Sujet de Devoir 21 Terminale littéraire

Exercice 1

Soit (U_n) n \in \N~la suite numérique défini par : pour tout n \in \N, U_n=e^{2n+1}
1) Montrer que (U_n) est une suite géométrique dont on précisera la raison.
2)a) Soit la somme S_n=U_0+U_1+….+U_n. Exprimer Sn en fonction de n.
b) Calculer la limite de S_n quand n tend vers +\infty.
3) Soit (V_n)n \in \N la suite définie par : pour tout n \in \N, V_n = \ln(U_n)
a) Exprimer la somme S_n’=V_0+V_1+…+V_n en fonction de n.
b) Exprimer le produit P_n = U_0 x U_1 x….x U_n en fonction de n.

Exercice 2

Une urne contient 5 boules : deux boules numérotées 1, deux boules numérotées 2 et une boule numérotée 3. on tire au hasard et simultanément deux boules de cette urne.
On appelle X la variable aléatoire égale à la somme des numéros portés par les deux boules.
1) Quelles sont les valeurs prises par X ?
2) Déterminer la loi de probabilité de X.
3) Calculer l’espérance mathématique E (X) et l’écart-type(X) de X.
4) Définir et représenter la fonction de répartition F de X.
N.B. : Les résultats seront donnés sous forme de fraction irréductible.

Probleme

Soit la fonction f définie sur \R ~par~:f(x)=\dfrac{x^3+5x^2+9x+5}{2x^2+2}

1) Démontrer qu’il existe des réels a, b, c tel que pour x \in \R~f(x)=ax+b+\dfrac{cx}{x^2+1}
2)a) Calculer \lim\limits_{\substack{x\rightarrow -\infty}}f(x)~et~\lim\limits_{\substack{x\rightarrow +\infty}}f(x).
b) Démontrer que la droite (d) d’équation y=\dfrac{1}{2}x+\dfrac{5}{2}~est asymptôte à la courbe (C) de f.
c) Etudier la position relative de (C) et (d)
3) Etudier les variations de f et dresser son tableau de variation.
4) a) Déterminer les coordonnées des points de (C) où la tangente est parallèle à la droite (d).
b) Déterminer une équation de ces tangentes.
c) Démonter que le point I(0;\dfrac{5}{2})~est centre de symétrie de (C).
5) Le plan est muni d’un repère orthonormal (o, i, j) d’unité 1 cm. Tracer les tangentes, la droite (d) et la courbe (C).