Exercices – Equations-Inéquations-Systèmes – 1ère S

Exercice 1 

Résoudre dans \R les équations suivantes :
a) (3  + 1)( x – 1) = 0 ;
b) x(3x  + 1) = 0  ;
c)  (2x-3)^2 – x^2 = 0  ;
d)  16-(x-1)^2= 0 .

Exercice 2 

Résoudre dans \R les inéquations suivantes :
a) (-2x  + 1)( x – 1) > 0  ;
b) -3x(8x  + 6) \geq 0  ;
c)  (2x-3)^2 – (1+4x)^2 < 0  ;
d)  16-x^2 \leq 0  .

Exercice 3 

Résoudre dans \R :
a)  \dfrac{-2x+3}{-8x+12} = 0 ;        

b)  \dfrac{x+3}{1-x} = 0 ;

c)  \dfrac{3x+12}{2x+5} = 0 ;          

d)  \dfrac{7}{2x-4} = 0 ;

e)  \dfrac{2x+3}{7} \leq 0 ;        

f)  \dfrac{3x+1}{x+1} \geq 0 ;            

g)  \dfrac{-2x+8}{-x+5} < 0 ;         

h)  \dfrac{1}{3x-4} > 0 ;

i)  \dfrac{-3}{5-x} < 0 ;              

j)  \dfrac{-4x}{1-x} = 0 ;

k)  \dfrac{2x+7}{4x} = 0 ;           

l)  \dfrac{-3x}{x-4} \geq 0 ;

m)  \dfrac{2x+3}{7-x} \leq 0 ;         

n)  \dfrac{3x+1}{4x+18} \geq 0 ;            

p) 2- \dfrac{5}{3+4x} = 0 ;    

q) 1- \dfrac{1}{3x-4} > 0 .  

Exercice 4

Dans chacun des cas suivants, factoriser si possible le polynôme du second degré P(x) :
a)  P(x)=5x^2+x-6 ;
b)  P(x)=x^2+7x+12 ;
c)  P(x)=-2x^2-3x+2 ;
d) P(x)=x^2+5x+12  ;
e) P(x)=9x^2-24x+16  ;
f) P(x)=x^2-x-1  ;
g) P(x)=4-9x^2  ;
h) P(x)=5x-x^2-4  ;
i) P(x)=-x^2-3x  ;
j) P(x)=x^2+x-1  ;
k) P(x)=2x^2-4x-4  ;
l) P(x)=3x^2-x-1  ;
m) P(x)=3x^2+4  ;
n) P(x)=-x^2+20x-100 .

Exercice 5

Résoudre dans \R les équations suivantes:
a)  5x^2 +4 = 0 ;
b) 4x^2-\frac{25}{4} = 0 ;
c) -3x^2 + 7x = 0  ;
d) x^2-x-12= 0  ;
e) 2x^2+5x+3= 0 ;
f) -x^2+8x-7= 0 ;
g) -3x^2-x-12= 0  ;
h) x^2+x-1= 0 ;
i) 1-4x^2= 0 ;
j)  4x^2-x-3= 0 ;
k) x^2+4x+7= 0 ;
l) -3x^2+7x+4= 0  ;
m) 4x^2-x+3= 0 ;
n)  -4x^2+10x-6= 0 ;
p)  25-(2x-7)^2= 0 ;
r)  (4-3x)^2= 0 ;
s)  3x^2-18x+27= 0 ;
t) -3x(2-5x)= 0 .

Exercice 6

Déterminer deux nombres dont la somme est égale à 212 et le produit égal à 9555.

Exercice 7

Déterminer les dimensions d’un rectangle sachant que son aire est égale à 221 cm² et son périmètre égal à 60 cm.

Exercice 8 

Étudier, suivant les valeurs de x, le signe du polynôme f(x) dans chaque cas : 
a) f(x) = -2x² + 7x – 5 ;   
b) f(x) = x² + 3x + 1 ;  
c) f(x) = 1 – x² ;
d) f(x) = 3x² – 6x + 5 ;    
e) f(x) =  -4x² + 6x ;
f) f(x) = -3x^2+4x-1 ;
g) f(x) =-4x^2+12x-9  ;
h) f(x) =(2-3x)(x+1)  ;
i) f(x)= 4x-x^2+5 ;
j) f(x)= 4x-x^2-5 .

Exercice 9

Résoudre dans \R les inéquations suivantes :
a) x^2-2< 0 ;
b) 3x^2+1< 0 ;
c) -x^2-5 0 ;
d) 4x^2+16 \geq 0 ;
e) 4x^2+2x-2< 0 ;
f) 2x^2+5x+3\leq 0 ;
g) -x^2+8x-7 > 0 ;
h) -3x^2-x-12< 0 ;
i) x^2+x-1 > 0 ;
j)  -x^2-x+1 \geq 0 ;
k)  x^2-2x+3 > 0 ;
l)  x^2+4x-12\leq 0 ;
m) 1-x^2\leq 0 ;
n)  4<3x^2 ;
p)  3x \geq 4x^2 ;
q) 2x^2+3x+1< 0 ;
r)  x^2-3x-7\leq 0 ;
s)  4x^2>-3 ;
t)   x-x^2< 0  ;   
u)  -2x^2-2x+12\leq 0  ;
v) -2x^2-10x+12> 0 ;
w)  3x^2-12x+12 \leq 0 ;
x)  25-(2x-7)^2\geq 0 ;
z)  (1-2x)(3x-1)< 0  .

Exercice 10

Soit P(x)  le polynôme défini par :
P(x) =x^{-3}+x^2-17x+15 .
1) Calculer P(3).
2) Déterminer les nombres réels a, b et c tels que :
P(x)=(x-3)(ax^3+bx+c) .
3) Résoudre dans \R :
a) P(x)=0 ;
b) P(x)\leq 0

Exercice 11

Soit P(x) le polynôme défini par :
P(x)=2x^3+3x^2-14x .
1) Justifier que pour tout nombre réel x :
P(x)=x(x-2)(2x+7) .
2. Résoudre dans \R, l’inéquation
P(x)>0

Exercice 12

Soit f(x) le polynôme défini par :
f(x)=-2x^3+5x^2-5x+3.
1) Justifier que pour tout nombre réel x :
f(x) = (2x-3)(-x^2+x-1).
2) Résoudre dans \R, l’équation f(x)=0
3. Résoudre dans \R, l’inéquation f(x)\geq 0

Exercice 13

1. Résoudre dans \R, l’équation :
-3x^2+x+4=0
2. Soit f(x) le polynôme défini par :
f(x)=-3x^3-5x^2+6x+8.
a) Justifier que pour tout nombre réel :
f(x)=(x+2)(-3x^2+x+4).
b) Résoudre dans \R, l’équation f(x)=0,
c) Résoudre dans \R, l’inéquation f(x)>0,

Exercice 14

Un parent d’élèves achète des cahiers pour 8 000 F.
Avec 4 cahiers de plus, pour le même prix total, chaque cahier aurait coûté 100 F de moins.
Combien de cahiers ce parent d’élèves  a- t-il achetés ?

Exercice 15 

Il y a tout juste un an, Laciné avait 8 fois l’âge de son fils.
Aujourd’hui son âge est le carré de celui de son fils.
Trouvez son âge.

Exercice 16

Le produit de l’âge de Clément dans 10 ans par celui qu’il avait il y a 10 ans est égal à 44.
Quel est l’âge de Clément ?

Exercice 17

Avec 5 km/h de plus le train mettrait 2 heures de moins sur un trajet de 300 km. 
Quelle est sa vitesse?
Rappel fondamental  L =  v.T

Exercice 18

Les longueurs des côtés d’un triangle rectangle sont des nombres consécutifs.
Quels sont ces nombres ?

Exercice 19

Un champ de forme rectangulaire a pour aire 308 m² et la longueur mesure 8 mètres de plus que la largeur.
Quelles sont les dimensions de ce champ ?

Exercice 20 

La somme de l’âge de Sita et de sa petite sœur est égale à 29 et le produit de leur âge est égale à 285.
Quel est l’âge de la petite sœur de Sita ?

Exercice 21

Une ficelle longue de 89 cm est fixée à ses extrémités par deux clous A et B distants de 65 cm.

Déterminer la longueur AC pour que  le triangle ABC soit rectangle en C.

Exercice 22

Dans chaque ci-dessous,  représenter  graphiquement l’ensemble ses solutions dans \R \times \R des systèmes d’inéquations  suivants :

a) \begin{cases} x>0 \\ -2x+y<0 \end{cases}

b) \begin{cases} 2x+3y-6\geq0 \\ -x+y<0 \end{cases}

c) \begin{cases} x-1\leq0 \\ -x+y+2\geq0 \end{cases}

d) \begin{cases} 2x+y-3>0 \\ -x+y+5<0 \end{cases}

e) \begin{cases} 3x-5y-10\geq0 \\ y-3x+2<0 \end{cases}

f) \begin{cases} 4x-7y-6\leq0 \\ -x-y+2\geq0 \end{cases}

g) \begin{cases} x\geq-1 \\ x+y<2 \end{cases}

h) \begin{cases} y\geq1 \\ y-3x<0 \end{cases}

i) \begin{cases} 2x+y\leq0 \\ x-y\geq1 \end{cases}

j) \begin{cases} y+4\geq0 \\ 2x\leq5+y \end{cases}

k) \begin{cases} 2x+3\leq0 \\ x+y\geq0 \end{cases}

l) \begin{cases} y\geq3-x \\ y<2x+3 \end{cases}

m) \begin{cases} y\leq0 \\ x\geq0 \end{cases}

Exercice 23

Le responsable d’une cantine scolaire  doit acheter au minimum 70 assiettes plates et 40 assiettes creuses .
Deux grossistes lui propose :
Le premier : un kit  A de 10 assiettes plates et de 10 assiettes creuses à 10 000 FCFA.
Le deuxième : un kit B de 20 assiettes  plates et 10 assiettes creuses à 12 500 FCFA.
On désigne par  le nombre de kits A  et y le nombre de kits B qu’il doit acheter .

1) Justifier que x et y vérifie le système 
\begin{cases} x\geq0~~ \text{et} ~~y\geq0 \\ x+2y\geq7 \\ x+y>4 \end{cases}.
2) Représenter graphiquement l’ensemble des solutions de (S) .
3) On note D la dépense occasionnée par l’achat de  kits de A et y kits de B .
a) Etablir que D = 10000x +12500y.
b) Tracer la droite représentant D pour D = 12 500.
c) Pour quelle valeur de x et de y  D est minimale ?
d) Calculer  cette valeur minimale .

Exercice 24

Une entreprise fabrique deux types de liquides A et B.
Le réseau commercial ne peut pas écouler plus  de 100 litres par mois.
La fabrication du liquide A nécessite 3,5 heures de travail et celle du liquide B en nécessite 5 heures.
 L’entreprise dispose au maximum de    452 heures par mois.
 Le prix de vente est de 900 F pour un litre de A et de 1000 F pour un litre de B.
On désigne par x la production mensuelle de liquide A et par y la production mensuelle de liquide B, x et y exprimés en litres.
On se propose de déterminer la production mensuelle de A et de B qui donnera un chiffre d’affaire maximal.
1) Démontrer que les contraintes se traduisent par le système suivant :
\begin{cases} x\geq0 \\ y\geq0 \\ x+y\leq100 \\ 3,5x+5y\leq452 \end{cases}
2) Le plan étant rapporté à un repère orthonormé, représenter ces contraintes. 
3.a) Exprimer en fonction de x et de y, le chiffre d’affaire mensuel réalisé par la vente de x litres de A et  y litres de B.
b) Expliquer pourquoi, nous pouvons avoir la solution en résolvant :
\begin{cases} x+y=100 \\ 3,5x+5y=452 \end{cases}.
c) Résoudre ce système et calculer alors le chiffre d’affaire maximal.

Exercice 25

Après une première sélection à un concours, on fait subir aux candidats des épreuves de mathématiques et de sciences physiques  notées sur 20.
L’admission se fait alors aux conditions suivantes :
– toute note strictement inférieure à 8 à l’épreuve de mathématiques est éliminatoire ;
– toute note strictement inférieure à 10 à l’épreuve de sciences physiques est éliminatoire ;
– la somme de la note de sciences physiques et du double de la note de mathématiques doit être supérieure à 32.
1) On note respectivement x et y les notes obtenues aux épreuves de mathématiques et de sciences physiques par un candidat.
Donner le système de conditions sur x et y pour qu’un candidat soit admis.
2) Représenter graphiquement, dans un repère orthogonal, le système de conditions.
On hachurera ce qui ne convient pas.
3) Cinq candidats ont obtenu les résultats ci-dessous.
  

Placer sur le graphique les points de coordonnées (x ; y) représentant les résultats des cinq candidats. Quels sont les candidats qui seront admis ?

Exercice 26

Une couturière fabrique des pantalons suivant deux modèles A ou B.
Elle dispose de 15 m de tissu par semaine et travaille 40 heures par semaine.
Le modèle A nécessite 1 mètre de tissu et 4 heures de travail.
Le modèle B nécessite 1,50 mètre de tissu et 2 heures de travail.
On note x le nombre de pantalons du modèle A et y le nombre de pantalons du modèle B fabriqués par semaine.
1) Montrer que les productions hebdomadaires de la couturière sont soumises aux contraintes suivantes :
\begin{cases} x\geq0~~ \text{et} ~~y\geq0 \\ 2x+3y\leq30 \\ 2x+y\leq20 \end{cases}
2) Représenter graphiquement les contraintes de production dans un repère (O ; I, J ).
On choisira 1 cm comme unité.
3) Utiliser le graphique pour répondre aux questions a et b.
a) Si la couturière produit dans sa semaine 8 pantalons du modèle A, combien de pantalons du modèle B peut-elle produire ? (Donner toutes les solutions.)
b) Si la couturière produit dans sa semaine 8 pantalons du modèle B, combien de pantalons du modèle A peut-elle produire ? (Donner toutes les solutions.)
4) Sur un pantalon du modèle A, la couturière fait un bénéfice de 1500 FCA et sur un pantalon du modèle B, un bénéfice de 1000 FCFA. On suppose qu’elle vend toute sa production.
a) Exprimer, en fonction de  et de y, le bénéfice hebdomadaire B qu’elle peut réaliser.
b) Représenter, sur le graphique précédent, les couples (x ; y) qui permettent de réaliser un bénéfice de 15 000 FCFA.c) Déterminer graphiquement le nombre de pantalons de chaque modèle à fabriquer par semaine pour que le bénéfice soit le plus grand possible.
Préciser alors ce bénéfice.

Exercice 27

PARTIE A
1.a) Dans un repère orthonormé
(O ; I, J ), construire les droites (D) et (D’) d’équations respectives :
2x + y = 24 et 2x + 3y = 36.
b) Calculer les coordonnées du point K, intersection des droites (D) et (D’).
2) Déterminer graphiquement (en hachurant ce qui ne convient pas) l’ensemble des points M du plan dont les coordonnées (x  ; y) vérifient :
\begin{cases} x\geq0~~ \text{et} ~~0\leq y \leq 9 \\ 2x+y\leq24 \\ 2x+3y\leq36 \end{cases}

PARTIE B
Un artisan fabrique des portes de placard. Les unes sont en bois rouge, les autres en bois bété.
En raison de contraintes liées à l’approvisionnement, cet artisan ne peut pas produire plus de 9 portes en bois bété par semaine.
La fabrication d’une porte en bois rouge dure 4 h et nécessite 2m² de bois. Celle d’une porte en bois bété dure 2 h et nécessite 3m² de bois.
L’artisan ne travaille pas plus de 48 heures par semaine et il ne peut pas entreposer plus de 36m² de bois dans son atelier.
Soit x le nombre de portes en bois rouge fabriquées et y le nombre de portes en bois bété fabriquées par semaine
1) Déterminer, en justifiant les réponses, le système d’inéquations traduisant les contraintes de la production hebdomadaire de l’artisan.
2) Utiliser le graphique réalisé dans la partie A pour répondre aux questions suivantes.
a) Si l’artisan produit 3 portes en bois rouge, combien de portes en bois bété peut-il fabriquer ?
b) Si l’artisan produit 5 portes en bois bété, combien de portes en bois rouge peut-il fabriquer ?
3) L’artisan fait un bénéfice de 3 000 FCFA sur une porte en bois rouge et de 2 000 FCFA sur une porte en bois bété.
a) Exprimer en fonction de x et de y le bénéfice total réalisé, lorsque  portes en bois rouge et y portes en bois bété sont vendues.
On admet que la droite (\Delta) d’équation
3x + 2y = 18 contient les points dont les coordonnées correspondent à un bénéfice de 18000 FCFA.
Construire la droite (\Delta) sur le graphique.
b) Déterminer graphiquement le nombre de portes de chaque sorte à fabriquer par semaine, pour que le bénéfice soit maximal.
Quel est alors ce bénéfice  ?