Sujet 1 - Tle S - Ogooue education

Exercice 1

On considère dans l’ensemble C des nombres complexes, l’équation :
$(1):z^2-2(\cos 2a+ i\sin 2a)z-1=0 ~$ ,où $z$ est l’inconnu, $a$ un réel vérifiant $-\dfrac{\pi}{2} \leq a \leq \dfrac{\pi}{2}$
Soit $z_1 ~$ et $~z_2~$ des solutions de l’équation (1) pour une valeur donnée du paramètre $a$
1) On pose $u_1=(z_1+1)(\cos a -i\sin a)~$
et $~u_2=(z_2+1)(\cos a -i\sin a)$
a) Calculer $u_1+u_2~$ et $~ u_1.u_2~$ en fonction de $a$
b) On pose que $u_1~$ et $~u_2~$ sont les solutions de l’équation :
$(2):u^2-(4\cos a)u+2=0$
2.a) Déterminer les valeurs de $a$ pour lesquelles $u_1~$ et $~ u_2~$ sont réels
b) On suppose que $u_1~$ et $~ u_2 ~$ sont réels ; démontrez que les nombres complexes $z_1+1 ~$ et $~ z_2+1$ ont un même argument que l’on déterminera

Exercice 2

I) On considère la fonction $f$ définie sur $\R ~$ par :
$f(x)=x^2e^{-x}~$ ainsi que sa courbe représentative (C) dans un repère orthonormal $(O,\vec{i},\vec{j})$
1) Préciser les limites de $f$ en $+\infty~$ et $~-\infty$
2) Calculer la dérivée de $f.$
3) En déduire le tableau de variation de $f$
4) Déterminer une équation de la tangente (T) à (C) au point d’abscisse – 1
5) Tracer (T) et (C). On choisira une unité graphique de 4cm

II)
1- Calculer $J=\displaystyle{\int_{0}^{1}}xe^{-x}dx$
2- Vérifier que $f$ est telle que $f'(x)+f(x)=2xe^{-x}$
3- En déduire que : $J=\displaystyle{\int_{0}^{1}}f(x)d(x)=2J-f(1)$
4- Déduire des questions précédentes l’aire A en cm² du domaine plan délimité par la courbe (C), l’axe des abscisses et les droites d’équations $x = 0$ et $x = 1$

PROBLEME

PARTIE A

On se propose de résoudre sur $\R$ l’équation différentielle :
(E) $:y’-2y=2(e^{2x}-1)$
1) Déterminer les réels a et b telles que la fonction g définie sur $\R~$ par :
$~g(x)=axe^{2x}+b~$ soit solution de l’équation différentielle (E).
2) On pose $y = z + g.$ Montrer que $y$ est solution de (E) si et seulement si $z$ est solution
de l’équation différentielle (E’) : $z’ - 2z = 0$
3) Résoudre l’équation différentielle (E’) et en déduire les solutions de (E).
4) Démontrer qu’il existe une solution et une seule de (E) s’annulant en 0. Elle sera appelée $f$ et étudiée dans la partie B.

PARTIE B

On considère la fonction $f$ définie sur $\R ~$ par :
$~f(x)=(2x-1)e^{2x}+1.~$ On désigne par (C) la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormal $(O,\vec{i},\vec{j}).~$ On prendra 2cm pour unité graphique

1.a) Calculer la limite de $f~$ en $~-\infty~$ . En déduire que la courbe représentative (C) de $f$ admet une asymptote ( $\Delta$ ) dont on précisera l’équation.
b) Etudier la position relative de (C) et ( $\Delta$ ) et préciser les coordonnées du points A intersection de (C) et ( $\Delta$ )
2) Calculer la limite de $f$ en $+\infty~$ et étudier la branche infinie si nécessaire
3) Etudier le sens de variation de $f$ et présenter son tableau de variations. En déduire le sens le signe de $f$ sur $\R$
4) Tracer (C) et ( $\Delta$ ). On prendra 2cm pour unité graphique
5.a) Calculer l’intégration : $I=\displaystyle{\int_{0}^{\tfrac{1}{2}}}[1-f(x)]dx.~$ (On pourra s’aider d’une intégration par parties)
b) Interpréter graphiquement le résultat obtenu

PARTIE C

1- Calculer $J=\displaystyle{\int_{-1}^{0}}(2x-1)e^{2x}dx$
2- A l’aide d’une double intégration par parties,
calcul $K= \displaystyle{\int_{-1}^{0}}(2x-1)^2e^{4x}dx$
3- Soit D l’ensemble des points du plan tels que :
$-1 \leq x \leq 0 ~$ et $~0 \leq y \leq f(x).~$ Calculer en cm³ le volume V du solide de révolution engendré par la rotation de D autour de l’axe des abscisses. (On pourra exprimer V en fonction de J et K)

PARTIE D

On considère dans le même repère que (C) la courbe ( $\Gamma$ ) de représentation paramétrique :
$\begin{cases} x(t)=\dfrac{\ln t}{2} \\ \\ y(t)=-\dfrac{1+ \ln t}{t}+1\end{cases}~;~ t \geq 1$
1- Déterminer une équation cartésienne de ( $\Gamma$ )
2- Expliquer comment on peut tracer ( $\Gamma$ ) à partir de (C) puis tracer ( $\Gamma$ ) en pointillées.