Sujet de Devoir 26 Terminale littéraire

Exercice 1

Soit f une fonction numérique par :f(x)=1+x[2\ln (|x|+1)]

  1. Déterminer D_f puis calculer les limites de f(x) aux bornes de D_f.
  2. Calculer f'(x) sur D_f puis donner son signe
  3. Dresser le tableau de variations de f sur D_f.

Exercice 2

Soit f une fonction par : f(x)=-x +\ln x~avec~x>0
On suppose que f est définie en 0 et que f(0) = 0

  1. Etudier la dérivabilité de f en O.
  2. Calculer f'(x) puis étudier son signe sur \R_+^*. Déduire les variations de f sur ]0;+\infty[
  3. Calculer la limite de f(x) en +\infty puis dresser le tableau de variation de f sur ]0;+\infty[
  4. Soit u(x)=-2x + 1 + x\ln x
    a) Calculer u’(x) puis donner son signe sur ]0;+\infty[
    b) Résoudre dans ]0;+\infty[;u(x) = x–1
    c) Calculer les limites de u(x) en 0 et en +\infty.
    Déduire le tableau de variations de U.

Exercice 3

Soit f et g deux fonctions numériques : f(x)=e^{3x}-e^x~et~g(x)=\dfrac{1}{2}\ln(1+e^{-x})

  1. Résoudre dans \R~l’équation~3e^{2x}–1=0~ puis donner le signe de
3e^{2x}–1~ suivant ~x.

2.a) Calculer f'(x) puis donner son signe sur \R

Déduire les variations de f sur \R .
b) Calculer les limites de f(x) en -\infty~et~en~+\infty puis dresser le tableau de variations de f sur \R. a) Déterminer une équation de la tangente (T) à (Cf) au point A(0;0).
b) Soit h(x)=f(x)-2x.~Calculer ~h(0)
Montrer que h'(x)=(e^x-1)(2+3e^x+3^{e2x})
Etudier les variations de h.
4)a)Calculer g(0)
b) Résoudre dans \R ~g(x)=\dfrac{1}{2}~et~g(x)>0.