3) Fonctions logarithme népérien ; Fonction exponentielle – Calcul intégral – Tle S

I. Logarithme Népérien

1. définition 

La fonction logarithme Népérien notée \text{ln}, est la primitive de la fonction x \mapsto \dfrac{1}{x} sur ]0 ~;~ +\infty[ qui s’annule en 1.

Conséquences

1) le domaine de définition de \text{ln} est ]0 ~;~ +\infty[
2) \forall ~x > 0, ~\text{ln} '(x) = \dfrac{1}{x} ;
3) \text{ln} (1)=0

2. Propriétés

La fonction est définie continue et strictement croissante sur ]0 ~;~ +\infty[ et donc une bijection de ]0 ~;~ +\infty[ vers \R. Ainsi on a \forall ~x > 0,~y>0 \\ x=y \Leftrightarrow \text{ln} x = \text{ln} y ~;~ x < y \Leftrightarrow \text{ln} x < \text{ln} y

Conséquences :

\text{ln} x = 0 \Leftrightarrow x = 1 \\ \text{ln} x < 0 \Leftrightarrow 0 < x < 1 \\ \text{ln} x > 0 \Leftrightarrow x >1

Propriété fondamentale :
a) \forall ~x > 0, ~y>0 ~;~ r \in ~ ℚ , ~\text{ln} (\dfrac{1}{x}) = \text{ln} x
b) \text{ln} (\dfrac{x}{y}) = \text{ln} x - \text{ln} y ~;~ \text{ln} x^r = r \text{ln} x

3. Nombre réel e 

\text{ln} e =1,  on a  e \approx 2,71828

4. Représentation graphique de \text{ln}

~~~~~~\lim\limits_{x \rightarrow 0} \text{ln} x = -\infty ~~~~~~;~~~~~~ \lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \text{ln} x = +\infty

\forall ~x > 0, ~\text{ln} x \leq x-1 ~;
\forall ~x > 0, ~\text{ln} x \leq \dfrac{x}{e} ~;
\forall ~x > 0, ~\text{ln} x < x

5. Limites de référence

6. Fonction comportant \text{ln}

a) Dérivée de \text{ln} \circ u :

Soit u une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle K. La fonction \text{ln} \circ u est dérivable sur K et on a :
\forall ~x > 0, ~ (\text{ln} \circ u) ' (x) = \dfrac{u'(x)}{u(x)}

b) Dérivée de \text{ln} \circ |u|

Soit u une fonction dérivable et ne s’annulant pas sur un intervalle K. La fonction \text{ln} \circ |u| est dérivable sur K et on a :
\forall ~x > 0, ~ (\text{ln} \circ |u|) ' (x) = \dfrac{u'(x)}{u(x)}

c) Nouvelle primitive 

Soit u une fonction dérivable et ne s’annulant pas sur un intervalle K. La fonction \dfrac{u'}{u}  admet pour primitive \text{ln} \circ |u|+ c où c est un réel constant.

II. Fonction exponentielle Népérienne

1. Définition 

On appelle fonction exponentielle Népérienne, l’application réciproque de la fonction logarithme Népérien. On note e :
ℝ \rightarrow ~] 0 ~;~ +\infty[ ~:~ X \mapsto e^x

2. Propriétés 

3. Etude de x \mapsto e^x

\forall~x, ~y\in ~ \R, ~(e^x)' = e^x ~;    

\lim\limits_{x \rightarrow -\infty} e^x =0 ~~~~~~.~~~~~~ \lim\limits_{x \rightarrow +\infty} e^x=+\infty

\forall~x, ~y\in ~ \R, ~e^x \geq x + 1

4. Limites de référence

5. Fonction comportant exponentielle

a) Dérivée de e^u(x)

Si u est une fonction dérivable sur un intervalle K alors e^u est dérivable sur K et on a \forall~x, ~y\in ~K, ~(e^{u(x)})' = u'(x)e^{u(x)}

b) Nouvelle primitive

Si u est une fonction dérivable sur un intervalle K alors la fonction u'e^u admet pour primitive e^u + c  (où c est un réel constant)

III. Compléments

1. Logarithme de base a > 0  et a \ne 1

On appelle fonction logarithme de base a l’application
\log a : ]0 ~;~ +\infty[ \rightarrow \R \\ \R \mapsto \dfrac{\ln x}{\ln a}
Elle obéit aux mêmes propriétés que \ln qui est de base e

2. Exponentielle de base a > 0  et a \ne 1

On appelle fonction Exponentielle  de base a l’application réciproque de \log a : e^a \rightarrow ]0 ~;~ +\infty[ \\ X \mapsto a^x : on a a^x = e^{x \ln a}
Elle obéit aux mêmes propriétés que l’exponentielle népérienne qui est de base e.

Exemple :
1) f(x)=2^x ~;    
2) g(x)=x^x ~;     
3) h(x)=(1+x)^{\tan x}