Sujet Bac 7 Terminale littéraire

Exercice 1

Trois options sont offertes aux élèves d’une classe : espagnol, latin, musique.
Chaque élève choisit une ou deux options. Le schéma ci-dessous indique le nombre d’élèves pour chaque combinaison d’options possible.
(cap 43)

On choisit un élève au hasard dans cette classe.
Déterminer la probabilité des évènements suivants :

1. L’élève étudie l’espagnol,
2. L’élève étudie uniquement l’espagnol,
3. L’élève étudie l’espagnol et le latin
4. L’élève étudie l’espagnol ou le latin
5. L’élève étudie unique une des deux langues : espagnol ou latin (il peut éventuellement faire aussi de la musique),
6. L’élève étudie une seule des trois options.

Exercice 2

Soit la suite numérique u est définie par : \forall n \in \N;U_n=3\dfrac{(-2)^{n-1}}{5^n}
1) Montrer que u est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.
2) u est-elle convergente ? si oui ; déterminer sa limite.

Probleme

On considère la fonction f définie sur \R~par~f(x)=\dfrac{x}{e^x-x}.
On note (C) sa courbe représentative dans le plan rapporté au repère orthogonal (O,\vec{i},\vec{j})l’unité graphique est 2 cm sur l’axe des abscisses et 5 cm sur l’axe des ordonnées.

Partie A

Soit g la fonction définie sur \R ~par~g(x)=e^x-x-1
1) Etudier les variations de la fonction g . En déduire le signe de g.
2) Justifier que pour tout x,e^x-x>0.

Partie B

1.a) Calculer les limites de la fonction f en +\infty~et~-\infty
b. Interpréter graphiquement les résultats obtenus.

2. a. Calculer , f’ désignant la fonction dérivée de f.
   b. Etudier le sens de variation de f puis dresser son tableau de variation.
3. a. Déterminer une équation de la tangente (T) à la courbe (C) au point d’abscisse 0.
   b. A l’aide de la partie A, étudier la position de la courbe (C) par rapport à la droite (T).
4. Tracer la droite (T), les asymptotes et la courbe (C).