Corrigé Sujet 1 - 1ère S - Ogooue education

Exercice 1

1.a) $x^2 = 7x \iff x^2 – 7x =0 \\ \iff x(x-7) = 0$ ) soit $x=0$ ou $x=7$ .
b) $x^4 -x^2=0 \iff x^2(x^2 – 1) =0 \\ \iff x^2(x-1) (x+1)= 0$ soit $x=0$ ou $x=1$ ou $x=-1$ .

c) $-x^2 + 7x – 3=5 – 2x \iff x^2-9x + 8=0$
$\Delta =b^2 – 4ac=81 – 32= 49: \Delta> 0$ donc l’équation admet deux racines réelles distinctes:

$x_1=\dfrac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{9 + \sqrt{49}}{2} = 8$ et $x_2=\dfrac{-b – \sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{9 – \sqrt{49}}{2} = 1$

d) $\sqrt{2}x^2 – 2\sqrt{6}x + 3\sqrt{2} = 0 : \\ \Delta = b^2 – 4ac \\ =(2\sqrt{6})^2 – 4 \times \sqrt{2} \times 3\sqrt{2} = \\ 4 \times 6 -24=0$ donc l’équation admet une racine réelle double:

$x_0 = \dfrac{-b}{2a} = \dfrac{2\sqrt{6}}{2\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{3}\times \sqrt{2}}{\sqrt{2}}= \sqrt{3}$ .

2) $(E): x^3 + 6x^2 + 13x +10 =0$ .
a) Pour tout réel $x, \\ (x+2)(x^2 + 4x +5)=x^3 + 4x^2 + 5x + 2x^2 + 8x + 10 \\ = x^3 +6x^2 + 13x +10$

b) $x^3 + 6x^2 + 13x + 10 =0 \\ \iff (x-2)(x^2 + 4x+5)=0$
$x+2 = 0$ soit $x=-2$ ou $x^2 + 4x + 5=0 : \\ \Delta= 16 – 20 =-4:\Delta<0$ donc l’équation du second degré n’admet pas de racine réelle. Finalement, l’équation (E) admet pour unique solution $x=-2$ .

Exercice 2

1) soit $Q(x)=ax^2 + bx +c$ , alors on a:
$P(x)= (x+1)(ax^2 + bx + c) \\ =ax^3 + (a+b)x^2 + (b + c)x +c$ ,
d’où on déduit que $\begin{cases}a=3\\a+b=-7 \\b+c=-7 \\c=3\end{cases}$ , soit donc, $a=3, b=-10$ et $c=3$ .
Ainsi, $P(x)=(x+1)(3x^2-10x+3)$ . Le discriminant de $Q(x )$ est $\Delta =64$ et ses racines sont $x_1=\dfrac{1}{3}$ et $x_2=3$ . Les solutions de l’équation $P(x)=0$ sont donc
$S=\lbrace -1: \dfrac{1}{3}; 3 \rbrace.$

2) a) $f$ est définie pour les valeurs de $x$ telles que
$3x^2 – 12x + 12 \ne 0 \\ \iff 3(x-2)^2\ne 0 \\ \iff x\ne 2$ .
$f$ est donc définie sur $D_f=\R$ \{2}.
b) A l’aide de la factorisation obtenue au 1), on a

on a alors,
$f(x)\geq 0 \iff x \in[-1;\dfrac{1}{3}] \cup [3; +\infty[$

Exercice 3

soit $f(x)=x^2 + mx +m$ , où $m$ désigne un nombre réel.
1) $f(1)=1^2 + m + 1 = 1 + 2m = 0 \\ \iff m=-\dfrac{1}{2}$ .
Le produit de racines valant $\dfrac{c}{a}= m = -\dfrac{1}{2}$ , ont en déduit que la deuxième racine est $-\dfrac{1}{2}$ .

2) $f$ admet deux racines distinctes si et seulement si $\Delta >0$ ,
soit $\Delta =m^2 – 4m=m(m-4)>0$ .
$\Delta$ est un trinôme du second degré qui a pour racines évidentes 0 et 4, et qui est positif à l’extérieur de ses racines. Ainsi, $f$ admet 2 racines $\iff \Delta >0 \\ \iff m \in]-\infty~;~ 0[ \cup [4 ~;~ +\infty[$ .

3) $f(x)>1 \iff x^2 + mx +(m-1)>0$ .
Ce trinôme est toujours positif (ne cange jamais de signe, et en particulier ne s’annule jamais) si
$\Delta=m^2 – 4(m-1)= m^2 – 4m + 4 \\ = (m – 2) ^2 <0$ , ce qui est impossible, un carré étant toujours positif ou nul. Ainsi, il n’existe pas de valeur de $m$ telle que $f(x)>1$ pour tout réel $x$ .

Exercice 4

On appelle $f$ la fonction définie sur $\R$ par l’expression
$f(x)= x^3 + 3x^2 -24x + 20.$

1) $f(1)=1^3 + 3 \times 1^2 – 24 \times 1 + 20=0$ , donc 1 est bien une racine de $f$ .
On cherche $Q(x)=ax^2 + bx +c$ tel que pour tout réel $x$ ,
$f(x)= x^3 + 3x^2 - 24x + 20$
$= (x-1) Q(x)=(x-1) (ax^2 + bx +c)$
$=ax^3 + (b -a)x^2 + (c-b) x - c$

$\iff$ $\begin{cases}a=1\\b-a=3 \\c – b= -24 \\-c=20\end{cases}$
$\iff$ $\begin{cases}a=1\\b=4 \\c=-20\end{cases}$

Ainsi, pour tout réel $x, \\ f(x)=(x-1)(x^2 + 4x -20)$ .
Les points d’intersection de $C_f$ avec l’axe des abscisses, sont les points qui ont comme abscisse telle que
$f(x)=0 \iff (x-1)Q(x)=0 \\ \iff (x=1$ ou $Q(x)=0)$ .
$Q(x)= x^2 + 4x - 20$ est un trinôme du second degré qui a pour discriminant $\Delta =96 >0$ , et admet donc deux racines réelles distinctes :
$x_1=\dfrac{-4 -\sqrt{96}}{2}$ = $=\dfrac{-4 -4\sqrt{6}}{2} \\ x_1=-2-2\sqrt{6}$
et $x_2=-2+2\sqrt{6}$
Les points d’intersection de $C_f$ avec l’axe des abscisses ont donc pour coordonnées
$(1;0)$ ; $(-2 -2-\sqrt{6}~;~0)$ et $(-2 + 2\sqrt{6}~;~0)$ .
2.a) pour tout réel $x, \\ (x-2)^3 + 9(x-2)^2 – 8 = (x^2 – 4x + 4) (x-2)+ 9(x^2 – 4x + 4) – 8$
$=x^3 - 6x ^2 + 12x -8 +9x^2 - 36x +36-8$
$=x^3 + 3x^2 - 24x + 20= f(x)$

b) On note $u$ la fonction définie sur $[2; +\infty[$ par $u(x)=(x-2)^3$ .
Soit $v$ la fonction cube: $v(x)=x^3$ et $w$ la fonction affine
$w(x) = x -2$ , alors $u(x)= v(w(x))$ , ou $u=v \text{o} w$ .

Comme la fonction cube $v$ est strictement croissante sur $R_+$ , et la fonction affine $w$ est croissante sur $[2; +\infty[$ .

c) On a $f(x)= u(x) + h(x) - 8$ ,
où $h(x)= (x-2)^2=(w(x))^2$
Comme $w$ est croissante et positive sur $[2; +\infty[, \\ h(x)=(x-2)^2= (w(x))^2$ est croissante sur $[2; +\infty[$ .
Ainsi, la somme de deux fonctions croissantes $u + h$ est aussi croissante,
et donc $f=u+h-8$ est aussi croissante sur $[2; +\infty[$ .

$f(3)=(3-2)^3 + 9(3-2)^2 -8 =2$
Ainsi, pour tout réel $x \in[3; +\infty[, g(x) \leq \dfrac{1}{2}$
$g$ est minorée par $\dfrac{1}{2}$ sur $[3; +\infty[$ .