Exercices – Dénombrement – 1ère S
Exercice 1
Un sac contient quatre jetons : un vert, un noir, un rouge et un gris.
On tire successivement et avec remise trois jetons du sac de la façon suivante : après avoir tiré un jeton du sac et noté sa couleur, on remet le jeton tiré dans le sac.
1. Dénombrer tous les résultats possibles à l’issue de ce tirage.
2. Combien y en a-t-il contenant exactement 1 jeton vert ?
3. Combien y en a-t-il contenant exactement 2 jetons verts ?
4. Combien y en a-t-il contenant exactement 1 jeton vert et 2 jetons noirs ?
Exercice 2
Un sac contient quatre jetons : un vert, un noir, un rouge et un gris.
On tire successivement et sans remise trois jetons du sac de la façon suivante : après avoir tiré un jeton du sac et noté sa couleur, on ne le remet pas dans le sac.
1. Dénombrer tous les résultats possibles à l’issue de ce tirage.
2. Combien y en a-t-il contenant le jeton vert ?
3. Combien y en a-t-il contenant le jeton vert, le jeton rouge et le jeton gris ?
Exercice 3
On dispose de deux dés, l’un noir (N) dont trois faces portent 1 point, deux faces portent 3 points et une face porte 5 points ; et l’autre rouge (R) dont deux faces portent 2 points, deux faces portent 4 points et deux faces portent 6 points.
On lance simultanément les deux dés et on s’intéresse à la somme S des points marqués sur la face supérieure.
1. A l’aide d’un tableau, déterminer les valeurs possibles distinctes de S.
2. De combien de façons différentes peut-on obtenir une valeur de S égale à 7 ?
Exercice 4
Un élève achète une canette dans une boutique qui coûte 300F ; il donne au boutiquier 1000F. Ce dernier ne possède que des pièces de 50F, de 100F, de 200F et de 500F pour lui rendre la monnaie.
De combien de façon peut-il rendre la monnaie à l’élève ?
Exercice 5
1. Dénombrer les anagrammes distinctes du mot GARÇON.
2. Dénombrer les anagrammes distinctes du mot FILLE.
Exercice 6
La figure ci-dessous représente six villes A, B, C ,D, E et F ainsi que les routes les reliant.
1. Combien y a-t-il de chemins menant de A à F sans passer deux fois par la même ville ?
2. Combien y a-t-il de chemins menant de A à F en passant par B et E sans passer deux fois par la même ville ?
Exercice 7
1. Combien peut-il y avoir au plus de numéros de téléphone fixe en Côte d’Ivoire avec notre système de numérotation à huit chiffres ?
2. Parmi ces numéros, combien
a) sont composés de chiffres distincts ?
b) contiennent au moins une fois le chiffre 0 ?
c) contiennent exactement trois fois le chiffre 0 ?
Exercice 8
Dix-huit chevaux sont au départ du tiercé.
1. De combien de façon peut-on jouer le tiercé au hasard ?
2. Pour un tiercé gagnant (dans l’ordre), combien y en a-t-il où figure le n° 13 ?
Exercice 9
Pour se rendre à son travail, un automobiliste traverse successivement quatre carrefours avec feux. Chaque feu peut être rouge (R), orange (O) ou vert (V).
On appelle trajet de l’automobiliste un ensemble ordonné de quatre lettres choisies parmi R, O et V : par exemple, VRVO.
1.Combien existe-t-il de trajets possibles ? 2. Combien y a-t-il de trajets pour lesquels :
a) les deux premiers feux sont rouges ?
b) exactement deux feux sont rouges ?
Exercice 10
Lors d’un examen, un questionnaire à choix multiples (Q.C.M) autorisant une seule réponse par question, comprend 5 questions. Pour chaque question, on propose 4 réponses possibles dont une seule est exacte.
1. De combien de façons peut-on répondre à ce questionnaire ?
2. De combien de façons peut-on répondre à ce questionnaire :
a) s’il répond correctement à la première question et faux aux autres questions ?
b) s’il répond correctement à une seule question ?
b) s’il répond correctement à exactement deux questions ?
Exercice 11
En informatique, on utilise le système binaire pour coder les caractères.
Un bit est un élément qui prend la valeur 0 ou la valeur 1.
Avec 8 chiffres binaires (un octet), combien de caractères peut-on coder ?
Exercice 12
Dans une classe de 1ère , il y a 40 élèves dont 30 filles.
On constitue le bureau composé d’un président, d’un secrétaire et d’un trésorier.
1. Combien y a-t-il de bureaux possibles ? 2. Combien y en a-t-il où le président est une fille ?
3. Combien y en a-t-il où le bureau ne comprend que deux filles ?
Exercice 13
1. Combien y a-t-il de nombres de cinq chiffres ?
2. Parmi ces nombres :
a) combien sont pairs ?
b) combien sont composés de chiffres distincts ?
c) combien sont composés exactement de deux chiffres identiques ?
Exercice 14
Dans une classe de 1ère A, il y a 20 élèves dont 8 filles.
On constitue un groupe de cinq élèves pour le balayage hebdomadaire de la classe.
1. De combien de manières peut-on former ce groupe ?
2. Combien y en a-t-il si le groupe est composé exactement de trois filles ?
3. Combien y en a-t-il si le groupe comprend au moins une fille ?
4. Dans cette classe, il y a deux élèves qui ne souhaitent pas faire partie du même groupe.
Combien de groupes peut-on constituer de telle façon que ces deux élèves ne se retrouvent pas ensemble ?
Exercice 15
Au service du personnel, on compte 7 célibataires parmi les 30 employés. On désire faire un sondage : pour cela on choisit un échantillon de quatre personnes dans ce service.
1. Quel est le nombre d’échantillons différents possibles ?
2. Quel est le nombre d’échantillons ne contenant aucun célibataire ?
3. Quel est le nombre d’échantillons contenant au moins un célibataire ?
Exercice 16
Un sac contient 10 jetons :
4 jetons blancs numérotés de 1 à 4 ;
4 jetons rouges numérotés de 1 à 4 ;
2 jetons verts numérotés de 1 à 2 .
On tire simultanément 3 jetons du sac.
1. Quel est le nombre de tirages possibles ? 2. Quel est le nombre de tirages :
a) ne contenant que des numéros identiques ?
b) ne contenant que des jetons de la même couleur ?
c) contenant exactement 2 jetons blancs ?
d) contenant au moins un jeton blanc ?
e) contenant au plus 2 jetons blancs ?
Exercice 17
Quatre garçons et deux filles s’assoient sur un banc.
1. Quel est le nombre de dispositions possibles ?
2. Même question si les garçons sont d’un côté et les filles de l’autre.
3. Même question si chaque fille est intercalée entre deux garçons.
4. Même question si les filles veulent rester l’une à côté de l’autre.
Exercice 18
Quatre garçons et deux filles s’assoient autour d’une table ronde.
1. Quel est le nombre de dispositions possibles ?
2. Même question si les garçons sont d’un côté et les filles de l’autre.
Exercice 19
Le club informatique d’un lycée se compose :
– de 10 élèves de Seconde dont 7 proviennent d’une série scientifique;
– de 15 élèves de Première dont 5 proviennent d’une série scientifique;
– de 10 élèves de Terminale dont 8 proviennent d’une série scientifique.
On offre à trois élèves de ce club un voyage gratuit en Inde pour visiter un lycée d’excellence.
Pour désigner les heureux bénéficiaires, on choisit trois élèves du club informatique.
1. Combien y a-t-il de choix possibles ?
2. Démontrer que le nombre de choix où un seulement des trois élèves choisis est en Seconde est égal à 3000.
3. Combien y a-t-il de choix possibles
où :
a) les trois élèves choisis appartiennent à même niveau scolaire ?
b) deux élèves exactement proviennent d’une série scientifique ?
c) au moins l’un des élèves choisis est en Première et provient d’une série scientifique ?
Exercice 20
Le code de la porte d’entrée d’un immeuble est composé d’une lettre suivie de deux chiffres (par exemple A02, ou G40 ou U33).
On rappelle que l’alphabet comporte 26 lettres dont 6 voyelles.
1. Combien y a-t-il de codes possibles ?
2. Combien y en a-t-il où
a) la lettre est un S ?
b) la lettre est une voyelle ?
c) il y a exactement un chiffre impair dans le code ?
d) il y a au moins un chiffre impair dans le code ?
Exercice 21
On se propose de tester l’efficacité d’une serrure à code et d’un système d’alarme.
Une porte est munie d’un dispositif portant les touches 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 et A, B, C, D. La porte s’ouvre lorsqu’on frappe dans l’ordre trois chiffres et deux lettres qui forment un code. Les chiffres sont nécessairement distincts, les lettres non.
1.Quel est le nombre de codes possibles ?
2. Déterminer le nombre de codes répondant à chacun des critères suivants :
a) les trois chiffres sont pairs ;
b) les deux lettres sont identiques ;
c) le code contient deux chiffres impairs.
Exercice 22
Les êtres humains sont répartis, suivant la composition du sang en quatre groupes : O, A, B, AB.
Dans une assemblée de dix donneurs de sang, quatre personnes appartiennent au groupe O, trois au groupe A, deux au groupe B et une au groupe AB.
On choisit au hasard trois personnes de l’assemblée.
1. Combien y a-t-il de choix possibles ?
2. Combien y en a-t-il où les trois personnes appartiennent au même groupe sanguin ?
3. Combien y en a-t-il où deux personnes exactement appartiennent au même groupe sanguin ?
4. Combien y en a-t-il où deux personnes au moins appartiennent au même groupe sanguin ?
Exercice 23
Un libraire dispose de 20 livres d’auteurs différents qu’il veut répartir dans six tiroirs numérotés de 1 à 6 (chaque tiroir peut contenir de zéro à 20 livres).
1. Combien y a-t-il de rangements possibles ?
2. Combien y a-t-il de rangements possibles où le tiroir numéro 1 contient deux livres exactement ?
3. Combien y a-t-il de rangements possibles où un tiroir contient les vingt livres ?
4. Combien y a-t-il de rangements possibles où chaque tiroir contient au moins un livre ?
Exercice 24
On jette deux dés cubiques A et B dont les faces sont numérotées de 1 à 6.
On note S la somme des points marqués sur la face supérieure de chaque dé.
1. Combien y a-t-il de possibilités où S est égal à 7 ?
2. Combien y a-t-il de possibilités où la somme des points est strictement inférieure à 10 ?
Exercice 25
On jette trois dés cubiques A, B et C dont les faces sont numérotées de 1 à 6.
Combien y a-t-il de possibilités d’obtenir :
a) exactement un as ?
b) au moins un as ?
c) trois faces identiques ?
d) exactement deux faces identiques ?
e) une somme des points égale à 12 ?
Exercice 26
On veut construire un tableau de mots croisés ayant cinq lignes et cinq colonnes comme ci-dessous.
On noircit au hasard huit des 25 cases du tableau.
1. De combien de manières peut-on choisir les huit cases noires dans le tableau ?
2. De combien de manières peut-on obtenir un tableau constitué : une case noire au centre et une à chacun des sommets ?
Exercice 27
Lors de la préparation d’un concours, un élève n’a étudié que 8 des 12 leçons proposées. On a mis 12 papiers contenant chacun une question portant respectivement sur les 12 leçons dans une urne.
Le candidat tire simultanément 4 papiers.
1. Combien y a-t-il de tirages où le candidat ne connait aucun de ces sujets ?
2. Combien y a-t-il de tirages où le candidat connait les quatre sujets ?
3. Combien y a-t-il de tirages où le candidat connait un et un seul de ces sujets ?
4. Combien y a-t-il de tirages où le candidat connait au moins de ces sujets ?
Exercice 28
Afin de donner des notes de rattrapage, le professeur de mathématiques interroge l’un après cinq élèves dont deux garçons.
1. De combien de manières peut-il procéder ?
2. De combien de manières peut-il procéder si le premier élève interrogé doit être une fille ?
Exercice 29
Chacune des trois promotions de la seconde à la terminale du lycée mandate 5 élèves à l’élection du bureau des représentants des élèves, bureau comprenant un président, un secrétaire et un trésorier. Tout élève mandaté est susceptible d’occuper un des postes et un seul du bureau.
1. Justifier qu’il y a 2730 bureaux possibles que l’on peut élire.
2. Combien y en a-t-il :
a) où le président est un élève de terminale ?
b) comprenant exactement un élève de terminale ?
c) comprenant uniquement des élèves de terminale ?
d) comprenant un élève de chaque promotion ?
Exercice 30
On prend sept cartons identiques. Sur chaque carton on écrit une, et une seule, des sept lettres du mot AFRIQUE; chacune des lettres de ce mot est utilisée.
On place ces cartons dans une urne. On les en extrait au hasard un à un, et on note les lettres obtenues dans l’ordre de leur apparition afin de former un mot.
1. Combien y a-t-il de résultats possibles ?
2. Combien y en a-t-il si les trois premières lettres apparues sont dans cet ordre A, F, R ?
Exercice 31
A l’écrit d’un concours, on doit traiter 8 exercices au choix parmi 10.
1. Combien y a-t-il de choix possibles ?
2. Combien y en a-t-il si les deux premiers exercices sont obligatoires.
Exercice 32
Combien y a-t-il de mots de 5 lettres distinctes prises parmi {A, B, C, … , X, Y, Z} qui finissent par deux voyelles ?
Exercice 33
Une banque distribue à ses clients des cartes magnétiques dont le code est formé de quatre chiffres, (par exemple 0553, 4561, 8888).
Combien la banque peut-elle distribuer de cartes magnétiques ayant des codes distincts ?
Exercice 34
Un comité de dix personnes se propose d’élire un président, un vice-président et un secrétaire général. Il y a cinq femmes et cinq hommes. Le cumul des mandats est interdit.
1. Combien y a-t-il de comités possibles ?
2. Combien y en a-t-il où le président est une fille ?
3. Combien y en a-t-il où le président et le vice-président sont de sexe différent ?
4. Combien y en a-t-il où le président et le vice-président sont du même sexe ?
Exercice 35
Combien y a-t-il de nombres de quatre chiffres dans lesquels 0 apparaît exactement deux fois ?
Exercice 36
Dans une classe, chaque élève étudie au moins l’une des 3 langues suivantes : Anglais, Allemand, Espagnol.
Combien y’ a-t-il d’élèves dans la classe sachant que :
5 élèves étudient les 3 langues ;
7 élèves étudient l’anglais et l’allemand ;
8 élèves étudient l’anglais et l’espagnol ;
9 élèves étudient l’allemand et l’espagnol ;
20 élèves font de l’anglais ;
15 élèves font de l’allemand ;
18 élèves font de l’espagnol.
Exercice 37
Dans une classe de 20 élèves (12 garçons et 8 filles), on décide de former un comité composé d’un président, d’un secrétaire et d’un trésorier.
1. Combien y-a-t-il de comités possibles?
2. Combien y-a-t-il de comités comprenant une seule fille ?
3. Combien y-a-t-il de comités comprenant au moins une fille ?
4. Mr X et Melle Y ne veulent pas siéger ensemble.
Combien de comités peut-on former?
Exercice 38
Un agent de la CIE est chargé de distribuer 7 factures d’électricité dans 7 appartements d’un immeuble, une facture par appartement. Comme il fait très sombre, il décide de déposer au hasard une facture devant chaque appartement.
1. Déterminer le nombre de distributions possibles.
2. On suppose qu’il est sûr de bien remettre la facture du 1er appartement.
Combien y-a-t-il de distributions possibles?
3.On suppose qu’il est sûr de bien distribuer les factures du 1er et du dernier appartement.
Combien y-a-t-il de distributions possibles?
