Sujet de Devoir 5 Terminale littéraire

Exercice 1

Soit une suite U_n~définie par U_1=2~et~\forall N \geq 1~2nU_{n+1}=(n+1)U_n
1) Calculer U_2 ~et~ U_3
2) On définit la suite (V_n)~\forall n \in N^*~par~V_n=\dfrac{U_n}{n}
a. Calculer V_1;V_2;V_3
b. Montrer que (V_n) est une suite géométrique dont on précisera la raison.
c. Ecrire l’expression de V_n~et~de~U_n en fonction de n.
d. Etudier la croissance et la convergence des suites (V_n)~et~(U_n).

Exercice 2

Pour creuser un puits de 20 m de profondeur, 2 organismes A et B proposent les conditions suivantes :
Organisme A : le premier mètre creusé vaut 20.000 F, le prix du n ième mètre creusé dépasse celui du mètre creusé précédemment de 1000 F.
Organisme B : le premier mètre creusé vaut 100F, le double du n ième mètre creusé vaut le triple du mètre creusé précédemment. On désigne par U_n ~et~ V_n les prix du n ième mètre creusé respectivement par les organismes A et B. (On a donc U_1 = 20.000 ~et~ V_1 = 100)
1) Calculer U_2 ~et~ V_2.
2.a) Exprimer U_n~en~fonction~de~ U_{n-1}~et~V_n~en~fonction~de~ V_{n-1}~pour~n > 1~et en déduire que U_n~ est une suite arithmétique et (V_n)~ une suite géométrique.
b) Exprimer U_n~en fonction de n et V_n~en fonction de n.
c) Déterminer le prix du 20 ième mètre creusé par chaque organisme.
3) On pose S_n~ le prix des n mètre creusés par l’organisme A et Sn celui de l’organisme B.

Exprimer S_n’~et~S_n en fonction de n en déduire l’organisme le plus économique.
On donne (\tfrac{3}{2})^{19}=2217; (\tfrac{2}{2})^{20}=3325

Exercice 3

1) On considère la fonction numérique f définie par: f(x)=\dfrac{x^2}{x+1}
a) Déterminer l’ensemble de définition D : f.
b) Montrer que pour tout x de D on a f(x)=x-1+\dfrac{1}{x+1}
c) Donner le tableau de variation de f.
d) Montrer que la droite y = x – 1 est asymptote à la courbe représentative (C) de f.
e) Tracer la courbe dans un repère orthonormé (O,i,j)

  1. Soit la fonction g définie par g(x)=|x|-1+\dfrac{1}{|x|+1}~Soit (C) sa courbe représentative.
    a) Déterminer son ensemble de définition D’.
    b) Etudier la parité de g et conclure.
    c) Comparer g(x) et f(x) pourx \in [0;+\infty[~et sans étudier g montrer comment on peut construire C. La construire.