Sujet de Devoir 22 Terminale littéraire

Exercice 1

1. Développer, réduire et ordonner l’expression (2x + 1)(x – 8).
   En déduire la résolution dans \R~de~l’équation~2x^2-15x–8 =0
2. Résoudre dans \R les équations suivantes :
   a) (\ln x^2 + 1) (\ln x – 8) = 0
   b) \ln [ x (2x – 15) ] = 3 \ln2
   c) \ln x+ ln (2x – 15) = 3 \ln2
   3.a. Résoudre dans \R l’équation :2e^{2x}-15 e^x-8=0
   b. Résoudre dans \R \times \R ~le~ système: \begin{cases}x-y=1 \\ 2e^{2x}-15e^{y+1}=8 \end{cases}.

Exercice 2

Soit la suite (U_n) n \in \N définie par U_1 = 1 et pour tout entier naturel non nul n par 3U_{n+1}=U_n+9

1. Calculer U_2, U_3
2. Soit la suite (V_n) n \in \N~définie par V_n=U_n-\dfrac{9}{2} \forall n \in \N^*
   a) Montrer que (V_n) est une suite géométrique de raison \dfrac{1}{3}.
   b) Déterminer V_n ; puis Un en fonction de n.
   c) En déduire que la suite (U_n) est convergente et trouver sa limite.
   d) Calculer la somme S_n des n premiers termes de (V_n) et la somme S_n’ des n premiers termes de (U_n)

Probleme

Soit g la fonction numérique définie sur ]0;+\infty[~par~g(x)=1-x^3-2\ln x

1)a) Déterminer les limites de g aux bornes de son ensemble de définition.
b) Calculer g’(x), déterminer le sens de variation d g.
c) Calculer g(1), dresser le tableau de variation de g et en déduire que dans ]0;1[~on~a~g(x)\succ 0~et~dans~[1;+\infty[~on~a~g(x)\leq 0

On considère la fonction numérique f définie sur ]0;+\infty[
par f(x)=\dfrac{2\ln x}{x^2}-2x+3~ et (C) sa courbe représentative dans un repère (o,i,j) orthonormé (d’unité 4 cm).

a)Déterminer les limites de f aux bornes de son ensemble de définition. On admettra que \lim\limits_{\substack{x\rightarrow 0}}\dfrac{\ln x}{x^2}=-\infty
b) Calculer f’(x) montrer que pour tout x \in ]0;+\infty[;f'(x)=\dfrac{2g(x)}{x^3}
c) En déduire le signe de f ’(x), puis le sens de variation de f. Dresser le tableau de variation de f

3) Montrer que la droite (D) : y = -2 x + 3 est asymptote à (C). Etudier les positions relatives de (D) et de (C).
4) Tracer (D) et (C) dans le repère (O,\vec{i},\vec{j}) orthonormé unité 4 cm.