Sujet de Devoir 13 Terminale littéraire

Probleme 1

Le plan est muni d’un repère orthonormal (O,\vec{i},\vec{j})

unité : 2cm

A/ Soit g la fonction définie par g(x)=2x^2+1-\ln x

1.a) Déterminer l’ensemble de définition de g
b) Calculer les limites de g aux bornes de son ensemble de définition
2.a) Etudiez les variations de g puis dresser son tableau de variations
b) Déduisez–en que g est positive sur ]0;+\infty[

B/ Soit f la fonction définie par f(x)=2x-2+\dfrac{\ln x}{x}

1. Déterminer l’ensemble de définition de f.
2. Calculer les limites de f aux bornes de ]0;+\infty[~puis interpréter éventuellement les résultats
3. a) Calculer la dérivée de f puis l’exprimer en fonction de g
   b) En déduire le sens de variations de f et dresser son tableau de variations
4. a) Montrer que la droite (D) d’équation y = 2x – 2 est asymptote à la courbe (C) représentative de f
   b) Préciser la position de (C) par rapport à (D)
5. Construire (C)

Probleme 2

On considère le plan, rapporté à un repère orthonormal (O,\vec{i},\vec{j})

Soit f la fonction numérique définie par : f(x)=\ln (2x+4)-\ln (-3x+9)

1. Déterminer l’ensemble de définition de f.
2. Etudier les limites de f aux bornes de son ensemble de définition.
   Préciser les équations des asymptotes à la courbe représentative de f
3. Etudier les variations de f. Dresser son tableau de variations
4. Déterminer les coordonnées du point d’intersection de la courbe représentative de f avec l’axe (Ox)
5. Donner une équation de la tangente (T)à la courbe de f au point d’abscisse 1.
6. Placer les points d’abscisses \dfrac{3}{2};-1;0;2
   Tracer la courbe représentative de f.
7. On pose h(x)=|f(x)|~Expliquer comment on obtient la courbe de h à partir de celle de f puis la construire.
   On donne : ln 2 = 0,69; ln 3 = 1,1; ln 7 = 1,95.