Sujet Bac 9 Terminale littéraire

Exercice 1

On considère les suites numériques (u_n)~et~(v_n)~définies~par : u_0=\dfrac{1}{3}; \forall n \in \N;~u_{n+1}=\dfrac{3}{2}(u_n)^2~et~v_n=\ln (\dfrac{3}{2}u_n)
1) Calculer [;latex]v_0[/latex]
2) Démontrer que v est une suite géométrique de raison 2.
3) Exprimer v_n en fonction de n.
4) Calculer la limite de v.
5) Exprimer u_n en fonction de v_n~et en déduire la limite de u.
6)On pose : \forall n \in \N; S_n=v_0+v_1+…+v_n~et~t_n=u_0 \times u_1 \times …\times u_n
a) Démontrer que \forall n \in \N;~ S_n=(1-2^{n+1}) \ln 2
b) Justifier que: \forall n \in \N;~t_n=(\dfrac{2}{3})^{n+1}e^{s_n}
c) Exprimer t_n en fonction de n.

Exercice 2

Kakou et Annah ont été présélectionnés pour participer aux Olympiades de Mathématiques. Il reste à choisir ,parmi ces deux finalistes, celui qui représentera l’établissement.
Au cours de l’année, Kakou a obtenu en Mathématiques les notes suivantes :
16 ; 8 ; 16 ; 8 ; 19 ; 5 ;16 ; 8 ; 8 ; 16
Les notes d’Annah sont données par le diagramme ci-dessous :
(cap 44)
1)Pour chaque candidat,présenter,sous forme de tableau, la série statistique obtenue en classant les notes par ordre croissant et en indiquant, pour chaque note, l’effectif.
2)Calculer pour chaque série, la moyenne et l’écart-type.
3)Lequel de ces deux candidats auriez-vous choisi ?Pourquoi ?

Probleme

On considère le plan rapporté à un repère orthonormé (O,I,J). Soit la fonction f définie parf(x)=\dfrac{e^x}{e-e^x}
On note (C) la courbe représentative de f dans le repère (O,I,J)
1) Déterminer l’ensemble de définition de f.
2) Montrer que pour tout réel

x \in D_f,~on~a~f(x)=1+\dfrac{e^x}{e-e^x}
3) Etudier les variations (tableau de variation, sens de variation, limites) de f
4) Tracer la courbe (C) dans le repère (O,\vec{i},\vec{j}).
5)Soit g la fonction définie par g(x)=\dfrac{e^x+1}{1-e^x}

a)Monter que g est impaire.
b) Soit A(1;\dfrac{-1}{2}).
Montrer que (C) admet A pour centre de symétrie.
On donne e=2,7