Exercices – Suites numériques réelles – 1ère S

Exercice 1 

Pour toutes les suites définies
ci-dessous, calculer dans chaque cas les 4 premiers de la suite u définie ci-dessous.

a) \forall~~n \in \N, u_n = 2n-5

b) \forall~~n \in \N, u_n = 2^n

c) \forall~~n \in \N, u_n = 2-3(\frac{1}{2})^n

d) \forall~~n \in \N, u_n = (-1)^n

e) \forall~~n \in \N, u_n = \dfrac{n}{n^2+1}

f) \begin{cases} u_0=1 \\ \forall~~n \in \N, u_{n+1} = 2u_n – 3\end{cases}

g) \begin{cases} u_1=3 \\ \forall~~n \in \N^*, u_{n+1} = -\dfrac{1}{2}u_n \end{cases}

h) \begin{cases} u_0=-1 \\ \forall~~n \in \N, u_{n+1} = 3-u_n \end{cases}

i) \forall~~n \in \N, u_n =3(-2)^n

j) \forall~~n \in \N, u_n =2n^2-n+5

k) \forall~~n \in \N^*, u_n = \dfrac{-2}{n}

l) \begin{cases} u_0=-6 \\ \forall~~n \in \N, u_{n+1} = 2u_n\end{cases}

m) \begin{cases} u_0=4 \\ \forall~~n \in \N, u_{n+1} =u_n-3 \end{cases}

n) \forall~~n \in \N, u_n = 3+4^n

o) \begin{cases} u_1=1 \\ \forall~~n \in \N^*, u_{n+1} =0,8u_n+0,05 \end{cases}

Exercice 2 

Soit la suite u définie par :
\forall~~n\in \N, u_n = \dfrac{2n-3}{n+1}  .
Calculer u_{n+1}-u_n.

Exercice 3 

Soit la suite u définie par :
 \forall~~n\in \N, u_n =-n^2+2n+4.
Calculer u_1-u_0

Exercice 4 

Soit la suite u définie par :
\forall~~n\in \N, u_n = \dfrac{1}{2}(\dfrac{3}{5})^n .

1) Calculer \dfrac{u_{n+1}}{u_n}  ..
2) En déduire  que \forall~~n\in \N, u_{n+1} < u_n.

Exercice 5 

Dans le plan muni d’un repère orthonormé (O, I, J), représenter sur (OI) à l’aide de la droite d’équation y = x les 5 premiers termes de la suite u.
a) \begin{cases} u_0=-2 \\ \forall~~n \in \N, u_{n+1} = -\dfrac{2}{3}u_n+4 \end{cases}

b) \begin{cases} u_1=1 \\ \forall~~n \in \N^*, u_{n+1} =\dfrac{1}{2}u_n+3 \end{cases}

c) \begin{cases} u_0= 0 \\ \forall~~n \in \N, u_{n+1} =u_n+2 \end{cases}

d) \begin{cases} u_0= 1 \\ \forall~~n \in \N, u_{n+1} =3-u_n \end{cases}

e) \begin{cases} u_0=0 \\ \forall~~n \in \N, u_{n+1} =2u_n+1 \end{cases}

f) \begin{cases} u_0=6 \\ \forall~~n \in \N, u_{n+1} =\dfrac{1}{2}u_n+1 \end{cases}

g) \begin{cases} u_0=\dfrac{1}{2} \\ \forall~~n \in \N, u_{n+1} =-2u_n \end{cases}.

Exercice 6

Soit   la suite définie par
\begin{cases} u_0=8 \\ \forall~~n \in \N, u_{n+1} =2u_n-3 \end{cases}
et (v_n) la suite définie sur \N par :
v_n=u_n-3.
Calculer v_0, v_1 et v_2.

Exercice 7

Soit (a_n) la suite définie
 sur \N par : a_n=-3n+7.
1) Calculer a_0, a_1 et a_2.
2) Démontrer que pour tout entier naturel n, on a :   
a_{n+1}=3+a_n.

Exercice 8   

Mr KOUAME  loue un appartement au 1er janvier 2014 ; le loyer annuel payé pour l’année 2014 est  = 400000 F.
Pour chacune des années qui suivent, le loyer annuel subit une augmentation de 10% par rapport au loyer de l’année précédente.
On appelle  le loyer versé pour l’année 2014+n.
1) Calculer le loyer versé en 2015, en 2016.
2) On admet que, pour tout entier naturel n, on a :  
L_n=400000\times(1,1)^n.
3) Calculer le loyer versé en 2023.
4) On appelle S le montant total du loyer versé par Mr KOUAME pendant 10 ans.
Calculer S.

Exercice 9

Une enquête étudie le nombre de clients dans un supermarché.
On constate que chaque mois 70% des clients du mois précédent restent fidèles à ce supermarché et que 3000 nouveaux clients apparaissent.
On note un  le nombre de clients venus au cours du nième mois de l’enquête. 
Ainsi u1 = 8000 .
1)  Calculer u2 et u3 .
2)  Calculer un+1 en fonction de un .

Exercice 10 

On dit qu’un capital est placé à intérêt composé quand, à la fin de chaque année, les intérêts produits s’ajoutent au capital pour former un nouveau capital qui produira lui aussi des intérêts.
Monsieur ONDO a placé 200 000 F sur un compte bancaire à un taux d’intérêt composé de 8%.
1) Calculer la valeur de son capital au bout de 1 an.
2) Pour tout entier naturel n, on note Cn la valeur de son capital au bout de n années.
Ainsi C0 = 200 000 F.
a) Justifier que, pour tout entier naturel n, on a : Cn+1 = 1,08Cn .
b) Calculer la valeur de son capital au bout de 2 ans.
3) On admet que, pour tout entier naturel n, on a :
Cn = (1,08)n \times 200000 .
a) Calculer  C3 et C4 .
b) Calculer la valeur de son capital au bout de 10 ans.

Exercice 11

Au 1er janvier 2010,  un village comptait 10 000 habitants.
Vu la sécheresse qui se prolonge, ce village voit sa population diminuer régulièrement de 5%  par an.
1) Calculer la population de ce village au 1er janvier 2012 si la calamité qui frappe le village se poursuivait.
2) On note Pn la population de ce village au 1er janvier 2010+n, si la calamité qui frappe le village se poursuivait .
a) Exprimer Pn+1 en fonction de Pn.
b) Calculer la population de ce village au 1er janvier 2015 si la calamité qui frappe le village se poursuivait .

Exercice 12 

Chaque année Madame MOUSSAVOU  dépose de l’argent sur un compte afin d’acheter une maison qui coute  11 000 000 F.
Elle a commencé le 1er janvier 2015 par un dépôt de 1000 000 F. Depuis lors, elle a effectué un dépôt chaque 1er janvier, en augmentant chaque année le montant de ce dépôt de 600 000 F.
Combien d’années au minimum, Mme MOUSSAVOU devra-t-elle attendre pour pouvoir acheter sa maison ?

Exercice 13 

Madame TRAORE a le choix entre deux contrats de location concernant un magasin qu’elle occupera 10 ans.
● Contrat n° 1 : le loyer annuel se monte à 150 000 F et le locataire accepte une augmentation forfaitaire annuelle de 15 000 F.
● Contrat n° 2 : le loyer annuel se monte à 120 000 F et le locataire accepte une augmentation annuelle de 10  du loyer de l’année précédente. u_n désigne le loyer de la n-ième année avec le contrat n° 1 et V_n désigne le loyer de la n-ième année avec le contrat n° 2.
Ainsi U_1 = 600000F et V_1 = 500000F.

1) Calculer U_1, U_2, U_3U_4 et U_5 .
2) Calculer V_1, V_2, V_3V_4 et V_5.
3) En déduire au bout de combien d’années le loyer défini par le contrat n° 2 sera supérieur au loyer défini par le   contrat n° 1 ?

Exercice 14

Un professeur a placé sur un compte le 01/01/2010 un capital de 600 000 F CFA. Ce compte produit des intérêts de 7 % par  an. Chaque année les intérêts sont ajoutés  au capital et deviennent, à leur tour, générateurs d’intérêts.
Pour n entier naturel, on appelle Cn le capital au 1er janvier de l’année (2010 + n). On a ainsi C0 = 600 000 .

1) Calculer C1 et C2 .
2) Donner une valeur approchée de C10 après avoir calculé C3 , C4 , … , C9 .  Interpréter ce résultat.
3) Exprimer  Cn+1 en fonction de Cn
4) On admet que :  Cn = C0 \times (1,07)n.
Retrouver ainsi la valeur de C10.
5) On suppose maintenant qu’au 1er  janvier de chaque année, à partir du 01/01/2011, la personne rajoute 50 000FCFA sur son compte. (Ce compte produit toujours des intérêts de 7 % par an)
a) Calculer C1 et C2
b) Exprimer Cn+1 en fonction de Cn
c) Donner une valeur approchée de C10 après avoir calculé  C3 , C4 , … , C9 .
d) On admet que :  Cn = C0  + 50000n .
Déterminer à partir de quelle année le capital aura été multiplié par 5.