Corrigé Sujet 2 - 1ère S - Ogooue education

1 ère S Mathématiques Sujets de devoirs 1ère S Corrigé Sujet 2 – 1ère S

Exercice 1

1) Soit $v$ et $w$ deux fonctions définies et croissantes sur un intervalle $I$ .
Alors, pour tous $x$ et $y$ de $I$ , tels que $x<y$ , on a $v(x)<v(y)$ , car $u$ est croissante sur $I$ , et même $w(x)<w(y)$ car $v$ est croissante sur $I$ .
En additionnant ces deux inégalités, on obtient :
$u(x)=v(x) + w(x)< v(y) + w(y) = u(y)$ .
La fonction $u$ est donc croissante $I$ .

2.a) Pour tout $x>2, \\ x-1 – \dfrac{2}{x-2}= \dfrac{(x-1) (x-2)}{x-2} – \dfrac{2}{x-2} \\ = \dfrac{x^3 – 3x}{x-2} =f(x)$
Ainsi, pour tout réel $x>2, \\ f(x)= x-1 – \dfrac{2}{x-2}$

b) On peut écrire $f$ sous la forme :
$f =v + w$ , avec $v(x) = x -1$ et $w (x)= \dfrac{-2}{x-2}$ .
– $v$ , définie par $v(x)= x-1$ , est une fonction affine croissante sur $\R$ .
– On peut écrire $w$ sous la forme :
$w=-2\times \dfrac{1}{x-2} = -2\times \dfrac{1}{g(x)}$ .
$g$ définie par $g(x)= x -2$ est une fonction affine croissante sur $]2; +\infty[$ , donc $\dfrac{1}{g}$ est décroissante sur $[2; +\infty[$ , et alors $w = -2 \times \dfrac{1}{g}$ est croissante sur $]2; +\infty[$

Exercice 2

Soit $x$ tel que $(a + x) \in I$ , et $A \in C_f$ de coordonnées $M (a + x, f(a +x))$ .
Soit $A’$ le symétrique de $A$ par rapport à $M(a;b)$ . L’abscisse de $A’$ est donc $a -x$ , et $A’ \in C_f$ si et seulement si l’ordonnée de $A’$ est $y’= f(a-x)$ .
Comme $A$ et $A’$ sont symétriques par rapport à $M.$
$M$ est le milieu du segment $[AA’]$ , et donc :
$b=\dfrac{f(a+x) + f(a-x)}{2}$

2. On considère la fonction g définie sur $I = \R$ {1}, par l’expression :
$g(x)=\dfrac{3x + 2}{x+1}$
a) On applique le résultat précédent avec le point
$M(-1;3)$ ( soit $a=-1$ et $b=3$ ).
L’intervalle $I$ est symétrique par rapport à -1: pour $x \ne 0, \\ -1 + x \in I$ et $-1 -x \in I$ .
De plus, pour tout $x \ne 0, \\ g( a +x) + g( a -x) =g(-1 + x) + g(-1 -x)$

$= \dfrac{3(-1 + x) +2}{(-1 +x) +1} + = \dfrac{3(-1-x)+2}{(-1-x)+1}$

$= \dfrac{-1 +3x}{x} + \dfrac{-1 – 3x}{-x} = \dfrac{6x}{x} =6$ ,

Ainsi, $\dfrac{g(a + x) + g(a-x)}{2} = \dfrac{6}{2}=3$ , ce qui pontre que $M(-1;3)$ est bien centre de symétrie pour $C_g$ .

b) Pour tout $x> -1, \\ 3 – \dfrac{1}{x+1}= \dfrac{3(x+1)}{x+1} – \dfrac{1}{x+1}=\dfrac{3x + 2}{x+1} =g(x)$ .

Ainsi, on peut écrire $g= 3 – \dfrac{1}{u}$ , où $u$ , définie par $u(x)=x+1$ est une fonction affine croissante, donc $\dfrac{1}{u}$ est décroissante, et alors $-\dfrac{1}{u}= -1 \times \dfrac{1}{u}$ est croissante, et finalement $g=-\dfrac{1}{u} + 3$ est croissante sur $]1; +\infty[$ .

c) On peut alors dresser le tableau de variation de $g$ sur $]-1~;~ +\infty[$ , et compléter sur $]-\infty~;~ -1[$ par symétrie:

( $C$ . est la courbe représentée en début d’exercice dots)