Sujet de Devoir 8 Terminale littéraire

Exercice 1

Soit f la fonction numérique définie par f(x)=\dfrac{1}{x}+\dfrac{\ln x}{x}.
On note (C) sa courbe représentative dans le plan muni d’un repère orthonormé (O,\vec{i},\vec{j})

  1. Déterminer l’ensemble de définition D de f.
  2. Calculer les limites aux bornes de D_f en déduire les asymptotes éventuelles.
  3. Calculer f'(x) et dresser le tableau de variation.
  4. Ecrire l’équation de la tangente (T) à (C) en A. (A est l’intersection de (C) avec (ox))
  5. Tracer (C) et (T).
  6. Soit g la fonction telle que g(x)=\dfrac{1}{x}+\dfrac{\ln x^2}{2x}
    a) Déterminer l’ensemble de définition de g.
    b) Etudier la parité de g. que peut-on en déduire pour la courbe représentative (C’) de g.
    c) Comparer g(x) et f(x) pour tout x > O. en déduire une explication de l’obtention de (C) à partir de (C) sans étudier g.
    d) Tracer (C’) dans le même repère que (C)
    e) Déterminer graphiquement suivant les valeurs du réel ? le nombre de solutions de l’équation g(x) = m.
    On donne e=2,7;~e^{-1}=0,4;~\ln 2=0,7;~\ln 3=1,1;~\ln 4=1,6

Exercice 2

On effectue un placement de 20.000 F dans une caisse d’épargne à intérêt composé de 6 \% l’an. On note Cn le montant exprimé en francs du capital disponible sur le compte après n années de placement. Co = 20.000 F
1) Exprimer C_{n+1} en fonction de C_n.
2) En déduire C_n en fonction de n.
3) Au bout de combien d’années on pourra disposer d’une somme minimale de 30.000 F.
On donne \ln(1,06) = 0,058;~\ln(1,50) = 0,4;~(1,5)^10 = 1,8

Exercice 3

1) On donne P(x))-2x^3+5x^2+4x-3
a) Déterminer 3 réels a, b et c tels que P(x)=(x+1)(ax^2+bx+c)
b) Résoudre dans \R p(x) = 0~et~P(x)\geq 0.

2) En déduire la résolution des équations et inéquation suivantes :
a) 2\ln x+\ln(-2x+5)=\ln (-4x+3)
b) \ln 2+\ln x^2+\ln(x+1) \geq \ln (7x+4x-3)
c) -2(\ln x)^3+5(\ln x)^2+4\ln x-3=0