.
c) Calculer les coordonnées du point B intersection de la courbe (C) et la droite (D).
2) Montrer que la fonction dérivée de f est définie sur \R ~par~ f'(x)= -2e^{-x}(e^{-x}-1) déterminer le sens de variation de f et dresser son tableau de variation.
3)a) Déterminer l’équation de la tangente (T) à (C) en B.
b) Construire la courbe (C).

Devoir n°25 de Mathématiques

Exercice 1

Soit f et g deux fonctions définie par f(x)=\dfrac{x^2+x-2}{x^2-1}~et~g(x)=\dfrac{-x^2+5x+2}{2(x+1)}

1. Déterminer les domaines de définition de f et g.
2. Calculer les limites de f et g aux bornes des domaines de définition de f et g.
3. a) Déterminer les réels a ; b et c tels queg(x)=ax+b+\dfrac{c}{2(x+1)}
   b) Montrer que la courbe de g admet une asymptote oblique en -\infty~et~en~+\infty

Exercice 2

Soit \dfrac{x^2-3x+2}{3x^2+2x+5}
1) Déterminer le domaine de définition de f puis calculer les limites de f aux bornes de ce domaine.
2) Trouver les asymptotes à la courbe (Cf) parallèle à l’axe des abscisses puis celles parallèles à l’axe des ordonnées.

Exercice 3

Soit \dfrac{x^2}{x+1}~et~g(x)=\dfrac{\sqrt{-2x+8}}{3x+9}
1.a) Déterminer a et b tels que f(x)=ax+b+\dfrac{1}{x+1}
b) Déterminer le domaine de définition de f.
c) Calculer les limites de f aux bornes de son domaine de définition.
d) Prouver que la courbe de f admet une asymptote oblique en -\infty~et~+\infty .
e) La courbe de f admet-elle des asymptotes horizontales et verticales ?

2. a) Déterminer le domaine de définition de g puis calculer si possible g(0);g(1) ; g(3).
   b) Calculer les limites de g en 3 par valeur négative puis par valeur positive.

Exercice 4

Soit f(x)=\dfrac{2x^2+5x-3}{(9-x^2)(2x-1)}
1) Factoriser 2x^2 + 5x – 3~et~ 9-x .
2) Donner le domaine de définition de f puis simplifier f(x) sur ce domaine.
3) Calculer alors les limites de f à ces bornes.

Devoir n°26 de Mathématiques

Exercice 1

Soit f une fonction numérique par :f(x)=1+x[2\ln (|x|+1)]

1. Déterminer D_f puis calculer les limites de f(x) aux bornes de D_f.
2. Calculer f'(x) sur D_f puis donner son signe
3. Dresser le tableau de variations de f sur D_f.

Exercice 2

Soit f une fonction par : f(x)=-x +\ln x~avec~x>0
On suppose que f est définie en 0 et que f(0) = 0

1. Etudier la dérivabilité de f en O.
2. Calculer f'(x) puis étudier son signe sur \R_+^*. Déduire les variations de f sur ]0;+\infty[
3. Calculer la limite de f(x) en +\infty puis dresser le tableau de variation de f sur ]0;+\infty[
4. Soit u(x)=-2x + 1 + x\ln x
   a) Calculer u’(x) puis donner son signe sur ]0;+\infty[
   b) Résoudre dans ]0;+\infty[;u(x) = x–1
   c) Calculer les limites de u(x) en 0 et en +\infty.
   Déduire le tableau de variations de U.

Exercice 3

Soit f et g deux fonctions numériques : f(x)=e^{3x}-e^x~et~g(x)=\dfrac{1}{2}\ln(1+e^{-x})

1. Résoudre dans \R~l’équation~3e^{2x}–1=0~ puis donner le signe de

3e^{2x}–1~ suivant ~x.

2.a) Calculer f'(x) puis donner son signe sur \R

Déduire les variations de f sur \R .
b) Calculer les limites de f(x) en -\infty~et~en~+\infty puis dresser le tableau de variations de f sur \R. a) Déterminer une équation de la tangente (T) à (Cf) au point A(0;0).
b) Soit h(x)=f(x)-2x.~Calculer ~h(0)
Montrer que h'(x)=(e^x-1)(2+3e^x+3^{e2x})
Etudier les variations de h.
4)a)Calculer g(0)
b) Résoudre dans \R ~g(x)=\dfrac{1}{2}~et~g(x)>0.

Devoir n°27 de Mathématiques

Exercice 1

Soit f une fonction définie par f(x)=ax+b+\dfrac{c}{x+1}~où a;b et c sont des réels. On note (C) la courbe de dans (o,i,j) orthonormé.
On donne le tableau de variations de f sur \R.

(cap 35)

1. Calculer f'(x) en fonction de a; b et c.
2. Déterminer alors a; b et c à l’aide du tableau de variations.
3. On suppose que f(x)=3x-1+\dfrac{3}{x+1}
   a) Montrer que (\Delta) : y = 3x – 1 est asymptote oblique à (C)
   b) Montrer que A(1;2) est centre de symétrie pour (C)
   c) Donner une autre asymptote à ( C ).
4. Tracer (\Delta)~et~(C)~dans~(O,\vec{i},\vec{j})

Exercice 2

1. Résoudre dans R les équations et inéquations :
   (cap 36)
2. Déduire la résolution des équations et inéquations.
   (cap 37)

Probleme

Soit f une fonction définie sur ]0;+\infty[~par~f(x)=x-\dfrac{\ln x}{x}~et (C) sa courbe dans (O,\vec{i},\vec{j}).

1. Soit g(x)=x^2-1+\ln x \forall x \in ]0;+\infty[
   a) Calculer g'(x) puis montrer que \forall x \in ]0;+\infty[;~g'(x)>0
   Déduire alors les variations de g sur ]0;+\infty[
   b) Calculer les limites de g(x) en O et en +\infty puis dresser le tableau de variations de g sur ]0;+\infty[
   c) Calculer g(1) puis à l’aide des variations de g montrer que :
   *\forall x \in [1;+\infty[;g(x) \geq 0
   *\forall x \in [0;+1];g(x) \leq 0

2.a) Calculer les limites de f en O et en +\infty.
b)Montrer que (\Delta)~: y = x est asymptote oblique à (C).
c) Calculer f ’(x) et montrer que f'(x)=\dfrac{g(x)}{x^2}
d) Déduire les variations de f à l’aide de :

1. c). On donnera le tableau de variation
   3.a) Prouver que

\forall x > 1;~\dfrac{-\ln x}{x}<0~

puis déduire la position relative de (C)~et~(\Delta)pour x > 1.

b) Donner une autre asymptote à (C).
c) Tracer (C) et les asymptotes.

Devoir n°28 de Mathématiques

Exercice 1

Soit P définie par P(x)=2x^3-x^2-5x-2
1) Calculer P(-1)
2) Factoriser P(x)
3) Résoudre dans R chacune des équations suivantes :
a) 2(\ln x)^3-(\ln x)^2-5\ln x-2=0
b) 2e^{2x}-e^x-5-2e^{-x}=0

Exercice 2

Soit la suite (U_n) définie par (U_{}n+1)^2=\dfrac{U_n}{e};U_1=e
1) Calculer U_2,U_3
2) Pour U_n>0~on~pose~V_n=1+\ln(U_n)
a) Montrer que (V_n) est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.
b) Exprimer V_n ~puis~ U_n en fonction de n et calculer \lim\limits_{\substack{x\rightarrow -\infty}}U_n

Exercice 3

On considère la fonction f définie par f(x)=x-1+e^{1-x}~et on note (C) sa courbe représentative dans un repère orthonormal d’unité 1 cm.

1) Calculer la limite de f à +\infty
x \rightarrow -\inftyOn admettra que \lim\limits_{\substack{x\rightarrow -\infty}}f(x)=+\infty

2) Montrer que la droite D d’équation y = x – 1 est asymptote à la courbe (C)~ à~ +\infty. Préciser la position relative de (C) et (D).

3.a) Déterminer le sens de variation de f ;
b) Dresser le tableau de variation de f.
c) Déterminer la tangente à la courbe (C) au point d’abscisse O.

4. Construire l’asymptote (D) et la courbe (C).
5. Soit g la fonction définie par g(x) =-f(x)~et~(C_1) sa courbe représentative.
   a) Comparer (C_1)~et~(C)
   b) Tracer la courbe (C_1) dans le même repère que (C).

6) Soit h la fonction définie par h(x)=|x|-1+e^{1-|x|}~et~C_2
a) Etudier la parité de h.
b) Comparer h et f pour x \geq 0
c) En déduire le tracé de (C_2) dans le repère précédent.

Devoir n°29 de Mathématiques

Exercice 1
Etudier le signe de f(x) sur l’intervalle K et dresser le tableau de variation.
(cap 38)

Exercice 2

On considère la fonction f définie par f(x)=\dfrac{x^2-3x}{x+1}
On désigne par (C) sa courbe représentative dans le plan rapporté à un repère orthonormal (O,i,j)
1) Calculer les limites de f aux bornes de son ensemble de définition.
2) Montrer que la droite (D) d’équation y = x – 4 est asymptote à (C)
3) a. Calculer f’(x)
b. Etudier les variations de f et dresser son tableau de variation.
c. Déterminer une équation de la tangente (T) au point d’abscisse O et au point d’abscisse 3.

Exercice 3

Soit g la fonction définie par g(x)=\dfrac{1+x-x^2}{3-x}
1) Déterminer le domaine de définition de g.
2) Etudier le comportement de g aux bornes de D_g
3) On pose g(x)=ax+b+\dfrac{c}{3-x},a,b,c \in \R
a) Trouver les 3 réels a, b, c.
b) Montrer que la courbe représentative de g admet une asymptote oblique en +\infty~et~en~ -\infty .

Exercice 4

Déterminer les réels a et b pour que la courbe représentative de f définie par
f(x) = ax^2+bx–1 passe par le point A(1,4) et admet un extremum en ce point.

Devoir n°30 de Mathématiques

Exercice 1

(U_n)~et~(V_n) sont deux suites numériques définies respectivement par :\begin{cases}U_0=-2 \\ 4U_n=U_{n-1}+24\end{cases}\forall n \in \N^*
Et pour tout n \in \N,~V_n=U_n-8
1) Calculer U_1, U_2~et~U_3
2) Montrer que (V_n) est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.
3) Exprimer V_n~puis~U_n[/latex] en fonction de n.
4) Soit S_n = V_0+V_1+V_2+…+ V_n-1~et~Sn’ = U_0+U_1+U_2+…+U_n-1
Exprimer S_n~et~S_n’ en fonction de n.
La suite S_n’ est-elle convergente ?

Exercice 2

Une voiture achetée à 5.000.000 de francs en 1980 perd chaque année 20\% de sa valeur. On désigne par (U_n) la valeur de cette voiture en 1980 + n.
1) Exprimer Un+1 en fonction de Un. En déduire que (U_n) est une suite géométrique dont on précisera la raison.
2) Ecrire Un en fonction de n.
3) Combien cette voiture valait-elle en 1990, 1993, 1995.
On donne.
(cap 39)

Exercice 3

Le plan est muni d’un repère orthogonal d’unité graphique 1 cm sur chaque axe. On désigne par f la fonction numérique de la variable réelle x définie sur D_f~par~f(x)=\dfrac{x^2-5x+15}{x-2}~et (C) sa représentation graphique.
1)a. Vérifier que pour tout x de D_f~f(x)=x-3+\dfrac{9}{x-2}
b. En déduire que la droite (D) d’équation y=x–3 est asymptote à (C).
c. Précisez la position relative de (C) et (D).
2) Déterminer les limites de f(x) aux bornes de son domaine de définition.
3) Démontrer que le point A(2-1) est centre de symétrie.

4)a) Vérifier que f'(x)=\dfrac{(x’-5)(x+1)}{(x-2)^2}
b) Dresser le tableau de variation et construire C.
c) Donner une équation de la tangente au point d’abscisse 1.
5) Résoudre graphiquement \dfrac{x^2-5x+15}{x-2}

SUJETS DE BAC

BAC 2011

Exercice 1

En 1994, Monsieur Kouao avait une production de cacao égale à celle de Monsieur Yapi. Sa production augmente de 10\% tous les ans.
1.a. Quelle a été la production de Monsieur Kouao en 1995 ?
b. Quelle sera sa production en l’an 2003 ?

2. En 1995, Monsieur Yapi produisait plus que Monsieur Kouao. En l’an 2003, Monsieur Kouao produira plus que Monsieur Yapi.
   A partir de quelle année la production de Monsieur Kouao a -t-elle dépassé celle de Monsieur Yapi ?
   On donne les arrondis suivants de 1,1^n pour n appartenant à {3,4,5,6,7,8,9,10}:
   (cap 40)

Exercice 2

Une urne contient trois boules vertes portant le numéro 0 ;deux boules rouges portant le numéro 5 et une boule noire portant le numéro a (a est un entier naturel non nul, différent de 5 et de 10).
Toutes les boules sont indiscernables au toucher.
Un joueur tire simultanément trois boules de l’urne.
1)Quelle est la probabilité pour qu’il tire :
a)trois boules de la même couleur ?
b)trois boules de couleurs différentes ?
c)deux boules et deux seulement de la même couleur ?
2)Le joueur reçoit, en francs CFA, la somme des numéros marqués sur les boules tirées. Les gains possibles du joueur sont donc : 0; 5; 10; 10+a
a)Soit X la variable aléatoire égale au gain du joueur, déterminer la loi de probabilité de X.
b)Calculer l’espérance mathématique de X en fonction de a.
c) Calculer a pour que l’espérance de gain du joueur soit de 20 francs.

Probleme

Soit f la fonction numérique de la variable réelle x définie par:f(x)=\dfrac{1}{x}+\dfrac{\ln x}{x}
On note (C ) la courbe représentative de f dans un plan rapporté à un repère orthonormé (O.\vec{i},\vec{j})
1)a. Quel est l’ensemble de définition D de f ?
b-Vérifier que pour tout x de D; f(x)=\dfrac{1}{x}(1+\ln x)~puis~en~déduire~\lim\limits_{\substack{x\rightarrow 0^+}}f(x)
c-En admettant que : \lim\limits_{\substack{x\rightarrow +\infty}}\dfrac{\ln x}{x}=0,préciser~\lim\limits_{\substack{x\rightarrow +\infty}}f(x)
d-En déduire les asymptotes à (C)
2) a-Calculer f’(x) et étudier son signe.
b-Dresser le tableau de variation de f
3) a-Déterminer l’abscisse du point A, intersection de (C) avec l’axe des abscisses
b-Ecrire l’équation de la tangente (T) à (C) en A.
4)Tracer (C) et (T).

BAC 2012

Exercice 1

Dans le cadre de la préparation physique générale (p.p.g) les professeurs d’EPS d’un lycée de la place ont organisé une course d’endurance.
Les résultats de cette course sont consignés dans le tableau ci-dessous.
(cap 41)
1)a) Déterminer la population, les individus et le caractère de cette série statistique.
b) Calculer l’effectif total de la population
c) Combien d’élèves ont mis moins de 12 minutes pour parcourir la distance ?
2) Construire l’histogramme de cette série statistique.
(Echelle : 1cm; 4 élèves; 1 cm 2 minutes)
2) Donner dans un tableau, les centres des classes, les effectifs et les fréquences exprimées en pourcentages (2 décimales après la virgule).

Exercice 2

Au 31 octobre 2011, la chine comptait 1 300 000 000 d’habitants et l’Afrique 1 000 000 000 d’habitants. Selon les statistiques. La population chinoise évolue à un rythme de 0,5\% par an tandis que celle de l’Afrique évolue à un rythme de 0,4\% par an. Dans cet exercice, on suppose que les croissances des deux populations restent constantes.
1)Quelles seront les populations chinoises et africaines au 31 octobres 2012 ?
2)Pour tout entier naturel n; on désigne par C_n la population chinoise au 31 octobre de l’année (2011 + n) et par a_n la population de l’Afrique à la même date.
a)Exprimer C_{n+1}~en~fonction~de~C_n~et~a_{n+1} en fonction de a_n et en déduire la nature des suites (C_n)~et~(a_n).On précisera leurs raisons et leurs premiers termes respectifs.
b)Exprimer (C_n)~et~(a_n) en fonction de n.
3)En quelle année, l’Afrique comptera-t-elle 2 milliards d’habitants ?
On donne \ln 2=0,69; \ln(1,004)=0,004

Probleme

On considère la fonction numérique f de la variable réelle x définie par :f(x)=\dfrac{1}{2}(x+1)+\dfrac{1}{2(x-1)}

On désigne par (C) la courbe représentative de f dans le plan muni d’un repère orthonormal (O.\vec{i},\vec{j})~ d’unité graphique 2cm.
1)a)Déterminer l’ensemble de définition D_f~de~f.
b)Calculer les limites de f aux bornes de D_f
2)a)Montrer que pour tout x de D_f;f'(x)\dfrac{x(x-2)}{(x-1)^2}
b)Etudier le sens de variation de f et dresser son tableau de variation.
3)a)Montrer que la droite (\Delta)~d’équation~y=\dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{2}
est asymptote oblique à la courbe (C).Préciser l’équation de l’autre asymptote.
b)Etudier la position relative de (C) par rapport à (\Delta)
4)Construire la courbe (C) et ses asymptote.
5)Montrer que le point I(1;1) est un centre de symétrie pour la courbe (C).
6)Soit m un nombre réel. Déterminer graphiquement selon les valeurs de m, le nombre de solutions de l’équation f(x)=m.

BAC 2013

Exercice 1

Une étude du nombre d’habitants (en milliers) par secteur, sur 30 secteurs d’une ville, a donné les résultats suivants :
54 ;44 ;42 ;55 ;43 ;45 ;58 ;43 ;46 ;55 ;48 ;48 ;
47 ;58 ;50 ;51 ;52 ;58 ;49 ;41 ;60 ;50 ;57 ;45 ;52 ;53 ;56 ;59 ;56 ;56
Déterminer la population, les individus et les caractères de cette série statistique.
Grouper les valeurs du caractère en classes d’amplitudes 5 ; la première classe étant[40;45[. Déterminer la classe modale.
Construire l’histogramme des effectifs.
Donner, dans un tableau, les centres des classes, les effectifs et les fréquences exprimées en pourcentages (2chiffres après la virgule)
Calculer le nombre moyen d’habitants (en milliers) par secteur en utilisant les centres des classes. (On donnera le résultat sous forme de nombre entier le plus proche).

Exercice 2

Fumeur, Tinga décide d’arrêter de fumer le 31 Décembre 2000, jour anniversaire de ses 25 ans. Il décide de placer dès le premier janvier 2001, la somme de 108 000 F qu’il devait consacrer à la cigarette durant l’année 2001.
Le capital est placé au taux d’intérêts composés de 8\% l’an.
1) On désigne par u_n la somme disponible dans son compte le 1er janvier de l’année (2000+n).
a) Calculer u_1;~ u_2;~ u_3.
b) Montrer que la suite (U_n) est géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.
c) Exprimer U_n en fonction de n.
2) De quelle somme disposera-t-il le 1er janvier 2010 ? (arrondir à l’unité la plus proche).
3) Il va à la retraite le jour anniversaire de ses 55 ans, soit le 1er janvier 2030. Quelle somme va-t-il retirer de son compte le jour du départ à la retraire ? (arrondir à l’unité la plus proche).
NB : On donne : (\tfrac{27}{25})^9\approx 2; (\tfrac{27}{25})^{29}\approx 9,32

Exercice 3

Soit la fonction f, définir sur \R par f(x)=e^{-x^{4+2x^2}}-1
On désigne par (C) la courbe représentative de f dans le plan rapport à un repère orthonormé (O,I,J) (unité 2cm).
2)a)Etudier la parité def.
b) Quelle conséquence graphique pour (C) peut-on déduire de la question a) ?
2) On donne \lim\limits_{\substack{x\rightarrow +\infty}}f(x)=-1~Interpréter géométriquement ce résultat.
3) Montrer que la fonction f’ dérivée de la fonction f est définie sur \R~par~:f'(x)=4x(1+x)(1-x)e^{-x^{4}+2x^2}
En déduire les variations de f sur [0;+\infty[ et dresser le tableau de variation de f sur [0;+\infty[
4) Résoudre dans \R l’équation f(x)=0 et calculer f(\sqrt3).
5) Soit A le point de (C) d’abscisse \sqrt2. Donner une équation de la tangente (T) en A à (C).
6) Représenter la courbe (C) en entier, ainsi que A et (T).
NB : On donne :e=2,7;e^{-3}=0,05;~\sqrt2=1,4;\sqrt3=1,7

BAC 2014

Exercice 1

Une urne contient 3 boules blanches, 5 boules rouges et 4 boules vertes, toutes indiscernables au toucher
On tire simultanément et au hasard 3 boules de l’urne.
1- a) Déterminer le nombre de tirages possibles.
b) Calculer la probabilité des évènements suivants :
A : «on tire 3 boules de couleurs différentes»;
B : «on tire 3 boules de même couleur».
2- On définit la variable aléatoire X qui, à chaque tirage associe le nombre de boules blanches tirées.
a) Quelles sont les valeurs prises par X
b) Déterminer la loi de probabilité de X
c) Calculer l’espérance mathématique E(X) de X.

Exercice 2

1-a) Développer, réduire puis ordonner suivant les puissances décroissantes de x, le polynôme.

P(x)=2(x-\dfrac{1}{2})(x+3)

b) en déduire les solutions de l’équation

2x^2+5x-3=0[latex] 2) Soit l’équation [latex]2e^x+5-3e^{-x}(1)

a) Montrer que l’équation (1) est équivalente à l’équation 2e^{2x}+5e^x-3=0(2)
b) Résoudre dans \Psi l’équation (2).
c) Résoudre dans \Psi~l'équation~2(\ln x)^2+5(\ln x)-3=0

Exercice 3

On considère la fonction f définit sur [1;+\infty[~par~f(x)=2x \ln x-4x
On note (C_f) la courbe représentative dans un repère orthonormal (O,\vec{i},\vec{j})
(Unité graphique : 1 cm)
1) Calculer

\lim\limits_{\substack{x\rightarrow +\infty}}f(x).
On pourra mettre x en facteur dans l’expression de f(x)
2) a) Calculer f'(x) et étudier son signe.
b) Déterminer le sens de variations de f
c) Dresser le tableau de variations de f
3) Déterminer les coordonnées du point d’intersection A de C_f [

avec l’axe des abscisses.
4) Déterminons une équation de la tangente (T)~ à~(Cf) en A.
5) Tracer (T)~et~(C_f) dans le repère (O.\vec{i},\vec{j})
On donne e=2,7

BAC 2015

Exercice 1

On considère les suites (u_n)~et~(v_n) définie par:\begin{cases}u_0=\dfrac{3}{5} \\ u_{n+1}=\dfrac{u_n-3}{6}\end{cases}~et~v_n=3+5u_n;~\forall n \in \N.
1)a. Montrer que (v_n) est une suite géométrique ;
on précisera sa raison et son premier terme.
b- En déduire l’expression de

𝑣_𝑛

puis celle de

𝑢_𝑛

en fonction de 𝑛.
2) Etudier la convergence de (u_n)~et~de~(𝑣_<em>𝑛) 3)a. Calculer

: 𝑆_𝑛= 𝑣0+𝑣_1+⋯+𝑣_𝑛

.

𝑆_𝑛′ = 𝑢_0+𝑢_1+⋯+ 𝑢_𝑛

en fonction de 𝑛.
b- Calculer \lim\limits_{\substack{x\rightarrow +\infty}}S_n

Exercice 2

Les malades du sida d’une localité sont répartis par âge selon le tableau ci-dessous.
(cap 42)

1)a- Quelle est la population étudiée ?
b- Quel est l’effectif total de cette population ?
c- Quelle est la classe modale ?
d- Le caractère étudié est-il quantitatif ou qualitatif ?
2) Calculer la fréquence de la classe [20;30[.
3) a- Quel est le pourcentage des malades de moins de 30 ans ?
b- Donner dans un tableau, les centres et les fréquences des classes exprimées en pourcentage.
c- Calculer la moyenne de cette série statistique.
4) Construire l’histogramme des effectifs de cette série. (1cm pour 10 ans ; 1cm pour 10 malades).

Probleme

On considère la fonction numérique f définie sur \R~par~f(x)=e^{-x}-e^{-2x}.
On note (C) sa courbe représentative dans le plan muni d’un repère orthogonal (O,\vec{i},\vec{j}) (unité graphique : 2cm).

1) a- Montrer que pour tout x de \R~f(x)=e^{-x}(1-e^{-x})
b) En déduire la limite de f en -\infty.
2) a- Calculer la limite de f~en~+\infty.
b- En déduire que l’axe des abscisses est une asymptote à(C).
3) a- Etudier le signe de -1+2e^(-x)~sur~ \R.
b- Calculer f'(x),f' étant la fonction dérivée de f.
c- Etudier le sens de variation de f et dresser son tableau de variation.
4) a- La courbe (C) rencontre l’axe des abscisses en
un point A. Déterminer les coordonnées de A.
b- Déterminer une équation de la tangente (T) à (C) en O, origine du repère.
5) Construire la tangente (T) et la courbe (C).
On donne : e\backsimeq 2,7;~e^{-1}\backsimeq 0,37; e^{-2} \backsimeq 0,14; ~\ln2 \backsimeq 0,7

BAC 2016

Exercice 1

Soit la suite v définie par v_0=-\dfrac{1}{2}~et~\forall n \in \N;v_{n+1}=\ln (3e^{v_n})
1) Démontrer que v est une suite arithmétique et préciser la raison.
2) (L_n)~est la suite définie par : L_n=v_0+v_1+…+v_n
Exprimer L_n~ en fonction de n.

Exercice 2

Une urne contient 3 boules jaunes, cinq boules rouges et deux boules vertes.
A)On tire simultané
ment trois boules de l’urne.

1. Quelle est la probabilité d’avoir un tirage unicolore ?
2. Quelle est la probabilité d’avoir exactement deux boules de même couleur ?
   A. On tire successivement sans remise trois boules.
3. Quelle est la probabilité d’avoir des boules rouges uniquement ?
4. Quelle est la probabilité de ne pas avoir une boule verte au deuxième tirage ?

Probleme

Soit f la fonction dérivable sur \R et définie parf(x)=(x-\dfrac{1}{2})e^{2x}+\dfrac{1}{2}. On note (C) sa courbe représentative dans le plan muni d’un repère (O,I,J) unité graphique : 2cm.
1) Démontrer que la droite (D) d’équation y=\dfrac{1}{2}~ est asymptote à (C) en -\infty.
2) Calculer les limites de f(x) et de \dfrac{f(x)}{x} lorsque x tend vers +\infty. Interpréter graphiquement les résultats
3) Pour tout nombre réel x, calculer f'(x)
4) Etudier les variations de f, puis dresser son tableau de variation.
5) Etudier la position de (C) par rapport à (D).
6) Construire (C) et (D).

BAC 2017

Exercice 1

Trois options sont offertes aux élèves d’une classe : espagnol, latin, musique.
Chaque élève choisit une ou deux options. Le schéma ci-dessous indique le nombre d’élèves pour chaque combinaison d’options possible.
(cap 43)

On choisit un élève au hasard dans cette classe.
Déterminer la probabilité des évènements suivants :

1. L’élève étudie l’espagnol,
2. L’élève étudie uniquement l’espagnol,
3. L’élève étudie l’espagnol et le latin
4. L’élève étudie l’espagnol ou le latin
5. L’élève étudie unique une des deux langues : espagnol ou latin (il peut éventuellement faire aussi de la musique),
6. L’élève étudie une seule des trois options.

Exercice 2

Soit la suite numérique u est définie par : \forall n \in \N;U_n=3\dfrac{(-2)^{n-1}}{5^n}
1) Montrer que u est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.
2) u est-elle convergente ? si oui ; déterminer sa limite.

Probleme

On considère la fonction f définie sur \R~par~f(x)=\dfrac{x}{e^x-x}.
On note (C) sa courbe représentative dans le plan rapporté au repère orthogonal (O,\vec{i},\vec{j})l’unité graphique est 2 cm sur l’axe des abscisses et 5 cm sur l’axe des ordonnées.

Partie A

Soit g la fonction définie sur \R ~par~g(x)=e^x-x-1
1) Etudier les variations de la fonction g . En déduire le signe de g.
2) Justifier que pour tout x,e^x-x>0.

Partie B

1.a) Calculer les limites de la fonction f en +\infty~et~-\infty
b. Interpréter graphiquement les résultats obtenus.

2. a. Calculer , f’ désignant la fonction dérivée de f.
   b. Etudier le sens de variation de f puis dresser son tableau de variation.
3. a. Déterminer une équation de la tangente (T) à la courbe (C) au point d’abscisse 0.
   b. A l’aide de la partie A, étudier la position de la courbe (C) par rapport à la droite (T).
4. Tracer la droite (T), les asymptotes et la courbe (C).

BAC 2018

Exercice 1

1)Un dé A, bien équilibré possède :
• Une face numéroté 1;
• Deux face numérotées 2;
• Une face numéroté 4;
• Une face numéroté 5;
• Une face numéroté 6;
a. On lance une fois le dé A et on lit le numéro inscrit sur la face supérieur.
Quelle est la probabilité d’obtenir le numéro 2?
On lance 3 fois de suite le dé et on note de la gauche vers la droite les chiffres obtenus successivement. On obtient ainsi un nombre de trois chiffres.
Quelle est la probabilité d’obtenir le nombre 421 ?
2)Un autre dé B, bien équilibré possède :
Une face numéroté 1 ;
Deux face numérotées 2 ;
Deux face numérotées 4 ;
Une face numéroté 6 ;
On lance 3 fois de suite le dé A comme à la question 1.b
Vérifier que la probabilité d’obtenir le nombre 421 est égale à \dfrac{1}{54}.
3)Une urne contient 4 dés identiques au dé A et 6 dés identiques au dé B.
Chahed tire au hasard un dé de l’urne et le lance 3 fois de pour obtenir un nombre à 3 chiffres comme décrit précédemment.

Exercice 2

Soient f et g les fonctions définies de ]0;+\infty[~dans~\R~par:f(x)=2x+\dfrac{1}{2}.\dfrac{e^x+1}{e^x-1}~et~g(x)=2e^{2x}-5e^x+2
a. Démontrer que f(x)=2x+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{e^x-1}=2x-\dfrac{1}{2}+\dfrac{e^x}{e^x-1}
b. Factoriser g(x).
c. Déterminer le signe de la dérivée de f.

Probleme

Soit f la fonction numérique définie sur

\R~par:~f(x)=\ln(e^{2x}-e^x+1)
le symbole ln désignant le logarithme népérien.

Montrer que e^{2x}-e^x+1~

est strictement positif pour tout réel x. Étudier les variations de la fonction f.
Soit (C) la courbe représentative, dans un repère orthonormé, de la fonction f. Préciser les limites de f en +\infty ~et~ −\infty Vérifier que f(x)-2x=\ln(1-e^{-x}+e^{2x})et montrer que f(x) − 2x tend vers une limite lorsque x tend vers +\infty. En déduire l’asymptote correspondante de (C). Construire la courbe (C) (on précisera la tangente au point de (C) d'ordonnée nulle). Déterminer, en utilisant la courbe (C), le nombre de solutions réelles de l'équation d'inconnue x :
e^{2x}-e^x+1=\dfrac{7}{8}
a. par le calcul,
b. en utilisant la courbe (C).

BAC 2019

Exercice 1

On considère les suites numériques (u_n)~et~(v_n)~définies~par : u_0=\dfrac{1}{3}; \forall n \in \N;~u_{n+1}=\dfrac{3}{2}(u_n)^2~et~v_n=\ln (\dfrac{3}{2}u_n)
1) Calculer [;latex]v_0[/latex]
2) Démontrer que v est une suite géométrique de raison 2.
3) Exprimer v_n en fonction de n.
4) Calculer la limite de v.
5) Exprimer u_n en fonction de v_n~et en déduire la limite de u.
6)On pose : \forall n \in \N; S_n=v_0+v_1+…+v_n~et~t_n=u_0 \times u_1 \times …\times u_n
a) Démontrer que \forall n \in \N;~ S_n=(1-2^{n+1}) \ln 2
b) Justifier que: \forall n \in \N;~t_n=(\dfrac{2}{3})^{n+1}e^{s_n}
c) Exprimer t_n en fonction de n.

Exercice 2

Kakou et Annah ont été présélectionnés pour participer aux Olympiades de Mathématiques. Il reste à choisir ,parmi ces deux finalistes, celui qui représentera l’établissement.
Au cours de l’année, Kakou a obtenu en Mathématiques les notes suivantes :
16 ; 8 ; 16 ; 8 ; 19 ; 5 ;16 ; 8 ; 8 ; 16
Les notes d’Annah sont données par le diagramme ci-dessous :
(cap 44)
1)Pour chaque candidat,présenter,sous forme de tableau, la série statistique obtenue en classant les notes par ordre croissant et en indiquant, pour chaque note, l’effectif.
2)Calculer pour chaque série, la moyenne et l’écart-type.
3)Lequel de ces deux candidats auriez-vous choisi ?Pourquoi ?

Probleme

On considère le plan rapporté à un repère orthonormé (O,I,J). Soit la fonction f définie parf(x)=\dfrac{e^x}{e-e^x}
On note (C) la courbe représentative de f dans le repère (O,I,J)
1) Déterminer l’ensemble de définition de f.
2) Montrer que pour tout réel

x \in D_f,~on~a~f(x)=1+\dfrac{e^x}{e-e^x}
3) Etudier les variations (tableau de variation, sens de variation, limites) de f
4) Tracer la courbe (C) dans le repère (O,\vec{i},\vec{j}).
5)Soit g la fonction définie par g(x)=\dfrac{e^x+1}{1-e^x}

a)Monter que g est impaire.
b) Soit A(1;\dfrac{-1}{2}).
Montrer que (C) admet A pour centre de symétrie.
On donne e=2,7

BAC 2020

Exercice 1

Soit une suite (U_n)~définie par:U_1=2~et~pour~tout~entier~n \geq 1;2n U{n+1}=(n+1)U_n
1)Calculer U_2 ; U_3
2)On définit la suite (V_n) pour tout entier n non nul par V_n=\dfrac{U_n}{n}
a) Calculer V_1 ; V_2 ; V_3
b) Montrer que (V_n) est une suite géométrique dont on précisera la raison.
c) Ecrire l’expression de (V_n) et de U_n en fonction de n.
Etudier le sens de variation et la convergence des suites V_n~et~ U_n

Exercice 2

Le professeur WANDAOGO a noté la moyenne en Mathématiques de dix (10 ) élèves d’une classe de terminale A :
(cap 45)

1. Donne une moyenne médiane de cette série.
2. Calcule la moyenne moyenne de cette série.
   Calcule l’étendue de cette série

Probleme

Soit f une fonction numérique définie par f(x)=\dfrac{-2x^2+8}{x^2+4}~et (C) sa courbe représentative dans le repère (O;i;j)
1)Déterminer l’ensemble de définition de f
2)Etudier la parité de f. Quelle est la conséquence géométrique pour (C) ?
3)Déterminer les réels a et b tels que pour tout réel x f(x)=a+\dfrac{b}{x^2+4}
4)Etudier les variations de f.
5)Déterminer les coordonnées des points d’intersection de (C) avec les axes de coordonnées.
6)Donner une équation de la tangente (T) à (C) au point d’abscisse 2.

CORRIGES DES SUJETS DU BAC

Bac 2011

Exercice 1

1)a. La production de M. Kouao a été de : 2,8+\dfrac{2,8 \times 10}{100}=3,08
La Production de M. Kouao en 1995 était de 3,08 tonnes.

b. Si on note V_0 la production de cacao de M. Kouao en 1994 et V_n sa production après n années on a :
V_1=V_0+\dfrac{10 \times V_0}{100}=1,1V_0
De même on généralise en écrivant :
V_{n+1}=V_n+\dfrac{10\times v_n}{100}=1,1V_n
La suite (V_n)n \in \zeta~est une suite géométrique de raison 1,1.
On a la relation V_n=(1,1)^nV_0=2,8(1,1)^n
V_9~ correspond à la production de 2003.
V_9=2,8(1,1)^9
V_9=6,7
En 2003 M. Kouao a une production d’environ 6,7 tonnes

2. On doit chercher le plus petit entier n pour lequel V_n>U_n
   Pour n = 3 (en 1997)
   V_3=(1,1)^3 \times 2,8=3,64~or~U_3=3,7
   Pour n=4 (en 1998)
   V_4=(1,1)^4 \times 2,8=1,5 \times 2,8=4,2;~ U_4=U_3+0,3=4
   C’est à partir de 1998 que la production de M. Kouao dépassera celle de M. Yapi.

Exercice 2

Epreuve : tirage simultané de 3 boules dans une urne contenant 6 boules. Les boules étant indiscernables au toucher, nous sommes dans l’hypothèse d’équiprobabilité.
On a card~\varOmega=C_6^3=20
1)a-Soit A l’évènement : «les 3 boules tirées sont de la même couleur».A se traduit par : «les trois boules sont vertes» donc p(A)=\dfrac{C_3^3}{20}=\dfrac{1}{20}
b)Soit B l’évènement : «les trois boules sont de couleurs différentes».B se traduit par : «1 boule verte et 1 boule rouge et 1 boule noire» donc p(B)=\dfrac{C_3^1 \times C_2^1 \times C_1^1}{20}=\dfrac{3}{10}
c)Soit C l’évènement : «deux boule et deux seulement sont de même couleur».C s’écrit \overline{A\cup B}
p(C)=1-p(A \cup B)~avec A et B incompatibles, donc p(C)=1-(p(A)+p(B))=\dfrac{13}{20}
2)a. X(\varOmega)=0;5;10;a;5+a;10+a~(avec a un entier naturel non nul différent de 5 et de 10).
P(X=0)=p(A)=\dfrac{1}{20}
P(X=5)=p(2~vertes~1~rouge)=\dfrac{C_3^2 \times C_2^1}{20}=\dfrac{3}{10}
P(X=10)=p(1~verte~et~2~rouges)=\dfrac{C_3^1 \times C_2^2}{20}=\dfrac{3}{20}
P(X=a)=p(2~vertes~et~1~noire)=\dfrac{C_3^2 \times C_1^1}{20}=\dfrac{3}{20}
P(X=5+a)=p(B)=\dfrac{3}{10}
P(X=10+a)=p(2~rouges~et~1~noire)=\dfrac{C_2^2 \times C_2^1}{20}=\dfrac{1}{20}
D’où la loi de X
(cap 111)
On trouve a= 30.

Probleme

Soit f(x)=\dfrac{1}{x}+\dfrac{\ln x}{x}
1)a- Ensemble de définition D de f.
f(x) existe si et seulement si x \not= 0~et~x>0
D_v=]-\infty;0[\cup]0;+\infty[\cap]0;+\infty[=]0;+\infty
b- vérificaion
f(x)=\dfrac{1}{x}+\dfrac{\ln x}{x}=\dfrac{1}{x}\times 1+\dfrac{1}{x}\times \ln x=\dfrac{1}{x}(1+\ln x)
Donc pour tout x \in D,f(x)=\dfrac{1}{x}(1+\ln x)
(cap 117)
d- les asymptotes à (C)
\lim\limits_{\substack{x\rightarrow 0^+}}f(x)=-\infty~et~\lim\limits_{\substack{x\rightarrow +\infty}}f(x)=0~donc les droites d’équation x=0 et y=0 sont respectivement asymptotes verticale et horizontale à (C).
2)a- Calcul de f'(x) et étude de signe.
Pour tout x \in D_f;~f~est~dérivable~et~f'(x)=-\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1-\ln x}{x^2}=-\dfrac{\ln x}{x^2}[/latex]
f'(x)=\geq 0 \Harr -\dfrac{\ln x}{x^2} \geq 0~or~\forall x \in \Psi;~x^2 \geq 00 donc le signe de f'(x) est celui de -\ln x
-\ln x \geq 0 \Harr \ln x\leq 0;
x \leq 1
Ainsi pour x \in ]0;1];~f'(x)\leq 0 donc f est décroissante sur ]0;1].
b- Tableau de variations
(cap 118)
3)a- Abscisse du point A
Soit A(x;y)
En ce point y=0 donc A(x;0)
On résout f(x)=0 pour trouver l’abscisse x.
f(x)=0 \Harr \dfrac{1}{x}(1+\ln x)=0
\dfrac{1}{x}=0~ou~(1+\ln x)=0~or~\forall x \in ]0;+\infty[;\dfrac{1}{x} \not=0
On résout donc (1+\ln x)=0 \Harr \ln x=-1
\ln x= \ln e^{-1}
x=e^{-1}=\dfrac{1}{e}
D’oùA(\tfrac{1}{e};0)
b- Equation de la tangente (T).
(cap 119)

1) Construction de (C) et (T).
(cap 120).

BAC 2012

Exercice 1

1)a) La population : l’ensemble des coureurs (élèves) d’un lycée
Les individus sont les coureurs (élèves).
Le caractère est le temps de parcours en minutes de chaque coureur (élèves)
b) Calculons l’effectif total E_T
E_T=16+28+32+30+14=120
E_T=120
c) La classe modale est [10;12[
d)76 élèves ont mis moins de 12 minutes pour parcourir la distance.
2)Construction de l’histogramme.
(cap 121)

3) Tableau
(cap 122)
1) Les populations chinoises et africaines au 31 octobre 2012 sont :
population chinoise (C_1)
C_1=1.300.000.000+\dfrac{0,5×1.300.000.000}{100}=1.306.500.000
population africaine
A_1= 1 000 000 000\times 0,004\times 1 000 000 000
A_1= 1 000 000 000 (1,004)= 1 004 000 000
Le 31 octobre 2012 la Chine aura 1 306 500 000 habitants et l’Afrique aura 1 004 000 000 habitants.
2)a)Exprimons C_{n+1}~en~fonction~de~C_n~et~a_{n+1} ~en~fonction~ de~ a_n
C_{n+1}=C_nx1,005
a_{n+1}=a_nx1,004
(C_1) est suite géométrique de raison q=1,005 et de premier terme C_0= 1 300 000 000.
(a_n) est une géométrique de raison q=1,004 et de premier terme a_0= 1 000 000 000
b) Exprimons C_n~et~ a_n en fonction de n.

(cap 123)
L’Afrique comptera 2 milliards d’habitants en 2184.

Probleme
f(x)=\dfrac{1}{2}(x+1)+\dfrac{1}{2(x-1)}
1)a) Déterminons l’ensemble de définition Df de f.
D_f={x \in \R /x-1 \not=0}
x-1\not=0 \Harr x \not=1
D_f=\R /{1}=]-\infty;1[\cup]1;+\infty
b) Calculons les limites de f aux bornes de D_f.
(cap 124)
(cap 125)
2)a) Montrons f'(x)=\dfrac{x(x-2)}{2(x-1)^2} ~Pour~tout~x~\in D_f
Pour tout x \in D_f;~f(x)=\dfrac{1}{2}(x+1)+\dfrac{1}{2(x-1)}
f est dérivable sur Df et sa fonction dérivée f’ est
(cap 126)
Sens de variation de f
f'(x)\geq \Harr \dfrac{x(x-2)}{2(x-1)^2} \geq 0~or~\forall x \in \Psi;2(x-1)^2>0~0 donc le signe de f’(x) est celui de x(x-2)
(cap 127)
Pour x \in ]-\infty;0]\cup[2 ;+\infty[~;f’(x) \geq 0 donc f est croissante sur cet ensemble.
Pour x \in [0;1[\cup]1 ;2]~;f’(x) \leq 0 donc f est décroissante sur cet ensemble
Tableau de variation

f(0)=0~et~f(2)=2
(cap 128)
3)a)Montrons que (\Delta) est une asymptote à (C).
\lim\limits_{\substack{x\rightarrow -\infty}}f(x)-y=\lim\limits_{\substack{x\rightarrow -\infty}}\dfrac{1}{2}(x+1)+\dfrac{1}{2(x-1)}-\dfrac{1}{2}x-\dfrac{1}{2}=\lim\limits_{\substack{x\rightarrow -\infty}}\dfrac{1}{2(x-1)}=0~donc la droite (\Delta) est asymptote oblique à (C).
\lim\limits_{\substack{x\rightarrow 1^-}}f(x)=-\infty~et~\lim\limits_{\substack{x\rightarrow 1^+}}f(x)=+\infty~donc la droite d’équation x=1 est asymptote verticale à (C).
b)Position relative de (C) et de (\Delta)
signe de f(x)-y
f(x)-y \geq 0 \Harr \dfrac{1}{2(x-1)}\geq 0
(cap 129)
Pour x\in ]-\infty ;1[ ;f(x)-y\geq 0 \Harr f(x)\leq y ~donc~ sur~ ]-\infty ;1[ ~(C)~ est~en~dessous~de~(\Delta)
Pour x \in]1 ;+\infty[;~f(x)-y \geq 0 \Harr f(x) \geq y ~donc~ sur~ ]1 ;+\infty[~(C)~est~au~dessus~de~(\Delta)
4)Construction de (C) et de ses asymptotes
(cap 131)
5)Montrons que I(1;1) est centre de symétrie de (C)I est centre de symétrie si
\dfrac{f(1-x)+f(1+x)}{2}=1
\forall x \in D_f;1-x \in D_f; 1+x\in D_f~et~f(1-x)=\dfrac{1}{2(1-x-1)}+\dfrac{1}{2}(1-x+1)=\dfrac{-1}{2x}-\dfrac{1}{2}x+1
f(1-x)=\dfrac{1}{2(1+x-1)}+\dfrac{1}{2}(1+x+1)=\dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{2x}+1
\dfrac{f(1-x)+f(1+x)}{2}=\dfrac{\tfrac{-1}{2x}-\tfrac{1}{2}x+1+\tfrac{1}{2}x+\tfrac{1}{2x}+1}{2}=1
donc I(1;1) est centre de symétrie de ( C).
6)Déterminons graphiquement l’ensemble des solutions de l’équation f(x)=m
Pour m \in]-\infty;0[\cup]2 ;+\infty[ ,f(x)=m admet deux (2) solutions.
Pour m=0 ,f(x)=m admet une seule solution qui est x=0
Pour m=2 , f(x)=m admet une seule solution qui est x=2
Pour m \in~]0;2[,f(x)=m n’a aucune solution.

Bac 2013

Exercice 1

1) La population est l’ensemble des habitants sur 30 secteur d’une ville
Les individus sont les habitants.
Le caractère est le nombre d’habitant par secteur
2) Tableau
(cap 131)

La classe modale est :[55 ;60[
3) Construisons l’histogramme
(cap 132)
4) Tableau
(cap 133)
Effectif total=30
Exemple de calcul de centre et de fréquence de la classe [40,45]
Centre=\dfrac{40+45}{2}=42,5;~Fréquence=\dfrac{4}{30}\times 100\%=13,33\%
5) Calculons la moyenne M.

M=\dfrac{5 \times 42,5+7 \times 47,5+7\times 52,5+10\times 57,5+1\times62,5}{30}=\dfrac{1550}{30}=51,66~donc~M=52

Exercice 2

1)a Calculons U_1,U_2,U_3
U_1=108.000 F
U_2=108.000\times 1,08=116640
U_3=116.640\times 1,80 =125971,2
b) Montrons que (U_n) est une suite géométrique
d’après a).U_{n+1}=U_n\times 1,08 \Harr \dfrac{U_{n+1}}{U_n}=1,08~donc la suite (U_n) est une suite géométrique de raison q=1,08 et premier terme U_1=108 000
c) Exprimons U_n en fonction de n.
U_n=108.000\times (1,08)^{n-1}~avec~n \in \N
2)Calculons U_10
U_10=108.000 \times (\dfrac{27}{25})^9=216.000 F
Il disposera de 216000F le premier janvier 2010.
3)Calculons U_30
U_30=108.000 \times \dfrac{27}{25})^9=1.006.560 F
Il part à la retraite avec 1006560 F.

Exercice 3

Soit f(x)=e^{-x^4+2x^2}-1
1)a) Etudions la parité de f.
D_f=\R

\forall x \in \R;-x \in \R,f(-x)=e^{-(-x)^4+2(-x)^2}-1=e^{-x^4+2x^2}-1=f(x)~donc~ f est paire.

b) De a) on peut en déduire que l’axe des ordonnées est un axe de symétrie pour ( C).

2) \lim\limits_{\substack{x\rightarrow +\infty}}f(x)=-1~donc la droite d’équation y=-1 est une asymptote horizontale à (C).
3) Montrons que f'(x)=4x(1+x)(1-x)e^{-x^{4}+2x^2}
f est derivable sur \Psi~et~on~a:
(cap 134)
Sens de variation de f.
\forall x \in \R^+;e^{-x^{4}+2x^2}>0~4 donc le signe de f’(x) est celui de 4x(1+x)(1-x)
On résout l’inéquation 4x(1+x)(1-x) \geq 0
(cap 135)
\forall x \in [0;1]~;f’(x) \geq 0~ donc~ f~ est~ croissant~ sur~ [0;1]
x \in [1;+\infty[ ~;f’(x) \leq 0~ donc~ f~ est~ décroissant~ sur~ [0 ;+\infty[
Tableau de variation
f(0)=1-1=0~et~f(1)=e^{-1+2}-1=e-1
(cap 136)
4)Résolvons f(x)=0.
(cap 137)
5) Donnons une équation de la tangente (T).
(T):y=f'(\sqrt2)(x-\sqrt2)+f(\sqrt2)
(T): y=-4\sqrt2x+8
6) Représentation graphique.
(cap 138)

BAC 2014

Exercice 1

1)a. Nombre de tirages possibles

card \varOmega=C_12^3=220~tirages possibles
b)Calcul de p(A) et de p(B).
p(A)=\dfrac{card~A}{card~\varOmega}=\dfrac{C_3^1 \times C_5^1 \times C_4^1}{200}=\dfrac{60}{220}=\dfrac{3}{11}
p(B)=\dfrac{card~B}{card~\varOmega}=\dfrac{C_3^3 \times C_5^3 \times C_4^3}{200}=\dfrac{3}{44}
2)a. Valeurs prises par la variable X
Ce sont les valeurs 0 ; 1 ; 2 et 3.
b) Loi de probabilité de X
(cap 139)
c)Espérance mathématique.

E(X)=0 \times \dfrac{84}{220}+1\times \dfrac{108}{220}+2 \times \dfrac{27}{220}+3\times \dfrac{1}{220}=\dfrac{165}{220}=\dfrac{3}{4}

Exercice 2

1)a)Développement et réduction de p(x).
P(x)=2(x-\tfrac{1}{2})(x+3)=2x^2+6x-x-3=2x^2+5x-3
b)Solution de l’équation 2x^2+5x-3=0
(cap 140)
2)Soit l’équation 2e^x+5-3e^{-x}=0(1)
a)Pour tout x \in \Psi; ~on~ a~e^x \not=0~d’où~(2)~devient~e^x(2e^x+5-3e^{-x})=0 \Harr 2e^{2x}+5e^x-3=0
b)Résolution de l’équation (2)
2e^{2x}+5e^x-3=0
Posons X=e^x;~on~a:2X^2+5X-3=0~et d’après la réponse à la question 1)b);x=3~ou~x=\dfrac{1}{2}
comme X=e^x,on~ a~ donc~e^x=-3~ou~e^x=\dfrac{1}{2}
Or~\forall n \in \Psi;e^x>0~donc~e^x=\dfrac{1}{2} \Harr x =\ln \dfrac{1}{2}=-\ln 2~d’où~S_{\Psi}={-\ln 2}
2)Résolution de l’inéquation 2(\ln x)^2+5\ln x-3=0
Posons X=ln x.
On a: 2X^2+5X-3=0~et d’après la réponse à la question 1)b);X=-3~ou~X=\dfrac{1}{2}

Comme X= \ln x,~on~a~donc~\ln x=-3~ ou ~\ln x=\dfrac{1}{2} \Harr x=e^{-3}~ou~x=e^{\tfrac{1}{2}} d’où S_{\Psi}={e^{3};e^{\tfrac{1}{2}}}

Probleme

Soit f(x)=2 \ln x-4x
Domaine d’étude D_E=[1;+\infty[
1)Calcul de limite de f.
\lim\limits_{\substack{x\rightarrow +\infty}}f(x)=\lim\limits_{\substack{x\rightarrow +\infty}} 2x\ln x-4x=\lim\limits_{\substack{x\rightarrow +\infty}}2x(\ln x-2)=(+\infty-2)=+\infty
2)a) Calcul de f’(x) et étude de son signe.
F est dérivable sur D_E~et~\forall x \in D_E;f'(x)=2(\ln x+\dfrac{1}{x}\times x)-4=2(-1+\ln x).
Signe de f’(x).
f'(x) \geq 0 \Harr 2(-1+\ln x) \geq 0 \Harr x \geq e
Ainsi ;pour x \in [1;e];~f'(x) \leq 0~et~pour~x \in [e;+\infty[;f'(x)\geq 0
b) Sens de variation de f.
Pour x \in [1 ;e] ;f’(x)\leq 0~ donc~ f~ est~ décroissante~ sur~ [1 ;e]
Pour x \in [e ;+\infty[ ;f’(x)\geq 0~ donc~ f~ est~ croissante~ sur~ [e ;+\infty[
c)Tableau de variation
(cap 141)
3)Coordonnées du point d’intersection A
(C_f)\cap (0x)\implies \begin{cases}y=0 \\ f(x)=0\end{cases}
f(x)=0 \Harr 2x\ln x-4x=0 \Harr 2x(\ln x-2)=0
On trouve

x=0~ou~x=e^2~or~0 \notin D_E~ d’où~ A(e^2;0)

4)Equation de la tangente (T).

(T):y=f'(e^2)(x-e^2)+f(e^2)

(T):y=2x-2e^2
5)Représentation graphique
(cap 142)

Bac 2015

Exercice 1

1)a)Montrer que est une suite géométrique
on a:
(cap 143)
Donc (v_n)est une suite géométrique de raison q=\dfrac{1}{6} et de premier termev_0=3+5u_0=3+5 \times \dfrac{3}{5}=6
b)Expression de v_n en fonction de n.
v_n=v_0q^n=6(\tfrac{1}{6})^n
Expression de u_n en fonction de n.
V_n=3+5u_n~donc~u_n=\dfrac{v_n-3}{5}=\dfrac{6(\tfrac{1}{6})^n-3}{5}
2)Convergence de u_n ~et~ v_n
\lim\limits_{\substack{n\rightarrow +\infty}}u_n=-\dfrac{3}{5}~et~\lim\limits_{\substack{n\rightarrow +\infty}} v_n=0~donc~u_n ~et~ v_n~sont convergentes et convergent respectivement vers -\dfrac{3}{5}~et~0
3)a)Calcul de S_n ~et~ de~ S_n’
(cap 144)

b) Calcul de limite.

\lim\limits_{\substack{n\rightarrow +\infty}}S_n=\dfrac{36}{5}~car~\lim\limits_{\substack{n\rightarrow +\infty}}(\tfrac{1}{6})^{n+1}=0

Exercice 2

1)a) La population étudiée es : les malades du sida
b) L’effectif est 250
c) La classe modale est [20;30[
d) Le caractère étudié est qualitatif
2) La fréquence de la classe [20;30[ est \dfrac{100}{250}=0,4 ou 40\%
3)a) Pourcentage des malades de moins de 30 ans est :\dfrac{(20+40+100)}{200}\times 100=64\%
b) Voir tableau
(cap 145)
c)La moyenne de série statistique
(cap 146)

Problème

1)a)Montrons que pour tout réel x, f(x)=e^{-x}(1-e^{-x})
On a ;pour tout réel x;e^{-x}-e^{-2x}=e^{-x}-e^{-x}\times e^{-x}=e^{-x}(1-e^{-x})
donc pour tout réel x,f(x)=e^{-x}(1-e^{-x})
(cap 147)

b) \lim\limits_{\substack{x\rightarrow +\infty}}f(x)=0~donc l’axe des abscisses est une asymptote à (C) au voisinage de +\infty.
3)a. Signe de -1+2e^{-x} ~sur~ \R
On a-1+2e^{-x}\geq 0 \implies e^{-x}\geq \dfrac{1}{2} \implies -x \geq -\ln(2)\implies x \leq \ln (2)
Ainsi pour x \in ]-\infty;0];-1+2e^{-x}\geq 0~et~pour~tout~x \in [0;+\infty[;-1+2e^{-x}\leq 0
b)Calcul de f'(x).
f est dérivable sur \R~et~f'(x)=(-1+2e^{-x})e^{-x}
Signe de f'(x).
\forall x \in \R;e^{-x}>0~donc~le~signe~de~f'(x)~est~celui~de~-1+2e^{-x}
Or d’après 3)a) ,pour x \in ]-\infty;0];-1+2e^{-x}\geq 0~et~ pour~x \in[0;+\infty[ ;-1+2e^{-x}\leq 0~ c’est-à-dire~ pour~ x \in ]-\infty;0] ;f'(x)\geq 0~et~ pour~ x \in [0;+\infty[ ;f'(x)\leq 0
On conclut que f est croissante sur ]-\infty;0] ~et~ décroissante~ sur~ [0;+\infty[
Tableau de variation
Calculons d’abord f(ln2)

f(\ln 2)=\dfrac{1}{4}

(cap 148)

4)a) Coordonnées de A.

On a: (C)\cap(y=x)={A(x;0)}~donc~on~résout~f(x)=0

f(x)=0 \Harr e^{-x}(1-e^{-x})=0 \Harr x=0~d’où~A(0;0)
b) Equation de la tangente.
(T):y=f'(0)(x-0)+f(0)

f'(0)=1~et~f(0)=0~donc~(T):y=x
(cap 149)

Bac 2016

Exercice 1

1) Démontrons que v est une suite arithmétique et précisons la raison et le premier terme.
\forall n \in \N;~v_{n+1}=\ln (3e^{v_n})=\ln(3)+\ln(e^{v_n})=\ln (3)+v_n~alors v est une suite arithmétique de raison ln(3).
2) Exprimons L_n en fonction de n.

\forall n \in \N;L_n=(n+1)\dfrac{-1+n\ln (3)}{2}

Exercice 2

A)1)La probabilité d’avoir un tirage unicolore.

card (varOmega)=C_10^3=120

1. Soit A l’évènement «avoir un tirage unicolore»
   card (A)=C_5^3+C_3^3=10+1~donc~P(A)=\dfrac{card (A)}{card (\varOmega)}=\dfrac{11}{120}
2. Soit B l’évènement «avoir exactement 2 boules de même couleur»
   Card (B)=C_3^2 \times C_7^1+C_5^2 \times C_5^1+C_2^2\times C_8^1=79~donc~P(B)=\dfrac{card (B)}{card (\varOmega)}=\dfrac{79}{120}
   B.1) Calcul de la probabilité d’avoir des boules rouges uniquement.
   card(\varOmega)=A_10^3=10\times 9\times 8=720
   Soit C l’évènement « avoir des boules rouges uniquement » ;
   card (A)=A_5^3=5\times 4\times 3=60~donc~P(C)=\dfrac{card (C)}{card (\varOmega)}=\dfrac{60}{720}=\dfrac{1}{12}
3. Soit D «pas de boules vertes au deuxièmes tirage».
   D=D_1 \cup D_2~avec D_1 : « Pas de boules vertes au deuxième tirage mais la 1ère boule tirée est verte » ; et :
   D_2 « pas de boules vertes au deuxième tirage et la 1ère boule tirée n’est verte »
   (cap 150)

Probleme

1) Démontrons que la droite (D) d’équation y=\dfrac{1}{2} est asymptote à (C) en -\infty.
(cap 151)
\lim\limits_{\substack{x\rightarrow -\infty}}xe^{2x}=\lim\limits_{\substack{x\rightarrow -\infty}}\dfrac{1}{2}Xe^x=0~donc~\lim\limits_{\substack{x\rightarrow -\infty}}e^{2x}=0~avec le changement de variable X=2x.~D’où~\lim\limits_{\substack{x\rightarrow -\infty}}(f(x)-\tfrac{1}{2})=0[/latex]
Ainsi, la droite (D): y=\dfrac{1}{2} est asymptote à (C) au voisinage de -\infty.
2) Limites de f(x)~et~de~\dfrac{f(x)}{x}~lorsque~x~tend~vers~+\infty
(cap 152)
Interprétation graphique
(C) admet en +\infty une branche parabolique de direction (OJ).
3) Calcul de f'(x).
Pour tout nombre réel x. f'(x)=e^{2x}+2(x-\tfrac{1}{2})e^{2x}=2xe^{2x}
4) Etude des variations de f.
\forall x \in \R, 2e^{2x}>0~alors~que~le~signe~de~f'(x)~est~est~celui de x.~D’où :

\forall x \in ]-\infty;0[~f'(x)0

Ainsi, f est croissante sur [0; +\infty[ ~et~ décroissante~ sur~]-\infty;0].
Tableau de variation de f
(cap 153)

5) Position relative de (C) et (D).
Pour tout nombre réel x,on a f(x)-\dfrac{1}{2}=(x-\dfrac{1}{2})e^{2x}
Pour tout nombre réel x,e^{2x}>0 ~donc~ f(x)-\dfrac{1}{2}~a~ le~ signe~ de~ x-\dfrac{1}{2}
Ainsi, pour tout

x \in \rceil -\infty;\dfrac{1}{2} \lceil f(x)-\dfrac{1}{2}0

Par ailleurs, f(x)-\dfrac{1}{2}=0~pour~x=\dfrac{1}{2}~. Il s’ensuit :
(C) est au-dessous de (D)sur

\rceil -\infty;\dfrac{1}{2} \lceil~et~(C) est au-dessus de (D)sur\rceil \dfrac{1}{2};+\infty \lceil

(C) et (D) se coupent au point d’abscisse \dfrac{1}{2}
6) Construction de (C).
(cap 154).

BAC 2017

Exercice 1

La classe comprend 36 élèves.
1) Le nombre d’élèves étudiant l’espagnol est égal à : 8+4+10: 22
Si on choisit un élève au hasard, la probabilité pour qu’il étudie l’espagnol est donc égale à \dfrac{22}{36}=\dfrac{11}{18}.
2) Le nombre d’élève étudiant uniquement l’espagnol et le latin est égal à 8.
Si on choisit un élève au hasard, la probabilité pour qu’il étudie uniquement l’espagnol est donc égale à \dfrac{8}{36}=\dfrac{2}{9}
3) Le nombre d’élèves étudiant l’espagnol et le latin est égal à 4.
Si on choisit un élève au hasard, probabilité pour qu’il étudiant l’espagnol et le latin est donc égale à \dfrac{4}{36}+\dfrac{1}{9}
4) Le nombre d’élèves étudiant l’espagnol ou le latin est égal à 8+10+4+3+6=31
Si on choisit un élève au hasard, la probabilité pour qu’il étudie l’espagnol ou le latin est donc égale à \dfrac{31}{36}
5) Le nombre d’élèves étudiant l’espagnol, l’espagnol et la musique, le latin, le latin et la musique est égal à 8+10+3+6=27
Si on choisit un élève au hasard, la probabilité pour qu’il étudie l’espagnol,l’espagnol et la musique, le latin, le latin et la musique est égale à \dfrac{27}{36}=\dfrac{3}{4}
6) Le nombre d’élèves étudiant une seule des trois options est égal à 8+6+5=19
Si on choisit un élève au hasard, la probabilité pour qu’il étudie une seule des trois options est donc égale à \dfrac{19}{36}

Exercice 2

1) Démontrons que u est une suite arithmétique et précisons la raison et le premier terme.
\forall n \in \N;\dfrac{u_n+1}{u_n}=\dfrac{3\tfrac{(-2)^{n+1-1}}{5^{n+1}}}{5^n}
\forall n \in \N; \dfrac{u_{n+1}}{u_n}=-\dfrac{2}{5}~alors u est une suite géométrique de raisonr=-\dfrac{2}{5}~et de premier termeu_0=-\dfrac{3}{2}
2) convergence de u.
-1<\dfrac{2}{5}<1~alors u converge vers 0.

Probleme

Partie A

1) g'(x)=e^x-1~est positive lorsque x \geq 0;~g(0)=1-0-1=0~comme g est décroissante avant 0 et croissante après, g est toujours positive.
2) Comme g(x)\geq 0,~on~a~e^x-x \geq 1 \implies e^x-x>0~(ceci montre que f est définie sur \R ).

Partie B

(cap 155)

b. On a une asymptote horizontale en -\infty:y=-1~et~une~autre~en~+\infty:y=0
(cap 156)

b. f’ est du signe de 1−x.
(cap 157)
Comme g est positive, ainsi que e^x-x,f(x)-x~est du signe de −x, soit positif avant 0 (C est au-dessus de T), négatif après (C est en dessous de T).
(cap 158)

BAC 2018

Exercice 1

1) a. on dispose de 2 faces portant le chiffre 2 sur un ensemble de 6 faces :
Donc la probabilité d’obtenir le numéro 2 est : P({2})=\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}
b) Obtenir 421 revient à obtenir 4 au premier larcer, 2 au second lancer et 1 au 3ème lancer. Donc la probabilité d’obtenir le nombre 421 est P({421})=P({4}) \times P({2}) \times P({1})=\dfrac{1}{6}\times \dfrac{2}{6} \times \dfrac{1}{6}=\dfrac{1}{108}
2). Vérifions que la probabilité d’obtenir 421, est égale à \dfrac{1}{54}.
P({421})=P({4})\times P({2})\times P({1})=\dfrac{2}{6}\times \dfrac{2}{6}\times \dfrac{1}{6}=\dfrac{1}{54}
3) Démontrons que la probabilité d’obtenir 421, est égale à \dfrac{2}{135}.
Soit N l’évènement « obtenir le nombre 421 ».
Comme l’urne contient 10 dés dont 4 identiques au dé A et 6 identiques au dé B, alors la probabilité d’obtenir 421 est égale à la somme de \dfrac{4}{10} de la probabilité du cas 1.b et \dfrac{6}{10} de la probabilité du cas 2.

P(N)=P({421})=\dfrac{4}{10}\times \dfrac{1}{108}+\dfrac{6}{10}\times \dfrac{1}{54}=\dfrac{2}{135}

Exercice 2

(cap 159)

est donc du signe de g(x) et f est donc négative entre ln 2 et – ln 2, positive ailleurs.

Probleme

1)

e^2x-e^x+1=X^2-X+1~en~posant~X=e^x.On~a~alors~\Delta=-3<0~

donc le trinômes est positif ainsi que e^{2x}-e^x+1 f'(x)=\dfrac{2e^{2x}-e^x}{e^{2x}-e^x+1}=\dfrac{e^x(2e^x-1)}{e^{2x}-e^x+1}donc f’ est du signe de 2e^x-1. Ce terme est positif lorsquee^x>\dfrac{1}{2} \Harr x >\ln \dfrac{1}{2} \Harr x >\ln \dfrac{1}{2} \Harr x>-\ln 2 Par ailleurs
(cap 160)
2) En -\inftyc’est facile car e^{2x}~et~e^x~tendent~vers~0. On a donc f qui tend vers ln1=0.
En +\infty;e^{2x}-e^x+1se comporte comme e^{2x} et tend donc vers +\infty.
(cap 161)
Les termes e^{-2x}~et~e^{-x}~ tendent vers 0 à l’infini, donc f(x)-2x tend vers ln1=0. La droite y=2x est donc asymptote de (C).
4) La tangente en 0 est (y=x). Figure à la fin.
5) L’équation e^{2x}-e^x+1=\dfrac{7}{8}~est~équivalente~à~f(x)=\ln(\tfrac{7}{8}). Comme \dfrac{3}{4}<\dfrac{7}{8}<1,On~ a~\ln \tfrac{3}{4}<\ln \tfrac{7}{8}<0~il y a donc deux solutions.
Par le calcul on pose X=e^x, ce qui donne l’équation X^2-X+1-\dfrac{7}{8}=0 \Harr X^2-X+\dfrac{1}{8}=0,\Delta=1-\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2}~d’où les racines.
(cap 162)
(cap 163)

BAC 2019

Exercice 1

1)Calculons v_0
v_0=-\ln 2
2)Démontrons que v est une suite géométrique de raison 2.
\forall n \in \N;v_{n+1}=\ln (\tfrac{3}{2}u_{n+1})=\ln(\tfrac{3}{2}u_n)^2=2\ln(\tfrac{3}{2}u_n)=2v_n~alors v est une suite géométrique de raison 2.
3)Exprimons v_n en fonction de n.
\forall n \in \N; v_n=-\ln(2) \times (2)^n
4)Calculons la limite de v.
\lim\limits_{\substack{x\rightarrow +\infty}}v_n=-\infty(car~1<2)
5)Exprimons u_n en fonction de v_n et en déduisons la limite de u.
(cap 164)

6)On pose :\forall n \in \N; S_n=v_0+v_1+…+v_n~et~t_n=u_0 \times u_1 \times …\times u_n

a)Démontrons que :
(cap 165)

b)Justifions que :
(cap 166)

c)Exprimons t_n en fonction de n.
(cap 167)

Exercice 2

1) Au cours de l’année,chaque candidat a obtenu dix notes en Mathématiques.
(cap 112)
Calcul des moyennes
Désignons par \overline{X_k}la moyenne des notes de Kakou.
(cap 113)
\overline{X_k}=\dfrac{1\times 5+4 \times 8+4\times 16+1\times 19}{10}=12
D’où \overline{X_k}=12
Désignons par \overline{X_A}~ la moyenne des notes de Annah.
(cap 114)
D’où \overline{X_A}=12

Calcul des écarts types
Désignons par \sigma_K l’écart-type des notes de Kakou.
(cap 115)
Désignons par \sigma_A l’écart-type des notes de Annah.
(cap 116)

3) \overline{X_A}=\overline{X_k}~donc Annah et Kakou ont la même performance en Mathématiques ; mais comme \sigma_A<\sigma_K~ alors Annah est plus régulière que Kakou, elle est donc l’élément sûr qu’il faut choisir.

Problème

Soit f(x)=\dfrac{e^x}{e-e^x}
1) Déterminons l’ensemble de définition de f.
(cap 70)
2) Montrons que \forall x \in D_f;f(x)=-1+\dfrac{e}{e-e^x}
(cap 71)
3) Etudions les variations de f. Pour tout x \in D_f;~f~est~dérivable
f'(x)=0+\dfrac{e \times e^x}{(e-e^x)^2}=\dfrac{e^{x+1}}{(e-e^x)^2}
\forall \in D_f;~f'(x)>0;donc f est strictement croissante sur Df.
(cap 72)
Tableau de variation
(cap 73)
4) Courbe.
(cap 74)
5) Soit g(x)=\dfrac{e^x+1}{1-e^x}
a) Montrons que g est impaire
(cap 75)
g(-x)=\dfrac{e^x+1}{1-e^x}=g(x)~donc g est une fonction impaire.
b) Montrons que A(1;\dfrac{-1}{2}) est un centre de symétrie de (C).
(cap 76)
donc A(1;-\tfrac{1}{2})~est un centre de symétrie de (C).

BAC 2020

Exercice 1

1) Calculons U_2~et~U_3
On a 2nU_{n+1}=(n+1)U_n \Harr U_{n+1}=\dfrac{n+1}{2n}U_n
Ainsi:U_2=\dfrac{1+1}{2 \times 1}U_1=U_1=2

U_3=\dfrac{2+1}{2 \times 2}U_2=\dfrac{3}{4}U_2=\dfrac{3}{4} \times 2=\dfrac{3}{2}

2)Soit V_n=\dfrac{U_n}{n}
Calculons V_1; V_2;~et~ V_3
(cap 101)
b) Montrons que (v_n) est une suite géométrique dont on précisera la raison.
(cap 102)
donc (v_n) est une suite géométrique de raison q = \dfrac{1}{2} et de premier terme V_1=2
c) Ecrivons V_n ~et~ U_n en fonction de n.
(cap 103)

d) Etude de sens de variation et de convergence.
On a 0<\dfrac{1}{2}<1~donc~(V_n)~est~décroissante.
(cap 104)
Or \forall n \geq 1; (\tfrac{1}{2})^{n-1} \geq 0~et~1-n \leq 0~donc~U_{n+1}-U_n \leq 0~par~conséquent~(U_n)~est~décroissante
\lim\limits_{\substack{n\rightarrow +\infty}}(V_n)=0~et~\lim\limits_{\substack{n\rightarrow +\infty}}(U_n)=0~donc~(V_n)~et~(U_n)convergent vers 0.

Exercice 2

1) On range les valeurs dans l’ordre croissant :
13,5; 13,8; 13,8; 13,9; 14 ; 14,1 ; 14,2; 14,2; 14,3; 15,2

Comme il y a 10 valeurs, la médiane est comprise entre la 5ème et 6ème valeur qui partage la série en deux séries de 5 valeurs, soit la valeur \dfrac{14+14,1}{2}=14,05
Conclusion : La médiane de cette série est 14,05
2) Soit m la moyenne, on a :
m=\dfrac{13,5+13,8\times 2+13,9+14+14,1+14,2\times 2+14,3+15,2}{10}=14,1
La moyenne moyenne est donc de 14,1

3) Calcul de l’étendu

La plus petite valeur est 13,5
La plus grande valeur est 15,2
On a : 15,2 – 13,5 = 1,7
Conclusion : ~l’étendu~ est~ 1,7

Problème

1) Ensemble de définition
f(x) existe si x^2+4 \not= 0~Or~\forall x \in \R;~x^2+4 \not= 0~donc~D_f=\R
2) Etude de la parité.
\forall x \in D_f;-x \in D_f~et~f(-x)=\dfrac{-2(-x)^2+8}{(-x)^2+4}=\dfrac{-2x^2+8}{x^2+4}=f(x)donc~f~est~paire
Comme f est paire, alors (C) admet pour axe de symétrie l’axe des ordonnées.
3) Détermination de réels a et b.
f(x)=a+\dfrac{b}{x^2+4}=\dfrac{a(x^2+4)+b}{x^2+4}=\dfrac{ax^2+4a+b}{x^2+4}
Par identification a=-2 ~et~ 4a+b=8~ soit ~b=8-4(-2) =16
d’où f(x)=-2+\dfrac{16}{x^2+4}
4) Variations de f.
\forall x \in D_f;f'(x)=\dfrac{-2x\times (16)}{(x^2+4)^2}=\dfrac{-32x}{(x^2+4)^2}
Etudions le signe de f(x)f'(x)\geq 0 \Harr \dfrac{-32x}{2(x^2+4)}\geq 0~or~\forall x \in \R;(x^2+4)^2>0~donc le signe de f'(x) est celui de -32x.
-32x \geq 0 \Harr x \leq 0~ce qui signifie que pour x \leq 0; f'(x)\geq 0~et pour x \geq 0;f'(x)\leq 0
Ainsi sur]-\infty;0]; f’(x)\geq 0 donc f est croissante et sur [0; +\infty[ ; f'(x)\leq 0 donc f est décroissante.
5) Coordonnées des points d’intersection
Avec l’axe des abscisses
Soit A(x ;y) avec y=f(x) le point d’intersection de (C) avec l’axe des abscisses. En ce point A ; y=0=f(x) donc A(x ;0)
Pour trouver x, on résout l’équation f(x)=0.
f(x)=0 \Harr \dfrac{-2x^2+8}{x^2+4}=0 \Harr -2x^2+8=0 \Harr x=-2~ou~x=2
Ainsi ,(C) coupe l’axe des abscisses aux point A(-2;0) et A'(2;0)
Avec l’axe des ordonnées
Soit B(x ;y) avec y=f(x) le point d’intersection de (C)avec l’axe des ordonnées. En ce point B;x=0 donc B(0;y).
Pour trouver y, on calcule f(0).
\dfrac{-2\times 0+8}{0+4}=2~d’où~B(0;2)
Ainsi (C) coupe l’axe des ordonnées au point B(0;2)
6) Equation de la tangente (T) du point d’abscisse x=2
(cap 168)

7) Construction

\lim\limits_{\substack{x\rightarrow +\infty}}f(x)=-2;~\lim\limits_{\substack{x\rightarrow +\infty}}f(x)=-2~donc la droite d’équation y=-2asymptote horizontale à (C). f(0)=2.
Tableau de variation.
(cap 169).