Exercice 1

Résoudre dans \R~ou \R^2
(cap 31)

Exercice 2
On considère la suite numérique définie sur
N par \begin{cases}U_0=1 \\ U_{n+1}=\dfrac{5U_{n-1}}{4U_{n+1}}~\forall n \in \N\end{cases}

1. Calculer U_1,U_2,U_3
2. En déduire que la suite (U_n) n’est pas arithmétique.
3. On considère la suite (V_n)~ définie par V_n=\dfrac{2}{2U_{n-1}}
   a. Montrer que (V_n)~ est une suite arithmétique
   b. Exprimer V_n en fonction de n.
   c. Etudier le sens de variation de (V_n)~
   d) Exprimer S_n=\sum_{\substack{k=0}}^n V_k~en fonction de n.
   4)a) Exprimer U_nen fonction de n.
   b) Calculer U_10

Exercice 3

On considère la fonction numérique f de la variable réelle x définie par f(x)=\dfrac{e^x-4}{e^x-1}
On appelle C_f~sa courbe représentative dans le plan muni d’un repère orthonormé (O,\vec{i},\vec{j})~d’unité 1 cm.

1. Déterminer le domaine de définition D de f.
2. On se propose d’étudier f sur ]0;+\infty[
3. Calculer f'(x) et dresser le tableau de variation sur ]O;+\infty[
4. A calculer les coordonnées du point A intersection de C_f avec l’axe des abscisses donner une équation de la tangente (T) à C_f au point A.
   5.a) Déterminer que le point (0;\tfrac{5}{2})~ est un centre de symétrie pour C_f.
   b) On appelle (C) la partie de C_f~sur~ ]O;+\infty[ .
   Construire (C) et (T). On placera les points d’abscisse 1, ln2 et 4.
   c) Placer le point B et compléter la courbe en construisant le
   symétrique (C’) de (C) par rapport à B.
5. A l’aide du graphique, donner suivant les valeurs du réel m, le nombre de solution de l’équation f(x) = m.

On donne \ln 2=0,7;~e\approx 2,7 \dfrac{e^4-4}{e^4-1} \approx 0,94