Sujet de Devoir 11 Terminale littéraire

Exercice 1

Soit P(x)=2x^3-x^2-5x-2
1) Calculer P(-1).
2) Déterminer le réel a tel que P(x)=(x+1)(2x^+ax-2)
3) Résoudre P(x) = 0.
4) Résoudre chacune des équations suivantes :
a)2(\ln x)^3-(\ln x)^2-5\ln x-2=0
b)2e^{2x}-e^x-5-2e^{-x}=0

Exercice 2

On considère la suite définie pour tout entier naturel n par U_0 = 6;~U_{n+1}=\dfrac{1}{3}U_n+2

  1. Calculer U_1~et~ U_2.
  2. Soit (V_n) la suite définie par V_n = U_n – 3
    a) Montrer que la suite (V_n) est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.
    b) Calculer V_n puis Un en fonction de n.
    c) La suite (U_n) est-elle convergente ? Justifier.
  3. On désigne par (W_n) la suite définie par W_n = ln (V_n).

a) Calculer W_{n+1} – W_n puis en déduire la nature de la suite
b) Calculer W_n en fonction de n.
c) On donne S_n=W_0+W_1+W_2+…+W_{n-1}
Calculer S_n en fonction de n.

Exercice 3

On considère la suite numérique définie par U_0 = 1 et pour tout entier naturel n,U_{n+1}=\dfrac{1}{3}U_n+n-1
Soit (V_n) la suite définie, pour tout entier naturel n, par

V_n = 4U_n – 6n + 15

Montrer que (V_n)est une suite géométrique.
2.a) Calculer V_0~puis~exprimer~V_n en fonction de n.
b) En déduire que pour tout entier naturel U_n=\dfrac{19}{4}X\dfrac{1}{3n}+\dfrac{6n-15}{4} On pose T_n=\dfrac{19}{4}X\dfrac{1}{3^n}~et~W_n=\dfrac{6n-15}{4}~pour tout entier naturel n.
a) Déterminer la nature des suites (T_n)~et~(W_n)
b) Calculer S=T_0+T_1+…+T_n~et~\sum_{\mathclap{}}=W_0+W_1+…+W_n
c) En déduire S’=U_0+U_1+U_n

Exercice 4

On considère la fonction numérique f définie sur \R~par~ f(x) = 2x² e-x~et~(C) sa courbe représentative dans le plan muni d’un repère orthonormé (o,i,j) (unité 1 cm).
1.a) Calculer la limite de f en +\infty
b) On donne \lim\limits_{\substack{x\rightarrow +\infty}}f(x)=0 Interpréter géométriquement ce résultat.

  1. a) Calculer f'(x) puis étudier son signe.
    b) En déduire le sens de variation de f, puis dresser son tableau de variation.
  2. Donner une équation de chacune des tangentes (T_0)~et~(T_2)~à~(C)~aux point d’abscisses respectives 0 et 2.
  3. Construire les tangentes (T_0)~et~ (T_2) et la courbe (C).
  4. A l’aide du graphique, donner suivant les valeurs du réel m, le nombre de solutions
    de l’équation f(x) = m.
  5. Résoudre graphiquement dans \R ~l’inéquation~ f(x)\geq 0
    On donne e=2,7;~e^{-2}=0,14;~e^{-4}=0,02.