Exercices – Transformations du plan – 1ère S
Exercice 1
Répondre par Vrai ou par Faux à chacune des affirmations suivantes, puis justifier ta réponse.
1) La composée de deux rotations de même centre est une rotation.
2) Deux homothéties de même centre commutent
3) r_{(J,\frac{-\pi}{2})}\text{or}_{(J,\frac{-\pi}{2})}=r(J,\pi)
4) Deux rotations de même centre commutent.
5) Pour tous points distincts A, B C, il existe une unique rotation de centre A qui envoie B en C.
6) Pour tous points distincts A, B, C, il existe une unique homothétie de centre A qui envoie B en C
Exercice 2
Dans chacun des cas suivants, indique le rapport de l’homothétie de centre A qui transforme B en C.
1) \overrightarrow{BA}=-\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AC}
2) 2\overrightarrow{AB}=3\overrightarrow{AC}
3) 3\overrightarrow{BA}=-5\overrightarrow{BC}
Exercice 3
Soit ABC un triangle isocèle rectangle en A de sens direct. On appelle I, J et O les milieux respectifs des côtés [AC], [AB] et [CB] Soit K le point tel que :
\overrightarrow{AK}=\dfrac{-\sqrt2}{2}\overrightarrow{AC}
A l’aide des données ci-dessus, complète les phrases suivantes :
1) Le quart de tour indirect de centre……. envoie C en B.
2) L’homothétie qui envoie la droite (IO) sur la droite (AB) a pour centre……. et pour rapport…….
3) Le quart de tour direct de centre ……..envoie A en A.
4) L’homothétie qui envoie A en J et C en O a pour centre……. et pour rapport ……..
5) La rotation d’angle \pi, de centre …….envoie B en C.
6) L’image de la droite (OA) par l’homothétie de centre J et rapport -1 est la droite parallèle à (OA) passant par le point ……
7) Le quart de tour indirect de centre……..envoie J en I.
8) La rotation d’angle……… et de centre A envoie O en ……
9) Le quart de tour direct de centre J transforme la droite (BC) en la droite …..
Exercice 4
Soit A et B deux points distincts du plan. On associe à tout point M du plan, le point M’ barycentre de (A,1), (B,1) et (M,-3). Démontre que l’application f du plan dans le plan qui à M associe M’ est une homothétie et précise son centre et son rapport.
Exercice 5
Soit un triangle équilatéral ABC de sens direct.
1) Construire les points
N=r_{(A,\frac{\pi}{6})}\text{or}_{(A,\frac{\pi}{6})}(B) et M=r_{(A,\frac{\pi}{6})}\text{or}_{(A,\frac{\pi}{6})}(C)
2) Déduire les mesures des angles orientés
(\widehat{\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AN}}) et (\widehat{\overrightarrow{AN},\overrightarrow{AM}})
Exercice 6
Sur la figure ci-après, EA = FB = GC, \text{mes}\widehat{ EIF} = 88° et \text{mes}\widehat{ GFB}=44°
1) Justifie qu’il existe une unique rotation f qui applique E sur F et A sur B.
Soit O le centre de cette rotation.
2) Construis le point O.
On admet qu’il existe une unique rotation g de centre O qui envoie F en G et B en C.
3) Détermine en radian les mesures des angles orientés des rotations f et g.
4) Démontre que g\text{o}f est une rotation et détermine ses éléments caractéristiques.
Exercice 7
On donne deux segments distincts [AB] et (PQ] avec AB=PQ
1) On suppose que ABQP est un rectangle.
a) Construis le centre O de la rotation r qui envoie A en Q et B en P.
b) Détermine une mesure en radian de l’angle orienté de cette rotation.
2) On suppose que ABPQ est un trapèze isocèle de bases [AQ] et [BP]
a) Construis le centre o de la rotation r qui envoie A en Q et B en P.
b) Détermine une mesure en radian de l’angle orienté de cette rotation
Exercice 8
Soit ABC un triangle. Soit I le milieu de [BC]. La droite parallèle à (AB) passant par I, coupe (AC) en J.
1) Détermine le centre et le rapport de l’homothétie h qui envoie B en I et A en J.
Justifie ta réponse.
2.a) Soit O le point d’intersection des droites (AI) et (BJ) et h’ l’homothétie de centre o qui envoie A en I.
Détermine h’(B)
b) Détermine le rapport de h’.
Exercice 9
On donne trois points O, A et B trois points alignés tels que :
\overrightarrow{OB}=2\overrightarrow{OA} et \overrightarrow{OC} = -\dfrac{1}{2}\overrightarrow{OA}
1) Détermine le rapport de l’homothétie h de centre O qui envoie A en C.
2) Écris l’homothétie h comme la composée de deux homothéties de même centre que h.
Exercice 10
On donne les relations suivantes :
\overrightarrow{AQ}=3\overrightarrow{AP} et 5\overrightarrow{AF} +2\overrightarrow{FQ} =\overrightarrow{0}.
1) Démontre que les quatre points A, F, P et Q sont alignés
2) Détermine :
a) Le rapport de l’homothétie de centre A qui applique P sur Q.
b) Le rapport de l’homothétie de centre Q qui applique F sur A.
c) Le centre de l’homothétie de rapport –\frac{3}{2} applique F sur Q.
d) L’image du point F par l’homothétie de centre A et de rapport –\frac{3}{2}
Exercice 11
Soit ci-dessous ABC un triangle équilatéral. Soit I le milieu de [AB].
1) Construire les points
A_1 = h_{(I,-2)} (A) ;
B_1 = h_{(I,-2)} (B)
et C_1 = h_{(I,-2)} (C).
2) Démontrer que h(I, \dfrac{1}{2})\text{o}h(I;-2) est la symétrie de centre I
3) Démontre que B=h_{(I,\frac{1}{2})} (A_1) et A=h_{(I,\frac{1}{2})} (B_1).
4) Soit G le point tel que G = h(I, \dfrac{1}{2}) (B_1)
Démontre que le triangle A1B1C1, est équilatéral.
5) Démontre que le quadrilatère AGBC est un losange.
Exercice 12
1) Construis un triangle rectangle ABC tel que \text{mes}(\widehat{\overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AB}}) = \dfrac{\pi}{6} et I milieu de [AB] , puis construis les points E, F, G, H, J et K tels que :
E=h(I,–\dfrac{1}{2})(A)~;~ F=h(I,–\dfrac{1}{2})(B);
G=h(I,–\dfrac{1}{2})(C)~;~ H=h_{(I;-3)}(E);
J=h_{(I;-3)} (F) et K = h_{(I;-3)}(G)
2) Détermine la nature et les éléments caractéristiques de l’application
f = h_{(I;-3)} \text{o}h_{(I;-\frac{1}{2})}
3) Justifie que le triangle HJK est rectangle.
4) On admet que l’aire du triangle ABC est égale à 12 cm2. Détermine l’aire du triangle HJK.
Exercice 13
On considère un cercle (C) de centre O et A un point de (C). M un point de (C), distinct de A.
Détermine et construis l’ensemble des milieux des segments [AM] lorsque le point M décrit le cercle (C).
Exercice 14
Soit (D) une droite fixe, A un point fixe n’appartenant pas à la droite (D). M un point variable de (D).
1) Construis le point N tel que le triangle MAN soit isocèle rectangle de sens direct de sommet A.
2) Détermine le lieu géométrique du point N.
Exercice 15
Soit un cercle (C) de centre O et un point A n’appartenant pas à ce cercle. A chaque point M de (C), on associe le point M’ tel que AMM’ soit un triangle équilatéral de sens direct.
Quel est le lieu géométrique des points M’ ?
Exercice 16
On considère deux points distincts A et B. On désigne par J le barycentre de (A ; -4) et (B ; 1) tout point M du plan, soit I le milieu du segment [AM] et par G le barycentre des points pondérés (A ; -4); (B ; 1) et (M ; 1).
1) Démontre que I est l’image de M par une homothétie à caractériser
2) Déduire l’ensemble des points I lorsque M décrit le cercle de diamètre [AB]
3) Démontrer que G est l’image de M par une homothétie à caractériser.
4) Déduire l’ensemble des points G lorsque M décrit la droite perpendiculaire à (AB) en B.
Exercice 17
Soit deux droites parallèles (D) et (D’) et un point O n’appartenant ni à (D), ni à (D’).
Construire un triangle OEF équilatéral direct tel que : E appartient à (D) et F appartient à (D). Donne un programme de construction (D)
Exercice 18
Sur la figure ci-dessous, ABCD est un rectangle, ADGH et AEFB sont des carrés.
Il s’agit de démontrer que les droites (AC), (EG) et (FH) sont concourantes.
Notons I le point d’intersection des droites (EG) et FH). Soit h_1, l’homothétie de centre I qui envoie G en et h_2, l’homothétie de centre I qui envoie F en H.
1) Détermine la nature et les éléments caractéristiques le l’application h_2\text{o}h_1 puis justifie que h_2\text{o}h_1=h_1\text{o}h_2.
2. Détermine l’image de la droite (CG) par chacune des applications h_1 et h_2\text{o}h_1.
3. Détermine l’image de la droite (CF) par l’application h_1\text{o}h_2.
4. Déduis de ce précède que la droite (AC) contient le point I.
Exercice 19
Soit O et A deux points distincts.
1) On pose r=(O;\dfrac{2\pi}{3};
B=r(A) et C=r\text{o}r(A) .
a) Construis les points B et C.
2) Démontre que le triangle ABC est isocèle équilatéral de sens direct.
Exercice 20
Dans la figure ci-dessous, la droite (AB’) est parallèle à la droite (BC’) et la droite (BA’) est parallèle à la droite (CB’).
Il s’agit de démontrer que les droites (AA’) et (CC’) sont parallèles.
On désigne par h_1 et h_2 les homothéties de centre O telles que h_1(A)=B et h_2(B)=C.
1) Détermine les images de A par h_2\text{o}h_1 et de A’ par h_1\text{o}h_2
2) Déduire le résultat annoncé..
Exercice 21
Construire un cercle passant par un point donné P et tangent à deux droites sécantes en O.
Exercice 22
On considère un trapèze tel que (AB) est parallèle à (CD). On désigne par P un point de [AD] et par Q le point d’intersection de (BC) avec la parallèle à (PB) passant par D.
Démontrer que la droite (AQ) est parallèle à la droite (PC)
Exercice 23
Monsieur M.G.E est un professeur de mathématique passionné de peinture. Il présente à ses élèves une maquette d’un tableau en cours de réalisation. Après une analyse de cette maquette, le professeur arrive à la conclusion qu’on observe trois carrés et que le carré rouge a été obtenu à partir du carré bleu par la composée de deux homothéties de même centre. Curieux, un groupe d’élèves décident d’effectuer des recherches afin de mettre en évidence ces deux homothéties. Il te sollicitent.
Déterminer les éléments caractéristiques de ces deux homothéties.
Exercice 24
La coopérative scolaire du lycée moderne veut délimiter sur sa parcelle dont la forme est un secteur de disque, un carré pour son jardin.
Ce carré est tel que les points I et J appartiennent aux côtés [OA] et [OB] respectivement et que K et L appartiennent à l’arc de cercle AB.
Embarrassé, le président sollicite ta classe et souhaite faire une analyse de la figure souhaitée avant toute construction
Partie A : Analyse de la figure souhaitée
1) a) Démontre que la médiatrice de [IJ] passe par O.
b) Déduire que les droites (IJ) et (AB) sont parallèles.
2) Soit h l’homothétie de centre O qui transforme I en A. Détermine l’image de J par h.
Construire les images C et D des points K et L respectivement J par h, et démontre que ABCD est un carré.
3) Déduire qu’il ne peut pas exister deux carrés différents vérifiant les mêmes conditions que le carré IJKL.
Partie B : Construction du carré
1) Reproduis le secteur de disque OAB.
Dans le demi-plan de frontière (AB) qui ne contient pas les points C et D tels que ABCD soit un carré, puis le point d’intersection L de la droite (OD) avec l’arc de cercle AB.
2) Soit h l’homothétie de centre o qui transforme D en L. Construire les images respectives I, J et K des points A, B et C par h Démontrer que IJKL est un carré vérifiant les conditions imposées.
