Corrigé Sujet 5 – 1ère S
Exercice 1
On considère les fonctions f et g définies sur \R par
f(x)=x^3 + 6x^2 -5x – 5 et
g(x)=2x^2 + 2x + 5
On note respectivement C_f et C_g les courbes représentatives des fonction f et g.
1) On a f(2)=8+24-10-5=17,
et g(2)=8+4+5=17.
Ainsi, f(2)=g(2)=17,
et A(2;17)\in C_f \cup C_g
2)Soit M(x;y) un oint de C_f \cup C_g.
Alors, y=f(x)=g(x), soit aussi,
x^3 + 6x^2 – 5x -5= 2x^2 + 2x +5,
ou encore x^3 + 4x^2 -7x -10=0.
D’après la question précédente, on sait que x=2 est une solution de cette équation, et donc que ce polynôme du troisième degré se factorise par (x-2):
x^3 + 4x^2 -7x – 10=(x-2)(x^2 + 6x +5).
Le discriminant du trinôme du second degré est :
\Delta=36-20=16=4^2.
Celui-ci admet donc deux racines réelles distinctes :
x_1=-1 et x_2=-5.
On a de plus,
f(-1)=g(-1)=5 et f(-5)=g(-5)=45.
Les deux courbes ont donc trois points d’intersection:
A(2;17), B(-1;5) et C(-5;45).
Exercice 2
La parabole coupe la droite (\Delta_m) aux éventuels points d’abscisse x tel que f(x)=mx, soit :
9x^2 +3x +1=mx,
ou encore 9x^2 + 3(3-m)x +1=0.
La parabole coupe cette droite en un unique point si et seulement si le discriminant de cette équation est nul :
\Delta=(3-m)^2 – 4\times 9=0,
soit m^2-6m+9-36=m^2 – 6m – 27=0.
Le discriminant de cette dernière équation est :
\Delta ‘=36 + 4\times 27=144=12^2.
Elle admet donc deux solutions réelles distinctes :
m=\dfrac{6-12}{2}=-3 et m=\dfrac{6+12}{2}=9.
Finalement, la parabole coupe (\Delta_m) en un seul point pour m=-3 et m=9
Exercice 3
1) \overrightarrow{AB} (-2;2), \overrightarrow{AC}(-5;-1),
donc, \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=10-2=8, et,
b) AB=\sqrt{(-2)^2 + 2^2}= 2\sqrt{2}, \\ AC=\sqrt{(-5)^2 + (1)^2}=\sqrt{26}
c) On en déduit que :
\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}= 2\sqrt{2}\times \sqrt{26} \times \cos(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}),
d’où, \cos(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})=\dfrac{8}{4\sqrt{13}},
et donc :
(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})\approx 56,3° ou (\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})-\approx 56,3°
2) Le cercle de diamètre [AB] a pour rayon R=\dfrac{AB}{2}=\sqrt{2}, et a pour centre le point I milieu de [AB], qui a pour coordonnées: I(4;3). Ce cercle est donc l’ensemble des points M(x;y) tels que :
IM^2=R^2, soit l’équation :
(x-4)^2 + (y-3)^2 =R^2 = 2
3) La hauteur issue de A du triangle ABC est la droite qui passe par A et normale au vecteur \overrightarrow{CB}, avec \overrightarrow{CB}(3;3).
Ainsi, cette hauteur est l’ensemble des points M(x;y) tels que \overrightarrow{AM}.\overrightarrow{CB}=0, soit l’équation :
3(x-5) + 3(y-2)=0 , ou encore x + y=7
Exercice 4
1)a) Soit H \in (AB), alors \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AH} sont colinéaires, et comme
\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AH}=2, \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AH} sont colinéaires de même sens, d’où,
\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AH} = AB \times AH =2.
On a alors AH=\dfrac{2}{AB}=1 d’où, H=I
b) Pour tout point M on a :
\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AM} =\overrightarrow{AB}.(\overrightarrow{AH} + \overrightarrow{AM}) \\ = \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AH} + \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AH} \\ = 2 + \overrightarrow{AB}. \overrightarrow{AH},
et donc \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AM}=2 \iff \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AH}=0: l’ensemble des points M recherché est la droite (OH), perpendiculaire à (AB) passant par H=I,
2)a) Pour tout point M,
\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}=(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}).(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB}) \\ = MI^2 + \overrightarrow{MI}. (\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB}) + \overrightarrow{IA}.\overrightarrow{IB}
b) D’après ce qui précède, on a :
\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}=MI^2 – 1= 4,
d’où, MI^2=5 soit MI=\sqrt{5}; l’ensemble des points M recherchés est donc le cercle de centre I et de rayon \sqrt{5}.
Or, IC=\sqrt{IB^2 + BC^2}= \sqrt{1^2 + 2^2} =\sqrt{5}, donc le point C est sur ce cercle, et donc l’ensemble des points M est le cercle de centre I et passant par C.
Exercice 5
1) D’après la relation de Chasles :
2\overrightarrow{GA} + 3\overrightarrow{GB} = 2\overrightarrow{GA} + 3(\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{AB}) \\= 5\overrightarrow{GA} + 3\overrightarrow{AB},
et donc 2\overrightarrow{GA} + 3\overrightarrow{GB}=\overrightarrow{0} \iff \overrightarrow{AG}=\dfrac{3}{5} \overrightarrow{AB}.
On en déduit que G \in [AB] et donc que AG=\dfrac{3}{5} AB= 3 et que BG=\dfrac{2}{5} AB=2
2) On peut faire intervenir le point G dans cette relation:
2MA^2 + 3MB^2 = 2 \overrightarrow{MA}^2 + 3\overrightarrow{MB}^2 \\ = 2( \overrightarrow{MG} + \overrightarrow{GA})^2 + 3(\overrightarrow{MG} + \overrightarrow{GB})^2
=5MG^2 + 2\overrightarrow{MG}. \underbrace{(2\overrightarrow{GA} + 3\overrightarrow{GB})}_{=\overrightarrow{0}}+ 2GA^2 + 3GB^2 \\ = 5MG^2 + 30
D’où, 2MA^2 + 3MB^2=50 \iff MG=2. L’ensemble C est cercle de centre G et rayon 2.
Exercice 6
Deux méthodes (au moins) sont possibles:
1ère méthode
(x-2)(x+4) + (y-3)(y-1)=6
\iff x^2 + 2x + y^2 – 4y -8 +3=6
\iff (x+1)^2 + (y-2)^2=16
\iff \Omega M^2= 16= 4^2
\iff \Omega M =4
avec le point \Omega (-1;2). L’ensemble recherché est donc le cercle de centre \Omega(-1;2) est de rayon 4.
2ème méthode
(x-2)(x+4) +(y-3)(y-1)=\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BM}
L’ensemble recherché est donc l’ensemble des points M tels que :
\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BM}=16
Soit \Omega le milieu de [AB], alors
\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BM}=(\overrightarrow{A\Omega}+\overrightarrow{\Omega M}).(\overrightarrow{B\Omega}+\overrightarrow{\Omega M}) \\ =\overrightarrow{A\Omega}.\overrightarrow{B\Omega} + 2\overrightarrow{\Omega M}. \underbrace{(\overrightarrow{A \Omega} + \overrightarrow{B \Omega})}_{\overrightarrow{0}} + \overrightarrow{\varOmega M}^2
=-\overrightarrow{A\Omega}^2 + \overrightarrow{\Omega M}^2
Or, AB^2 =(-4 -2)^2 + (1-3)^2 = 40,
et donc, A \Omega^2=10, et donc,
\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BM} = 16 \\ \iff \Omega M^2 =16 \\ \iff \Omega M =4,
L’ensemble des points recherchés est le cercle de centre \Omega , milieu de [AB] et de rayon 4.