Sujet de Devoir 27 Terminale littéraire

Exercice 1

Soit f une fonction définie par f(x)=ax+b+\dfrac{c}{x+1}~où a;b et c sont des réels. On note (C) la courbe de dans (o,i,j) orthonormé.
On donne le tableau de variations de f sur \R.

(cap 35)

  1. Calculer f'(x) en fonction de a; b et c.
  2. Déterminer alors a; b et c à l’aide du tableau de variations.
  3. On suppose que f(x)=3x-1+\dfrac{3}{x+1}
    a) Montrer que (\Delta) : y = 3x – 1 est asymptote oblique à (C)
    b) Montrer que A(1;2) est centre de symétrie pour (C)
    c) Donner une autre asymptote à ( C ).
  4. Tracer (\Delta)~et~(C)~dans~(O,\vec{i},\vec{j})

Exercice 2

  1. Résoudre dans R les équations et inéquations :
    (cap 36)
  2. Déduire la résolution des équations et inéquations.
    (cap 37)

Probleme

Soit f une fonction définie sur ]0;+\infty[~par~f(x)=x-\dfrac{\ln x}{x}~et (C) sa courbe dans (O,\vec{i},\vec{j}).

  1. Soit g(x)=x^2-1+\ln x \forall x \in ]0;+\infty[
    a) Calculer g'(x) puis montrer que \forall x \in ]0;+\infty[;~g'(x)>0
    Déduire alors les variations de g sur ]0;+\infty[
    b) Calculer les limites de g(x) en O et en +\infty puis dresser le tableau de variations de g sur ]0;+\infty[
    c) Calculer g(1) puis à l’aide des variations de g montrer que :
    *\forall x \in [1;+\infty[;g(x) \geq 0
    *\forall x \in [0;+1];g(x) \leq 0

2.a) Calculer les limites de f en O et en +\infty.
b)Montrer que (\Delta)~: y = x est asymptote oblique à (C).
c) Calculer f ’(x) et montrer que f'(x)=\dfrac{g(x)}{x^2}
d) Déduire les variations de f à l’aide de :

  1. c). On donnera le tableau de variation
    3.a) Prouver que
\forall x > 1;~\dfrac{-\ln x}{x}<0~

puis déduire la position relative de (C)~et~(\Delta)pour x > 1.

b) Donner une autre asymptote à (C).
c) Tracer (C) et les asymptotes.