Sujet de Devoir 15 Terminale littéraire
Exercice 1
Soit f et g deux fonctions définies sur ]-\infty;0[~par~f(x)=xe^{-x}+e~et~g(x)=-e^{-x}+e \ln {-x}
- Calculer les limites de f(x) et g(x) en -\infty~et~ en~ 0.
2.a) Calculer f’(x) et vérifier que f'(x)=(1-x)e^{-x}
b) Prouver que f est croissante sur ]-\infty;0[~[ puis dresser son tableau de variations.
c) Calculer f(-1) et déduire le signe de f(x) pour x \in ]-\infty;0[.
3.a) Calculer g’(x) et vérifier que g’(x)=\dfrac{f(x)}{x}
b) Déduire alors le tableau de variations de g sur ]-\infty; 0[~
c) Construire la courbe (C_g)~dans~(O,\vec{i},\vec{j} ) orthonormé.
On donne : e=2,72;~\lim\limits_{\substack{x\rightarrow +\infty}}\dfrac{x}{e^x}=0
Exercice 2
Soit (U_n)~et~(V_n) deux suites numériques par : \begin{cases}U_0=10.000 \\ U_{n+1}=1,05U_n+5.000\end{cases} V_n=U_n+100.000
- Calculer U_1;U_2;U_3;V_0;V_2
- Démontrer que (V_n) est une suite géométrique dont on donnera la raison et le premier terme.
Probleme
Soit f et g deux fonctions par :
1.a) Déterminer le domaine de définition de f et calculer les limites de f(x) aux bornes de ce domaine.
b) Calculer f'(x) et vérifier que f’(x)=\dfrac{(x+1)e^x}{(2+x)^2}
c) Dresser le tableau de variations de f sur D_f
NB : Pour les limite de f(x) en +\infty~et vérifier que f(x)=\tfrac{e^x}{x}(\tfrac{1}{1+\tfrac{2}{x}})
d) Préciser les asymptotes horizontale et verticale de (Cf).
- a) Déterminer le domaine de définition de g.
b) Calculer g’(x) et vérifier que g’(x)=
c) Vérifier que g(x)=\dfrac{e^x}{x^2}(dfrac{1}{1+\tfrac{2}{2}});~déduire~\lim\limits_{\substack{x\rightarrow +\infty}}g(x)
d) Calculer les limites de g(x) en
-\infty; 0~et~en~-2.
e) Donner le tableau de variations de g sur Dg.
3.a) Montrer que : f(x)–x=x(g(x)-1)
b) Résoudre dans \R : f(x) = g(x)
On donne