Exercices – Trigonométrie – 1ère S
Exercice 1
Dans le triangle ABC, rectangle en A, on note \alpha=\widehat{ABC} et on définit :
\cos (\alpha)=\dfrac{AB}{BC}
\sin (\alpha)=\dfrac{AC}{BC}
\tan (\alpha)=\dfrac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} = \dfrac{…}{…}
\text{cotan} (\alpha)=\dfrac{1}{\tan(\alpha)} = \dfrac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)}=\dfrac{…}{…}
1°) Première propriété : Montrer que \cos^2(\alpha)+\sin^2(\alpha)=1
2°) Soit (C), dans le repère orthonormé R(O, \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}), le cercle de centre O et de rayon 1 ; et M(x_M , y_M), un point de (C) (Voir figure ci-dessous )
On note \alpha = (\overrightarrow{i}, \overrightarrow{OM})
a) Vérifier que \cos(\alpha)=x_M, \sin(\alpha)=y_M et \tan(\alpha)=t_M
b) Redémontrer la propriété dans 1°)
Exercice 2
L’unité de mesure pour les angles est le radian (rad)
\pirad est la mesure principale de l’angle plat
latex]\frac{\pi}{2}[/latex]rad est la mesure principale de l’angle droit
1°) ABC est un triangle équilatéral de côté 1, on note la projeté orthogonal du point sur le segment [AB]
a) Donner la mesure principale de chacun des angles \alpha=\widehat{CAH} et \beta=\widehat{BCH}
b) Calculer \cos (\frac{\pi}{3}), \sin (\frac{\pi}{3}), \cos (\frac{\pi}{6}) et \sin (\frac{\pi}{6})
2°) ABCD est un carré de côté 1
a) Donner la mesure principale de l’angle \theta=\widehat{CAB}
b) Calculer \cos (\frac{\pi}{4}) et \sin (\frac{\pi}{4})
Exercice 3
1°) Soit M un point du cercle trigonométrique (C), et notons x la mesure principale de l’angle \alpha = (\overrightarrow{i}, \overrightarrow{OM})
Exprimer en fonction de \cos (x), \sin (x) ou \tan (x) chacune des expressions suivantes :
2°) Discuter suivant les valeurs de k \in \Z la valeur exacte de chacune des expressions suivantes :
\cos( k\pi) ; \sin( k\pi); \cos( k\frac{\pi}{2}); \sin( k\frac{\pi}{2})
Exercice 4
1°) Reproduire le cercle trigonométrique avec les principaux angles remarquables :
( les multiples de \pi dans [0 ~;~ 2\pi[
les multiples de \dfrac{\pi}{2} dans [0 ~;~ 2\pi[
les multiples de \dfrac{\pi}{4} dans [0 ~;~ 2\pi[
les multiples de \dfrac{\pi}{3} dans [0 ~;~ 2\pi[
les multiples de \dfrac{\pi}{6} dans [0 ~;~ 2\pi[ … )
2°) Que vaut :
Exercice 5
Le but de cet exercice est de calculer \cos (\dfrac{869\pi}{6}) et \sin (\dfrac{869\pi}{6})
1°) Trouver les deux entiers a et k tels que \frac{869\pi}{6}=a\frac{\pi}{6}+2k\pi et -\pi \leq a\dfrac{\pi}{6} \leq \pi
. (~~\alpha\dfrac{\pi}{6} est appelée valeur principale de \frac{869\pi}{6})
2°) Donner alors \cos (\dfrac{869\pi}{6}) et \sin (\dfrac{869\pi}{6})
3°) Déterminer la valeur principale de chacun des angles suivants puis préciser, dans chaque cas, \cos (\alpha) et \sin (\alpha)
Exercice 6
1°) Rappeler les principales formules trigonométriques :
2°) Redémontrer les propriétés donnant :
Exercice 7
1°) a) Exprimer \cos(2x) en fonction de \cos(x) seulement
b) Exprimer \cos(2x) en fonction de \sin(x) seulement
2°) a) Exprimer \cos(3x) en fonction de \cos(x) seulement
b) Exprimer \sin(3x) en fonction de \sin(x) seulement
Exercice 8
Démontrer les égalités suivantes :
Exercice 9
1°) Résoudre le système d’équations d’inconnu (a, b) suivante :
\begin{cases} a\dfrac{\pi}{3}+b\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\pi}{12} \\ \\ a\dfrac{\pi}{3}-b\dfrac{\pi}{12}=5\dfrac{\pi}{12} \end{cases}
2°) Calculer alors \cos (\dfrac{\pi}{12}), \sin (\dfrac{\pi}{12}), \cos (\dfrac{5\pi}{12}) et \sin (\dfrac{5\pi}{12})
Exercice 10
1°) Donner une relation entre \cos^2 (x) et \sin^2 (x)
2°) a) Exprimer \cos^2 (x) en fonction de \cos(2x)
b) En déduire la valeur de \cos (\dfrac{\pi}{8})
Exercice 11
Soit \theta \in~[0~;~\frac{\pi}{4}[ tel que \cos(\theta)=\dfrac{\sqrt{2+\sqrt2}}{2}
1°)a) Quel est le signe de \sin(\theta) ?
b) Donner une relation entre \cos^2 (\theta) et \sin^2 (\theta)
c) Trouver alors la valeur de \sin(\theta)
2°)a) Exprimer \sin(2x) en fonction de \sin (x) et \cos (x)
b) Calculer alors \sin(2\theta)
c) Trouver la valeur exacte de \theta
Exercice 12
Soit x un nombre réel tel que 0<x<\frac{\pi}{2} et \cos(x)=\dfrac{\sqrt6+\sqrt2}{4}
Calculer \cos(2x) et en déduire la valeur de x
Exercice 13
Soit deux nombres réels x et y éléments de [0~;~\frac{\pi}{2}] tels que :
\sin(x)=\dfrac{\sqrt6+\sqrt2}{4} et \cos(y)=\dfrac{\sqrt3}{2}
1°) a) Vérifier que (\dfrac{\sqrt6+\sqrt2}{4})^2=\dfrac{2-\sqrt3}{4}
b) Calculer \cos(x)
c) Calculer \sin(y) ; quelle est la valeur de y ?
2°)a) Calculer \cos(x+y) et \sin(x+y)
b) Calculer \cos(x-y) et \sin(x-y) ; en déduire la valeur de x
Exercice 14
Démontrer que dans un triangle ABC rectangle en A, sin2A=sin2B+sin2C.
La réciproque est-elle vraie ?
