Corrigé Sujet 4 – 1ère S

Exercice 1

1.a) f(0)=1, \\ f(1)=0, \\ f'(1)=-\dfrac{3}{2}, \\ f'(2)=0

b)

2) Soit h la fonction définie par h(x)=[f(x)]^2
a) Pour tout x réel, h'(x)=2f'(x)f(x)
b)

Exercice 2

A) Etude d’une fonction auxiliaire.
On pose g(x)=x^3 – 3x -4.
1) Pour tout x réel,
g'(x)=3x^2 – 3=3(x^2 – 1)3(x-1)(x+1).

2) La fonction g est dérivable, strictement croissante sur l’intervalle [1;3],
avec g(1)=-6<0 et g(3)=14>0.
D’après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe donc une unique solution \alpha à l’équation g(x)=0 sur l’intervalle [1;3].
De plus, sur ]-\infty~;~ \Alpha[, on a g(x)<0 et sur ]\alpha~;~ +\infty[, on a g(x)>0.
Ainsi, il ne peut pas y avoir d’autre solution sur \R à l’équation g(x)=0 sur ]-\infty~;~1].

3) On a de plus, g(2,1) \approx -1,03<0
et g(2,2) \approx 0,05>0, d’où on en déduit l’encadrement 2,1<\alpha<2,2.
4) On en déduit le table de signe de g(x)

B) Etude des variations de f. Pour tout x\in \R\{1;1}

f'(x)=\dfrac{(3x^2 + 4x)(x^2 -1) – (x^3 + 2x^2)(2x)}{(x^2 – 1)^2}

f'(x)=\dfrac{x^4 – 3x^2 – 4x}{(x^2 – 1)^2}=\dfrac{x(x^3 – 3x -4)}{(x^2-1)^2}

f'(x)=\dfrac{xg(x)}{(x^2-1)^2}

On en déduit le tableau de variation:

C) Tangente.
La tangente (T) à C au point d’abscisse 2 a pour équation :
y=f'(2)(x-2) + f(2)
avec f'(2)=\dfrac{2g(2)}{(2^2-1)^2}=-\dfrac{4}{9}, et f(2)=\dfrac{16}{3},

soit y=-\dfrac{4}{9}(x-2) + \dfrac{16}{3}=-\dfrac{4}{9}x + \dfrac {56}{9}

Exercice 3

Il suffit de développer!
(\cos x + \sin x)^2 + (\cos x – \sin x)^2 \\ =\cos^2 x + 2 \cos x \times \sin x + \sin^2 x + \cos^2x – 2\cos x \times \sin x + \sin^2 x
=2(\cos^2 x + \sin^2 x)
=2 car \cos^2 x + \sin^2 x =1 pour tout réel x

Exercice 4

1) A(x)=\sin(-x) – \cos (\dfrac{\pi}{2}-x) + \cos (-x) + \sin (\dfrac{\pi}{2}-x)
=-\sin(x) – \sin (x) + \cos(x) + \cos(x)
=-2\sin(x) + 2\cos(x)

2) B(x)= \sin(\pi-x) + \cos (\dfrac{\pi}{2} + x) \cos(3\pi – x) + \sin (\dfrac{\pi}{2} + x)
=\sin(x)-\sin(x)-\cos(x) + \cos(x)
=0