Sujet de Devoir 28 Terminale littéraire

Exercice 1

Soit P définie par $P(x)=2x^3-x^2-5x-2$
1) Calculer P(-1)
2) Factoriser P(x)
3) Résoudre dans R chacune des équations suivantes :
a) $2(\ln x)^3-(\ln x)^2-5\ln x-2=0$
b) $2e^{2x}-e^x-5-2e^{-x}=0$

Exercice 2

Soit la suite $(U_n)$ définie par $(U_{}n+1)^2=\dfrac{U_n}{e};U_1=e$
1) Calculer $U_2,U_3$
2) Pour $U_n>0~on~pose~V_n=1+\ln(U_n)$
a) Montrer que $(V_n)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.
b) Exprimer $V_n ~puis~ U_n$ en fonction de n et calculer $\lim\limits_{\substack{x\rightarrow -\infty}}U_n$

Exercice 3

On considère la fonction f définie par $f(x)=x-1+e^{1-x}~$ et on note (C) sa courbe représentative dans un repère orthonormal d’unité 1 cm.

1) Calculer la limite de f à $+\infty$
$x \rightarrow -\infty$ On admettra que $\lim\limits_{\substack{x\rightarrow -\infty}}f(x)=+\infty$

2) Montrer que la droite D d’équation y = x – 1 est asymptote à la courbe $(C)~ à~ +\infty$ . Préciser la position relative de (C) et (D).

3.a) Déterminer le sens de variation de f ;
b) Dresser le tableau de variation de f.
c) Déterminer la tangente à la courbe (C) au point d’abscisse O.

Construire l’asymptote (D) et la courbe (C).
Soit g la fonction définie par $g(x) =-f(x)~et~(C_1)$ sa courbe représentative.
a) Comparer $(C_1)~et~(C)$
b) Tracer la courbe (C_1) dans le même repère que (C).

6) Soit h la fonction définie par $h(x)=|x|-1+e^{1-|x|}~et~C_2$
a) Etudier la parité de h.
b) Comparer h et f pour $x \geq 0$
c) En déduire le tracé de $(C_2)$ dans le repère précédent.