Puissances et Racines carrées - 2nde Le

I) Calculs sur les puissances

1) Exemples

a⁴ = a x a x a x a et de façon générale aⁿ = a x a x a x… x a (avec n facteurs a)

2) Cas particuliers

3) Attention aux signes !

Ne pas confondre : (–3)⁴ = (–3)x(–3)x(–3)x(–3) = 81
et : – 3⁴ = – 3 x 3 x 3 x 3 = –81

Calculer de même en appliquant la règle des signes :
(–5)² ; –1² ; (–1)² ; –3³ ; (–2)² ; –7² ; (–9)⁰ ; –9⁰

Réponses : 25 ; –1 ; 1 ; –27 ; 4 ; –49 ; 1 ; –1

4) Opérations sur les puissances
Avec $n \in$ Z et $p \in$ Z

Méthode : Effectuer des calculs sur les puissances

Exprimer sous la forme d’une seule puissance :

II. Calculs sur les racines carrées

1) Définition

La racine carrée de a est le nombre (toujours positif) dont le carré est a.

Remarque :
$\sqrt{-5}$ = ?
La racine carrée de –5 est le nombre dont le carré est –5 !
Un nombre au carré est toujours positif (règle des signes), donc la racine carrée d’un nombre négatif est impossible.
$\sqrt{-5}$ n’existe pas !

Quelques exemples : $\sqrt{0}$ = 0 ; $\sqrt{1}$ = 1 ; $\sqrt{2}$ ≈ 1,4142 ; $\sqrt{3}$ ≈ 1,732
$\sqrt{2}$ et $\sqrt{3}$ sont des nombres irrationnels

Racines de carrés parfaits

2) Propriétés sur les racines carrées

b) Opérations sur les racines carrées

Démonstration au programme : Pour le produit :

Méthode : Effectuer des calculs sur les racines carrées
Écrire le plus simplement possible :

3) Extraire un carré parfait

Méthode : Extraire un carré parfait
Écrire sous la forme $a\sqrt{b}$ , avec a et b entiers et b étant le plus petit possible : $A = \sqrt{72}$ ; $B = \sqrt{45}$ ; $C = 3\sqrt{125}$

Remarque : Pour que b soit le plus petit possible, b ne doit pas contenir de carré parfait.

4) Simplifier les écritures contenant des racines carrées

Méthode : Simplifier une écriture contenant des racines carrées

2) Écrire les expressions suivantes sous la forme $a\sqrt{b}$ , où a et b sont des entiers et b le plus petit possible :

1) On regroupe les membres d’une même « famille de racines carrées » pour réduire l’expression.
Les différentes familles de racines carrées sont : $\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{5}, \sqrt{6}, \sqrt{7}, \sqrt{10}, \sqrt{13}, ...$

2) On fait apparaître des racines carrées d’une même famille. Pour cela, il faut extraire des carrés parfaits.

5) Racines carrées et développements

Méthode : Effectuer des développements avec des racines carrées
Écrire les expressions suivantes sous la forme $a + b\sqrt{c}$ , où a, b et c sont des entiers relatifs :

← On applique les règles classiques de développement d’une expression comme on pourrait le faire sur des expressions algébriques.
Les radicaux sont alors « traités » comme l’inconnue.

III) Nombres décimaux, nombres rationnels

1) Nombres décimaux

Un nombre décimal est un nombre de la forme $\frac{a}{10^p}$ , avec a entier et p entier naturel.
Un nombre décimal peut s’écrire avec un nombre fini de chiffres après la virgule.
L’ensemble des nombres décimaux est noté ⅅ.

2) Nombres rationnels

Un nombre rationnel est un nombre sous la forme d’un quotient $\frac{a}{b}$ avec a un entier et b un entier non nul.
L’ensemble des nombres rationnels est noté ℚ.

Démonstration au programme :

Démontrons que le nombre rationnel $\frac{1}{3}$ n’est pas décimal :
On va effectuer une démonstration par l’absurde en supposant que $\frac{1}{3}$ est décimal.
Si notre démonstration aboutit à une absurdité, cela prouvera que notre hypothèse de départ est fausse.
Supposons donc que $\frac{1}{3}$ est décimal.
Alors il s’écrit sous la forme $\frac{1}{3}$ = $\frac{a}{10^p}$ avec a entier et p entier naturel.
Donc $10^p = 3a$ et donc $10^p$ est divisible par 3.
Un nombre est divisible par 3 lorsque la somme de ses chiffres est divisible par 3.
Or, ceci est impossible car la somme des chiffres de $10^p$ est 1, et 1 n’est pas divisible par 3.
Donc l’hypothèse posée au départ est fausse et donc $\frac{1}{3}$ n’est pas décimal

IV. Notions de nombres réels

1) Définition

Un nombre est réel s’il est l’abscisse d’un point d’une droite graduée appelée la droite numérique.
L’ensemble des nombres réels est noté ℝ.
C’est l’ensemble de tous les nombres que nous utiliserons en classe de seconde.

Exemples :
2; 0; -5; 0,67; $\frac{1}{3}$ ; $\sqrt{3}$ ou $\pi$ appartiennent à ℝ.

2) Classification des nombres

Tous les nombres de l’ensemble des entiers naturels ℕ appartiennent à l’ensemble des entiers relatifs ℤ.
On dit que l’ensemble ℕ est inclus dans l’ensemble ℤ. On note : ℕ $\subset$ ℤ.
On a également les inclusions suivantes :

La classification des nombres :

3) Les nombres irrationnels

Définition : Un nombre réel qui n’est pas rationnel est dit irrationnel.

Exemples : $\sqrt{2}, \sqrt{3}$ ou encore $\pi$ sont des nombres irrationnels. Ils ne peuvent pas s’écrire sous la forme $\frac{a}{b}$ avec a et b deux entiers relatifs, b non nul.

Comme pour un nombre rationnel, il n’est pas possible d’écrire un nombre irrationnel sous forme décimale. En effet, le nombre de décimales qui le constitue est infini mais de surcroît ces décimales se suivent sans suite logique.

Démonstration au programme : Irrationalité de $\sqrt{2}$
On va effectuer une démonstration par l’absurde en supposant que $\sqrt{2}$ est rationnel.
Si notre démonstration aboutit à une absurdité, cela prouvera que notre hypothèse de départ est fausse.

Supposons donc que $\sqrt{2}$ est un rationnel.
Il s’écrit alors $\sqrt{2} = \frac{a}{b}$ avec a et b entiers naturels premiers entre eux, b non nul.
Ainsi : $\frac{a^2}{b^2} = 2$ soit $a^2 = 2b^2 .$

On en déduit que a² est pair, ce qui entraîne que a est pair.
En effet, si a était impair, alors a² serait impair (voir Chapitre « Notion de multiple, diviseur et nombre premier »).
Puisque a est pair, il existe un entier naturel k tel que a = 2k.
Comme, $a^2 = 2b^2 .$
On a : $(2k)^2 = 2b^2 .$
Soit : $4k^2 = 2b^2 .$
soit encore $b^2 = 2k^2 .$

On en déduit que b² est pair, ce qui entraîne que b est pair.
Or, a et b sont premiers entre eux, donc ils ne peuvent être pairs simultanément. On aboutit à une absurdité.
Donc, $\sqrt{2}$ n’est pas un rationnel.
Et donc, $\sqrt{2}$ est un irrationnel.

IV) Intervalles de ℝ

1) Notations :
L’ensemble de tous les nombres réels x tels que 2 ≤ x ≤ 4 peut se représenter sur une droite graduée.

Cet ensemble est appelé un intervalle et se note : [2 ; 4]

Exemple :
L’ensemble de tous les nombres réels x tels que –2 ≤ x ≤ 7 se note : [–2 ; 7].
On a par exemple :
4 $\in$ [–2 ; 7]
–1 $\in$ [–2 ; 7]
8 $\notin$ [–2 ; 7]

Remarque : L’ensemble des nombres réels ℝ est un intervalle qui peut se noter ]–∞ ; +∞[.

2) Application aux inéquations

Une inéquation est une inégalité qui contient une inconnue x.
Résoudre une inéquation, c’est trouver toutes les valeurs de x qui vérifient cette inégalité. Il s’agit d’un ensemble de valeurs. Pour représenter l’ensemble des solutions, on utilise un intervalle. Les techniques de résolution des inéquations sont semblables à celles utilisées pour les équations.

Méthode : Donner les solutions d’une inéquation
Résoudre l’inéquation et donner les solutions sous forme d’un intervalle : $2x - 3 < 4$

Intervalle ouvert et intervalle fermé :

Définitions :
On dit qu’un intervalle est fermé si ses extrémités appartiennent à l’intervalle.
On dit qu’il est ouvert dans le cas contraire.

Exemples :

L’intervalle [–2 ; 5] est un intervalle fermé.
On a : –2 $\in$ [–2 ; 5] et 5 $\in$ [–2 ; 5]

L’intervalle ]2 ; 6[ est un intervalle ouvert.
On a : 2 $\notin$ ]2 ; 6[ et 6 $\notin$ ]2 ; 6[

L’intervalle ] $6 ; +\infty$ [ est également un intervalle ouvert.

4) Intersections et unions d’intervalles :

Définitions :
– L’intersection de deux ensembles A et B est l’ensemble des éléments qui appartiennent à A et à B et se note A $\cap$ B.
– La réunion de deux ensembles A et B est l’ensemble des éléments qui appartiennent à A ou à B et se note A $\cup$ B.

Méthode : Déterminer l’intersection et la réunion d’intervalles
Dans les cas suivants, déterminer l’intersection et la réunion des intervalles I et J :
1) I = [–1 ; 3] et J = ]0 ; 4[ 2) I = ] –∞ ; –1] et J = [1 ; 4]
1) Pour visualiser les ensembles solutions, on peut représenter les intervalles I et J sur un même axe gradué.

Les nombres de l’intersection des deux ensembles sont les nombres qui appartiennent à la fois aux deux ensembles. Il s’agit donc de la zone de l’axe gradué où les deux ensembles se superposent. Ainsi I $\cap$ J = ]0 ; 3].

Les nombres de la réunion des deux ensembles sont les nombres qui appartiennent au moins à l’un des deux ensembles. Il s’agit donc de la zone de l’axe gradué marquée soit par l’intervalle I soit par l’intervalle J. Ainsi I $\cup$ J = [–1 ; 4[.

Ici, les ensembles I et J n’ont pas de zone en commun. L’intersection des deux intervalles est vide.
Un ensemble qui ne contient aucun élément s’appelle l’ensemble vide et se note $\empty$
On a alors : I $\cap$ J = $\empty$

I $\cup$ J = ] –∞ ; –1] $\cup$ [1 ; 4]

I) Valeur absolue d’un réel

1) Définition

Exemples :
– La valeur absolue de –5 est égale à 5.
– La valeur absolue de 8 est égale à 8.

Définition : La valeur absolue d’un nombre A est égal au nombre A si A est positif, et au nombre –A si A est négatif.
La valeur absolue de A se note |A|

Exemple :

2) Distance et valeur absolue
Propriété : Soit a et b deux nombres réels. Sur une droite graduée, la distance entre les points A et B d’abscisses respectives les nombres a et b est le nombre |a – b|.

Exemple :
Calculer la distance entre les nombres –1,5 et 4.
d(–1,5 ; 4) = |4 – (–1,5)| = 5,5

Propriété : Soit $a \in$ R.
Dire que x est tel que $|x - a| \leq r$ signifie que x appartient à l’intervalle [ $a - r ; a + r$ ].

Exemple :
Soit un réel x tel que $|x - 5| \leq 2.$ Cela signifie que $x \in [5 - 2 ; 5 + 2]$ soit $x \in [3 ; 7]$
Géométriquement, cela se traduit par le fait que la distance du point d’abscisse x au point d’abscisse 5 est inférieure ou égale à 2.