Sujet Bac 8 Terminale littéraire

Exercice 1

1)Un dé A, bien équilibré possède :
• Une face numéroté 1;
• Deux face numérotées 2;
• Une face numéroté 4;
• Une face numéroté 5;
• Une face numéroté 6;
a. On lance une fois le dé A et on lit le numéro inscrit sur la face supérieur.
Quelle est la probabilité d’obtenir le numéro 2?
On lance 3 fois de suite le dé et on note de la gauche vers la droite les chiffres obtenus successivement. On obtient ainsi un nombre de trois chiffres.
Quelle est la probabilité d’obtenir le nombre 421 ?
2)Un autre dé B, bien équilibré possède :
Une face numéroté 1 ;
Deux face numérotées 2 ;
Deux face numérotées 4 ;
Une face numéroté 6 ;
On lance 3 fois de suite le dé A comme à la question 1.b
Vérifier que la probabilité d’obtenir le nombre 421 est égale à \dfrac{1}{54}.
3)Une urne contient 4 dés identiques au dé A et 6 dés identiques au dé B.
Chahed tire au hasard un dé de l’urne et le lance 3 fois de pour obtenir un nombre à 3 chiffres comme décrit précédemment.

Exercice 2

Soient f et g les fonctions définies de ]0;+\infty[~dans~\R~par:f(x)=2x+\dfrac{1}{2}.\dfrac{e^x+1}{e^x-1}~et~g(x)=2e^{2x}-5e^x+2
a. Démontrer que f(x)=2x+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{e^x-1}=2x-\dfrac{1}{2}+\dfrac{e^x}{e^x-1}
b. Factoriser g(x).
c. Déterminer le signe de la dérivée de f.

Probleme

Soit f la fonction numérique définie sur

\R~par:~f(x)=\ln(e^{2x}-e^x+1)
le symbole ln désignant le logarithme népérien.

Montrer que e^{2x}-e^x+1~

est strictement positif pour tout réel x. Étudier les variations de la fonction f.
Soit (C) la courbe représentative, dans un repère orthonormé, de la fonction f. Préciser les limites de f en +\infty ~et~ −\infty Vérifier que f(x)-2x=\ln(1-e^{-x}+e^{2x})et montrer que f(x) − 2x tend vers une limite lorsque x tend vers +\infty. En déduire l’asymptote correspondante de (C). Construire la courbe (C) (on précisera la tangente au point de (C) d’ordonnée nulle). Déterminer, en utilisant la courbe (C), le nombre de solutions réelles de l’équation d’inconnue x :
e^{2x}-e^x+1=\dfrac{7}{8}
a. par le calcul,
b. en utilisant la courbe (C).