Exercices - Limites d’une fonction - 1ère S

1 ère S Mathématiques 4 : Limites d’une fonction – 1ère S Exercices – Limites d’une fonction – 1ère S

Exercice 1

Parmi les fonctions $f, g$ et $h$ entoure les numéros de celle qui sont continues en -1

1) $\begin{cases} f(x)=x+1 \\ f(-1)=0 \end{cases}$

2) $\begin{cases} g(x)=-x^2+1 \\ g(-1)=2 \end{cases}$

3) $\begin{cases} h(x)=\dfrac{x-1}{x+3} \\ \\ h(-1)=\dfrac{-2}{3} \end{cases}$

Exercice 2

Dans chacun des cas suivants, entoure la valeur du nombre réel $m$ pour laquelle $f$ est continue en -2

1) $\begin{cases} f(x)=mx-2 \\ f(2)=4 \end{cases}$
A. $m=2$
B. $m=3$
C. $m=4$

2) $\begin{cases} f(x)=-\dfrac{3x+5}{x+2} \\ \\ f(-3)=m \end{cases}$
A. $m=4$
B. $m=-3$
C. $m=-4$

Exercice 3

( $C$ ) est la courbe représentative d’une fonction $f$ dans le plan muni d’un repère orthonormé (O, I, J). Dans chacun des cas suivants, dis si les affirmations ci-dessous sont vraies ou fausses.
a) $f$ est définie en 1
b) $f$ est continue en 1
c) $f$ admet une limite en 1
d) $f$ admet une limite à gauche en 1
e) $f$ admet une limite à droite en 1

Cas 1

Cas 2

Cas 3

Cas 4

Cas 5

Exercice 4

Déterminer la limite à gauche et à droite de la fonction $f$ en $x_0$ dans chacun des cas suivants :

1) $\begin{cases} f(x)=2x-1, \text{si} ~x \leq 1 \\ f(x)=-x^2+3, \text{si}~ x>1 \end{cases}$ pour $x_0=1$

2) $\begin{cases} f(x)=x+2, \text{si} ~x<1 \\ f(x)=x^2, \text{si}~ x\geq -1 \end{cases}$ pour $x_0=-1$

3) $f(x)=\dfrac{(x-1)(x+3)}{(x+3)^2}$ pour $x_0=-3$

Exercice 5

On donne la fonction $f$ de $\R$ vers $\R$ défini par :
$\begin{cases} f(x)=2x^2-x+4, \text{si} ~x \leq 2 \\ f(x)=-3x+2, \text{si}~ x>2 \end{cases}$
Dis si la fonction $f$ admet une limite en 2.
Justifier la réponse

Exercice 6

Soit la fonction numérique $f$ définie par :
$\begin{cases} f(x)=x, \text{si} ~x \leq 1 \\ f(x)=-x^3, \text{si}~ x>1 \end{cases}$
Etudier la continuité de $f$ en 1.

Exercice 7

Soit la fonction numérique $f$ définie par :
$\begin{cases} f(x)=\dfrac{x+5}{x^2+3x-10}, \text{si} ~x \ne -5 \\ f(-5)=a, \end{cases}$
Déterminer la valeur du nombre réel $a$ pour laquelle la fonction $f$ est continue en -5

Exercice 8

On considère la fonction $f$ de $\R$ vers $\R$ définie par :
$f(x)=\dfrac{1}{2}(\sqrt{1+x^2}-1)$
Démontrer que $\lim\limits_{x\rightarrow 0}f(x)=0$

Exercice 9

On considère les fonctions $h$ et $g$ définies sur $\R$ vers $\R$ par :
$h(x)=\dfrac{x+1}{x-3}$ et $g(x)=x-3$
1) Déterminer l’ensemble de définition de la fonction $h.g$ .
2) Déterminer la formule explicite de la fonction $h.g$ .
3) On considère la fonction $f$ définie de $\R$ vers $\R$ par :
$\begin{cases} f(x)=(h.g)(x), \text{si} ~x \ne 3 \\ f(x)=5, \text{si}~ x=3 \end{cases}$
Etudier la continuité de $f$ en 3

Exercice 10

$a$ et $b$ étant des nombres réels, soit $f$ la fonction définie de $\R$ vers $\R$ par :
$\begin{cases} f(x)=a+\sqrt{-x},~ \text{si} ~x < -1 \\ f(x)=7 , ~\text{si}~x=-1 \\ f(x)=3x-b, ~\text{si}~ x> -1 \end{cases}$
( $a$ et $a$ sont des nombres réels)
Déterminer les nombres réels $a$ et $b$ pour lesquels la fonction $f$ est contilue en -1.

Exercice 11

On considère la fonction $f$ telle que :
$f(x) = \begin{cases} 1+\dfrac{\sqrt{x^2}}{x}, ~\text{si} ~x \ne 0 \\ 2,~~ \text{si}~ x=0 \end{cases}$
Etudier la continuité de $f$ en 0. Justifier la réponse