Sujet de Devoir 10 Terminale littéraire

Exercice 1

1) Résoudre dans $\R$ les équations et inéquations :
(cap 27)

2) Résoudre les systèmes suivants dans $\R \times \R$
(cap 28)

Exercice 2

1) Calculer la dérivée de f après avoir trouver son domaine de définition dans les cas suivants :
(cap 29)

2) Simplifier au maximum les expressions :
(cap 30)

Calculer les limites suivantes : a) $\lim\limits_{\substack{x\rightarrow 0^+}}\dfrac{1}{x \ln x};~b)\lim\limits_{\substack{x\rightarrow -\infty}}e^x \ln(1+e^{x});~c)\lim\limits_{\substack{x\rightarrow +\infty}}\dfrac{-5e^x+2}{4+e^x}$

Exercice 3

Soit f et g deux fonctions par : $f(x)=e^{3-x}\ln x~et~g(x)=1-x \ln x;~avec~x \in [1;+\infty[$
1.a) Calculer g’(x) puis étudier son signe pour $x \in [1;+\infty[$
b) Calculer $g(1)~et~\lim\limits_{\substack{x\rightarrow +\infty}}g(x)~$ puis dresser le tableau de variations de g sur $[1;+\infty[$

2.a) Calculer f'(x)
b) Prouver que f’(x) et g(x) ont même signe.
c) Vérifier que $\forall x \in [1;+\infty[;f(x)=\dfrac{\ln x}{x}X\dfrac{x}{e^x}Xe^3~$ puis déduire la limite de f en $+\infty$
d) Donner une équation de la tangente (T) à (Cf) au point d’abscisse 1.