Sujet de Devoir 6 Terminale littéraire

Exercice 1

Soit f la fonction numérique de la variable réelle x définie par f(x)=\dfrac{x^2+4x+7}{2(x+1)}
On désigne par ( C ) sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O.\vec{i},\vec{j})~unité = 2cm.
1.a) Déterminer l’ensemble de définition E.
b) Calculer les limites aux bornes de E et en déduire le ou les asymptotes éventuelles.
c) Déterminer les réels a, b, c tels que pour tout x de E f(x)=ax+b+\dfrac{c}{x+1}
d) En déduire que (C) admet une asymptote oblique (D) dont on précisera une équation.
e) Etudier la position relative de (C) et (D).
2) Calculer f'(x)
3) Dresser le tableau de variation.
4) Déterminer une équation (T) à (C) au point d’abscisse x_0= 0.
5.a) Tracer les droites asymptotes, la tangente (T) et la courbe (C).
b) Déterminer graphiquement le nombre de solutions de l’équation f(x)=m~et~m \in \R
6)Soit g la fonction telle que g(x)=|f(x)|.~Sans étudier g montrer comment on peut déduire la courbe représentative C_g ~à~partir~de~C_f

Exercice 2

On considère la suite U_n définie pour tout entier naturel n par \begin{cases} U_0=6 \\ U_{n+1}=\dfrac{1}{2} U_{n+2}\end{cases}
1) Calculer U_1~et~ U_2
2) Soit V_n=U_n-3
a) Montrer que la suite (V_n)~ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.
b) Exprimer V_n~ en fonction de n, puis U_n en fonction de n.
c) Etudier la convergence des suites (V_n)~et~(U_n)
3) On pose S_n=V_0+V_1+V_2-V_n~et~T_n=U_0+U_1+U_2+…U_n
Exprimer S_n en fonction de n, puis T_n en fonction n.
4) On désigne par (W_n)~ la suite définie par W_n = \ln(V_n)

a) Montrer que la suite W_n est une suite arithmétique dont on précisera la raison et le premier terme.
b) Exprimer W_n en fonction de n.
c) On pose P_n= W_0+W_1+ W_2…W_{n-1}
Exprimer P_n en fonction de n.

Exercice 3

1) Développer, réduire et ordonner (2x + 1)(x – 8) puis en déduire la résolution de :
a) 2x^2-15x-8=0
b) \ln [x(2x-15)]=3\ln 2
c) \ln x+ \ln (2x-15)=3\ln 2
2) Résoudre dans

3) Résoudre \ln (\tfrac{x+1}{3x-5}) \geq 0

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